Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка

Линейным однородным дифференциальным уравнением первого порядка с частными производными называется уравнение вида

, (3.1)
где – заданные функции, определенные в некоторой области , а - искомая функция.

Линейным неоднородным уравнением первого порядка с частными производными называется уравнение вида

, (3.2)
где – заданные функции, определенные в некоторой области , а - искомая функция.

Квазилинейным уравнением первого порядка с частными производными называется уравнение вида

, (3.3)
где – заданные функции, определенные в некоторой области , а - искомая функция.

Очевидно, что уравнения (3.1) и (3.2) являются частным случаем уравнения (3.3), поэтому ниже ставятся задачи и рассматриваются методы решения квазилинейных уравнений (3.3). Результаты для уравнений вида (3.1) и (3.2) получаются как следствия из них.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений

(3.4)
называется системой уравнений характеристик для уравнения (3.3), а ее фазовые кривые характеристиками уравнения (3.3). Исключив параметр из системы (3.4), получим систему уравнений характеристик в симметричной форме

. (3.5)

Пусть найдено независимых первых интегралов

(3.6)
системы (3.5). Тогда общее решение уравнения (3) в неявном виде определяется равенством

, (3.7)
где – произвольная дифференцируемая функция.

Если функция входит только в один из первых интегралов (6), например, в , то решение уравнения (3) может быть записано в виде , где – произвольная дифференцируемая функция. Разрешив последнее уравнение относительно , получим общее решение в явном виде.

Точно также может быть найдено общее решение линейного неоднородного уравнения (2).

Общее решение линейного однородного уравнения (1) имеет вид

, (3.8)

где – независимые первые интегралы системы уравнений характеристик, а – произвольная дифференцируемая функция.

Пример 1. Найти общее решение уравнения

. (3.9)

Решение. Уравнение (3.9) – линейное однородное уравнение. Уравнение для характеристик в симметричной форме имеет вид . Найдем независимые первые интегралы этого уравнения.

Согласно формуле (3.8), общее решение уравнения (9) имеет вид , где – произвольная дифференцируемая функция.

Пример 2. Найти общее решение уравнения

. (3.10)

Решение. Уравнение (10) – линейное неоднородное уравнение. Уравнение для характеристик в симметричной форме имеет вид

. (3.11)

Найдем независимые первые интегралы этого уравнения. Один первый интеграл находится из уравнения и имеет вид . Для нахождения еще одного первого интеграла применим прием, позволяющий найти интегрируемую комбинацию. Воспользуемся следующим утверждением: если , то при любых справедливо равенство . Используя это утверждение, из (3.11) получим

.
Поскольку функция входит только в последний интеграл, решение уравнения может быть записано в виде или , где – произвольная дифференцируемая функция.

Пример 3. Найти общее решение уравнения

. (3.12)

Решение. Уравнение (3.12) – квазилинейное. Уравнение для характеристик в симметричной форме имеет вид

. (3.13)

Найдем независимые первые интегралы этого уравнения. Один первый интеграл находится из уравнения и имеет вид . Для нахождения еще одного первого интеграла применим описанный выше прием, позволяющий найти интегрируемую комбинацию. Из (3.13) последовательно получаем

Согласно формуле (3.7), общее решение уравнения (3.12) в неявном виде определяется равенством , где – некоторая дифференцируемая функция. Поскольку входит только в один первый интеграл, то решение мотет быть записано в виде , или, окончательно , где – некоторая дифференцируемая функция.

Задача Коши для уравнения с частными производными

Мы сформулируем задачу Коши для квазилинейного уравнения (3.3), ограничившись для простоты и наглядности случаем трех переменных. Для линейных уравнений (3.1) и (3.2), которые могут рассматривать как частный случай квазилинейного уравнения (3.3), задача Коши формулируется точно также.

Итак, рассмотрим квазилинейное уравнение

(3.14)
и соответствующее уравнения характеристик

. (3.15)

Пусть пространственная кривая задана параметрическими уравнениями

. (3.16)
Обозначим через проекцию этой кривой на плоскость . Задача Коши для уравнения (3.14) ставится так: в окрестности кривой найти интегральную поверхность уравнения (3.3), проходящую через заданную кривую , т.е. найти такое решение уравнения (3.14), которое принимает заданные значения в точках кривой .

Задача Коши имеет единственное решение, если кривая не является характеристикой уравнения (3.14). Если же – характеристика, то задача Коши имеет бесконечно много решений.

Пусть найдены два независимых первых интеграла системы (3.15)

. (3.17)
Выразив через параметр из соотношений (3.16) и подставив эти выражения в (3.17), получим два соотношения вида . Исключив из последних соотношений, получим выражение вида . Подставив в это выражение вместо и левые части первых интегралов (3.17), получим искомое уравнение интегральной поверхности, которое и будет решением поставленной задачи Коши.

Часто кривая задается соотношениями . В этом случае в качестве параметра на кривой можно выбрать или . Иначе говоря, для получения соотношения нужно исключить переменные из системы уравнений

. (3.18)

Пример 4. Найти решение уравнения , удовлетворяющее условию при .

Решение. Заданное уравнение является линейным неоднородным.Уравнения характеристик . Из соотношения получаем первый интеграл . Сложив числители и знаменатели первых двух дробей и приравняв полученный результат к третьей дроби, получим

Найдены два независимых первых интеграла. Теперь запишем систему (3.18) для данной задачи:

Подставив в последнее соотношение вместо левые части выражений для первых интегралов, получим . Окончательно: .

Пример 5. Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению и проходящую через линию .

Решение. Требуется найти частное решение квазилинейного уравнения. Уравнения характеристик имеют вид

. (3.19)

Из соотношения получаем первый интеграл . Умножим числитель и знаменатель первой дроби в (3.19) на , второй дроби – на и сложим числители и знаменатели полученных дробей с числителем и знаменателем третьей дроби в (3.19): . Приравняем полученную дробь к первой дроби в (3.19):