Исследование на устойчивость по первому приближению

Рассмотрим автономную систему

(5.1)

Пусть – положение равновесия системы (5.1). Будем предполагать, что функции дважды непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки .

Разложим каждую из функций в ряд Тейлора в окрестности точки a:

Здесь , , , .

Тогда система (5.1) будет иметь вид:

(5.2)

Отбросив в разложении (5.2) нелинейный член , квадратичный по , получим линейную систему

. (5.3)

Система (5.3) – линеаризованная в окрестности точки система (5.1), или система линейного приближения (система первого приближения).

Теорема 5.1 (об устойчивости по первому приближению). Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности положения равновесия . Если вещественные части всех собственных значений матрицы Якоби отрицательны, то положение равновесия асимптотически устойчиво по Ляпунову и справедлива оценка

где – некоторые положительные постоянные, для всех достаточно близких к точке .

Замечание 5.1. Теорема 5.1 не охватывает так называемый критический случай, когда хотя бы одно собственное значение матрицы имеет вещественную часть равную нулю, а остальные ее собственные значения имеют отрицательные вещественные части. В этом случае на устойчивость решения начинают влиять квадратичные члены и исследование на устойчивость по первому приближению невозможно.

Теорема 5.2 (о неустойчивости по первому приближению). Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности положения равновесия . Если хотя бы одно собственное значение матрицы Якоби имеет положительную вещественную часть, то положение равновесия неустойчиво по Ляпунову.

Замечание 5.2. Теоремы об устойчивости и неустойчивости по первому приближению остаются справедливыми и в том случае, когда исходная система неавтономная, то есть имеет вид . При этом предполагается, что и система может быть представлена в виде .

Пример 5.1.

С помощью теоремы об устойчивости по первому приближению исследовать на устойчивость нулевое решение системы:

Решение. Найдем матрицу Якоби системы:

Тогда .

Характеристическое уравнение полученной матрицы .

Один из корней характеристического уравнения . Два других корня имеют отрицательные вещественные части в следствие гурвицевости полинома .

Значит, нулевое решение рассматриваемой системы асимптотически устойчиво по Ляпунову.

Пример 5.2.

С помощью теоремы об устойчивости по первому приближению исследовать на устойчивость все состояния равновесия системы

Решение. Для нахождения состояний равновесия решим систему уравнений

Итак, рассматриваемая система имеет следующие состояния равновесия: , и .

Найдем матрицу Якоби системы: .

Для точки матрица Якоби имеет вид . Ее собственные значения . Поэтому решение неустойчиво по Ляпунову.

С помощью пакета Maple построим фазовый портрет рассматриваемой системы в окрестности начала координат.

Рис. 5.1. Фазовый портрет системы в окрестности точки

Для точки матрица Якоби имеет вид . Ее собственные значения . Поэтому решение асимптотически устойчиво по Ляпунову.

С помощью пакета Maple построим фазовый портрет рассматриваемой системы в окрестности точки .

Рис. 5.2. Фазовый портрет системы в окрестности точки

Для точки матрица Якоби имеет вид . Ее собственные значения . Поэтому решение неустойчиво по Ляпунову.

С помощью пакета Maple построим фазовый портрет рассматриваемой системы в окрестности точки .

Рис. 5.3. Фазовый портрет системы в окрестности точки

Пример 5.3.

С помощью теоремы об устойчивости по первому приближению найти значения параметров a и b, при которых асимптотически устойчиво нулевое решение системы

Решение. Система первого приближения в данном случае имеет вид:

Составим соответствующее ей характеристическое уравнение:

Оба корня полученного уравнения будут иметь отрицательные вещественные части, если выполняются условия . Область асимптотической устойчивости рассматриваемой системы на плоскости изображена на расположенном ниже рисунке.

Рис. 5.4. Область асимптотической устойчивости в пространстве параметров

Результаты численного интегрирования рассматриваемой системы показывают, что при , точка покоя является устойчивой (устойчивый фокус), а при , - неустойчивой (точка покоя типа «седло»).

Рис. 5.5. Фазовый портрет системы при ,

Рис. 5.6. Фазовый портрет системы при ,

Пример 5.4.

Исследовать на устойчивость решение системы

Решение. Матрица системы первого приближения имеет вид:

Ее собственные значения . Поэтому нулевое решение рассматриваемой системы неустойчиво по Ляпунову.

Задание 5

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

С помощью теоремы об устойчивости по первому приближению найти значения параметров a и b, при которых асимптотически устойчиво нулевое решение системы:

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.