Исследование положений равновесия нелинейной системы второго порядка

Введение

Цель выполнения курсовой работы на тему «Элементы качественной теории дифференциальных уравнений и теории колебаний» – углубленное изучение теоретического материала и отработка практических навыков применения методов качественного исследования нелинейных дифференциальных уравнений и систем уравнений. Особое внимание уделяется вопросам исследования поведения решений уравнений и систем в окрестности особых точек, а также вопросам устойчивости и колебаний нелинейных систем.

Основное требование к курсовой работе – умение сочетать классические качественные методы исследования (прямой метод Ляпунова, теорию Пуанкаре-Бендиксона, метод Пуанкаре) с современными численно-аналитическими методами исследования уравнений и систем, предполагающими использование стандартных программ, заложенных в математических пакетах Mathcad, Maple, Matlab, Matematica.

Исходные данные заданий курсовой работы содержатся в данных методических указаниях. Данные по каждому разделу курсовой работы предваряются формулировкой заданий, необходимым теоретическим материалом для их выполнения, а также рекомендациями и примерами выполнения аналогичных заданий.

Курсовая работа предусматривает выполнение семи заданий, тематика которых сформулирована непосредственно в тексте данных методических указаний. Объем курсовой работы не регламентируется и может варьироваться в зависимости от конкретного варианта задания.

Курсовая работа выполняется в течение 4-го семестра обучения, по мере изложения в лекционном курсе соответствующего теоретического материала и его отработки на семинарских занятиях. Защита курсовой работы проходит в форме индивидуальной беседы с преподавателем во второй половине мая текущего учебного года.

Пояснительная записка к курсовой работе должна содержать перечень заданий, выполненных в работе, с указанием математического пакета, использованного автором работы при их выполнении. В пояснительной записке также необходимо указать прикладные задачи, при решении которых могут быть использованы рассмотренные в работе методы исследования нелинейных систем.

Исследование положений равновесия нелинейной системы второго порядка

Рассмотрим нелинейную систему второго порядка:

, (1.1)

причем будем предполагать, что функции дважды непрерывно дифференцируемы во всей плоскости XOY.

Положения равновесия (точки покоя) системы (1.1) определяются как решения системы уравнений:

Обозначим эти точки через .

Найдем матрицу Якоби (якобиан) системы (1.1):

и вычислим значения для каждой из точек покоя . Пусть – одна из полученных матриц. Эта матрица задает линейную систему

(1.2)

Пусть – собственные значения матрицы системы (1.2). Положение равновесия , для которого найдена рассматриваемая матрица, будем называть невырожденным, если и . Оказывается, что в невырожденном случае поведение траекторий вблизи положения равновесия для нелинейной системы (1.1) в существенном совпадает с поведением траекторий линейной системы (1.2) вблизи положения равновесия (0,0).

За положением равновесия системы (1.1) сохраним те же названия, что и за положением равновесия системы (1.2): если и вещественны и одного знака, то положение равновесия узел ( – устойчивый, – неустойчивый). Если и комплексно-сопряженные с отрицательными (положительными) вещественными частями, то положение равновесия – устойчивый (неустойчивый) фокус. Если и вещественны и разных знаков, то положение равновесия – седло.

Следующие теоремы, определяют поведение траекторий нелинейной системы (1.1) вблизи невырожденного положения равновесия в зависимости от типа точки покоя системы (1.2).

Теорема 1.1. Предположим, что точка системы (1.2) является седлом. Пусть Р – прямая, проходящая через точку в направлении собственного вектора матрицы , соответствующего отрицательному собственному значению , а Q – прямая, проходящая через точку в направлении собственного вектора матрицы , соответствующего положительному собственному значению , Тогда существуют ровно две траектории и системы (1.1), которые при асимптотически приближаются к точке . Эти две траектории вместе с точкой О образуют непрерывно дифференцируемую кривую, касающуюся прямой Р в точке . Точно также существуют ровно две траектории и , которые при асимптотически приближаются к точке , касаясь при этом прямой Q. Остальные траектории в окрестности точки ведут себя так, как показано на рис.1. 1.

Траектории и – устойчивые усы седла, траектории и – неустойчивые усы седла.

Теорема 1.2. Пусть точка устойчивый (неустойчивый) узел, то есть . В направлении собственного вектора, соответствующего , проведем через точку прямую Р, а в направлении собственного вектора, соответствующего – прямую Q. Оказывается, что все траектории, начинающиеся достаточно близко от точки , асимптотически приближаются при к точке и имеют в этой точке касательную. При этом только две траектории входят в точку по касательной к прямой Q,, а остальные – по касательной к прямой Р (соответственно при и ) (см. рис. 1.2).

Теорема 1.3.3. Пусть точка – фокус, то есть . Тогда при все траектории системы (1.1), проходящие вблизи точки , при наматываются на точку , а при наматываются при на точку как спирали (см. рис. 1.3).

Неустойчивый фокус

Устойчивый фокус

Пример 1.1. Найти особые точки системы:

(1.3)

определить их тип. Построить схематически фазовый портрет в окрестности каждой особой точки.

Решение. Для нахождения особых точек решим систему уравнений

Итак, особыми будут точки M ₁(2, 4) и M ₂(–1,–2).

Найдем матрицу Якоби системы: .

Для точки M ₁(2, 4) имеем . Для точки M ₁(-1,-2) имеем .

Собственные значения матрицы – положительны, поэтому особая точка M ₁(2, 4) является точкой типа "неустойчивый узел".

Для построения фазового портрета в окрестности точки M ₁(2, 4) найдем собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям матрицы А ₁. Имеем: . Согласно теореме 1.2, только две траектории выходят из особой точки M ₁(2, 4) по касательной к направлению, определяемому собственным вектором , а остальные выходят из нее по касательной к направлению, определяемому вектором (рис.1.4)

Собственные значения матрицы – комплексно-сопряженные числа . Поэтому состояние равновесия M ₂(–1,–2) – устойчивый фокус. Все траектории, начинающиеся в достаточно малой окрестности точки M₂, спиралевидно наматываются на эту точку.

Для определения направления закручивания спиралей достаточно выбрать какую-либо точку в достаточно малой окрестности точки М₂ и найти вектор, касательный к траектории системы в выбранной точке. Так, например, для точки М(–1; –1,98) вектор касательной будет таким: . Это означает, что спирали будут закручиваться по ходу часовой стрелки (рис.1.5).

Замечание 1.1. Для того, чтобы найти особые точки уравнения , следует перейти к эквивалентной системе (1.3) и рассуждать так же, как и в примере 1.1.