Исследование устойчивости вторым методом Ляпунова

Рассмотрим автономную систему

(4.1)
и будем исследовать устойчивость ее положения равновесия .

Определение 4.1. Положение равновесия системы (4.1) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого можно указать такое, что:

1) если , то решение системы (4.1) определено при всех ;

2) при всех выполнено условие .

Если к тому же , то состояние равновесия асимптотически устойчиво по Ляпунову.

Пусть V (x) – функция переменной . Будем говорить, что функция V (x) положительно определена в окрестности U точки , если при и . Если же в окрестности U выполнены условия при и , то будем говорить, что функция V(x) отрицательно определена в окрестности U.

Приведенная ниже теорема А.М.Ляпунова является одной из центральных теорем так называемого второго метода Ляпунова, играющего важную роль в качественной теории дифференциальных уравнений.

Теорема 4.1. (Терема Ляпунова об устойчивости ).Если в некоторой окрестностиUположения равновесия системы (4.1) существует непрерывно дифференцируемая положительно определенная функция V(x) такая, что ее производная в силу этой системы не положительна в указанной окрестности, то положение равновесия устойчиво по Ляпунову.

Теорема 4.2. (Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости). Пусть в некоторой окрестности U положения равновесия системы (4.1) существует непрерывно дифференцируемая положительно определенная функция V(x) такая, что ее производная в силу этой системы отрицательно определена в U. Тогда положение равновесия асимптотически устойчиво по Ляпунову.

Везде ниже, без ограничения общности, будем считать, что , т.е. – положение равновесия системы (4.1), и будем исследовать устойчивость этого положения равновесия.

Теорема 4.2 не дает оценки скорости стремления к нулю при . Следующее утверждение позволяет получить такую оценку.

Теорема 4.3. Пусть положение равновесия системы (4.1) и существует положительно определенная в некоторой окрестности точки функция V(x) такая, что

, (4.2)
где – некоторые положительные числа.

Тогда существует такая постоянная , что при для всех достаточно малых .

Существуют теоремы, устанавливающие условия неустойчивости положения равновесия системы (4.1). Наиболее сильной из них является теорема Четаева. Для того, чтобы сформулировать эту теорему, введем некоторые дополнительные понятия. Пусть – непрерывно дифференцируемая функция, определенная в области , содержащей начало координат . Предположим, что и что существует сколь угодно близкая к началу координат точка такая, что . Выберем так, чтобы шар содержался в и положим

. (4.3)

Множество непустое и содержится в (рис.4.1). Его границу составляют поверхность и сфера . Поскольку , начало координат лежит на границе множества .

Теорема 4.4. (теорема Четаева). Пусть – положение равновесия системы (4.1). Пусть – непрерывно дифференцируемая функция такая, что и для некоторой точки такой, что произвольно малая величина. Определим соотношением (4.3) и предположим, что в . Тогда – неустойчивое положение равновесия системы (4.1).

Приведем несколько примеров, иллюстрирующих применение теорем Ляпунова и Четаева.

Пример 4.1. Пусть уравнения возмущенного движения имеют вид

Здесь, очевидно, – положение равновесия. Для исследования его на устойчивость рассмотрим функцию . Производная этой функции в силу рассматриваемой системы

.
Положим . Тогда , а

Следовательно, возмущенное движение устойчиво по Ляпунову. Однако асимптотическую устойчивость мы гарантировать не можем.

Пример 4.2. Рассмотрим систему

В качестве функции Ляпунова возьмем . Имеем,

По теореме 4.2 состояние равновесия (0,0) асимптотически устойчиво по Ляпунову.

Пример 4.3. Рассмотрим систему

Будем искать функцию Ляпунова в виде . Тогда . Полагая , получим .

Заметим, что . Кроме того, . То есть, выполнены соотношения (4.2) с . Поэтому, согласно теореме 4.3, существует такая постоянная , что при для всех достаточно малых .

Пример 4.4.. Рассмотрим систему

Пусть . . Очевидно, в той области на плоскости , где (рис. 4.2). Значит, выполнены все условия теоремы Четаева, и состояние равновесия неустойчиво по Ляпунову.