2. Если 
для всех 
, то функция является ….
3. Из данных функций 
; 
; 
убывающей является ….
4. Знак производной функции 
изменяется по схеме:
функция убывает на промежутке …
функция возрастает на промежутке …
функция имеет точки максимума …
5. Дан график функции 
:
на промежутках …
на промежутках …
точки минимума функции …
6. Дан график производной функции :
тогда функция возрастает …, убывает …. Точки экстремума функции …
7. Дан график производной функции :
точки максимума функции …
точки минимума функции …
8. Функция 
… точек экстремума, так как …
4 вариант
1. Производная функции на отрезке 
меняет свой знак в точке 
, при этом 
. Поэтому данная функция на промежутке … возрастает, а убывает на промежутке ….
2. Если для всех , то функция является ….
3. Из данных функций 
; 
; 
возрастающей является …
4. Знак производной функции изменяется по схеме:
функция убывает на промежутке …
функция возрастает на промежутке …
функция имеет точки минимума …
5. Дан график функции :
на промежутках …
на промежутках …
точки максимума функции …
6. Дан график производной функции :
тогда функция возрастает …, убывает …. Точки экстремума функции …
7. Дан график производной функции :
точки максимума функции …
точки минимума функции …
8. Функция 
… точек экстремума, так как …
Практическая работа № 9
Тема: Производная.
Цель: Отработать навыки нахождения производных функций. Уметь применять физический смысл производной к решению прикладных задач, схему исследования функции к построению графика функции, находить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Методические рекомендации
Правила дифференцирования и таблица производных основных функций.
Правила.
1. 
| 4. 
|
2. 
| 5. 
|
3. 
| 6. 
|
Производные основных элементарных функций.
1.  , 
| 8. 
|
2. 
| 9. 
|
3. 
| 10. 
|
4. 
| 11. 
|
5. 
| 12. 
|
6. 
| 13. 
|
7. 
|
| Применение производной | Алгоритм |
I.Построение графика функции 
| 1. Найти область определения функции  .
2. Исследовать функцию на четность, нечетность.
3. а) найти точки пересечения с осью ОХ (если возможно), для этого достаточно решить систему 
б) найти точки пересечения с осью ОУ, для этого решить систему 
4. Найти  и решить уравнение  .
5. Найти интервалы монотонности и экстремума функции.
6. Найти дополнительные точки.
7. Построить график функции.
|
| II.Нахождение наибольшего, наименьшего значения функции на отрезке. | 1. Найти производную функции .
2. Найти критические точки решив уравнение .
3. Вычислить значение функции в критических точках, принадлежащих данному промежутку.
4. Вычислить значение функции на концах отрезка.
5. Среди всех полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.
|
Примеры
а) Найдите наибольшее значение функции 
на отрезке 
.
Решение.
1. 
2. ; 
; 
; 
; 
; 
3. 
; 
;
; 
4. 
; 
5. 
.б
б) Исследовать и построить график функции 
.
Решение.
1. Область определения 
2. 
3. ;
, 2 корня
; 
4; 5.
- т. максимума; 
- т. минимума
6. 
т. 
, т. 
7. , тогда 
, т. 
8.
Физический смысл первой производной.
Физический смысл производной заключается в том, что мгновенная скорость движения 
в момент времени t есть производная пути по времени, т.е.
Варианты заданий практической работы
1 вариант
1. Найдите производную функции:
а)  ;
| б)  ;
| в) 
|
2. При движении тела по прямой, расстояние 
(в метрах) изменяется по закону 
. Через сколько секунд после начала движения мгновенная скорость будет равна 
3. При каких значениях аргумента скорость изменения функции равна скорости изменения функции ?
; 
4. Построить график функции 
.
5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции 
на отрезке 
.
2 вариант
1. Найдите производную функции
а)  ;
| б)  ;
| в) 
|
2. При движении тела по прямой, расстояние (в метрах) изменяется по закону 
. Через сколько секунд после начала движения тело остановится?
3. При каких значениях аргумента скорость изменения функции равна скорости изменения функции 
; 
4. Построить график функции 
.
5.Найти наибольшее и наименьшее значения функции 
на отрезке 
.
3 вариант
1. Найти производную функции
а)  ;
| б) 
| в) 
|
2. При движении тела по прямой, расстояние (в метрах) изменяется по закону 
. Найти скорость тела через 
после начала движения.
3. При каких значениях аргумента скорость изменения функции равна скорости изменения функции ?
; 
4. Построить график функции 
.
5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции 
на отрезке 
.
4 вариант
1. Найти производную функции
а)  ;
| б)  ;
| в) 
|
2. Тело движется по прямой по закону 
. В какой момент времени скорость тела будет равна 
3. При каких значениях аргумента скорость изменения функции равна скорости изменения функции
; 
4. Построить график функции 
.
5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции 
на отрезке 
.
Практическая работа № 10
Тема: Первообразная и интеграл.
Цель: Отработать навыки нахождения первообразной функции, значения определенного интеграла, использования геометрического и физического смысла определенного интеграла при решении прикладных задач.
Методические рекомендации
Определение 1. Функция 
называется первообразной от функции на отрезке 
, если для всех 
выполняется равенство:
Таблица интегралов.
1.  , 
| 9.  ,
|
2.  ,
| 10.  ,
|
3.  ,
| 11.  ,
|
4.  ,
| 12.  ,
|
5.  ,
| 13.  ,
|
6.  ,
| 14.  ,
|
7.  ,
| 15.  .
|
8.  ,
|
I. Геометрический смысл определенного интеграла.
Пусть дана функция непрерывная на . Рассмотрим график этой функции (некоторую кривую).
· 
фигура 
, ограниченная отрезком оси ОХ, отрезками параллельных прямых 
и 
, и кривой , называется криволинейной трапецией.
· Если интегрируемая на функция неотрицательна, то определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной оси ОХ, отрезками прямых 
, 
и графиком данной функции. В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла.
II. Вычисление площадей плоских фигур.
Из геометрического смысла определенного интеграла известно, что если 
, , то площадь соответствующей криволинейной трапеции вычисляется по формуле:
Очевидно, что если 
, , то 
Рассмотрим основные случаи расположения плоских фигур:
1.
| 2.
|
3.
| 4.
|
III. Применение определенного интеграла в физике.
1. Путь, пройденный точкой при неравномерном движении за промежуток времени от 
до 
вычисляется по формуле:
Варианты заданий практической работы
1 вариант
1. Определите функцию, для которой 
является первообразной:
1)  ;
| 2)  ;
|
3)  ;
| 3) 
|
2. Для функции 
, найдите первообразную , принимающую заданное значение в заданной точке 
.
1)  ;
| 2)  ;
| 3)  ;
| 4) 
|
3. Точка движется по прямой так, что ее скорость в момент времени 
равна 
. Найдите путь, пройденный точкой за время от 
до 
секунд, если скорость измеряется в 
.
