Контрольна робота № 3 виконується учнями після вивчення наступних розділів програми:
· Диференційованість функції однієї змінної.
· Основні теореми диференціального числення.
· Схема дослідження функції і побудова її графіка.
· Диференційованість функцій багатьох змінних.
· Дослідження функцій багатьох змінних на екстремум, умовний екстремум.
Розв’язування типових завдань
Завдання 1. Знайти похідні функцій: 1), 2) складної функції; 3), 4) неявної функції; 5), 6) параметрично заданої функції; 7), 8) використовуючи логарифмічне диференціювання.
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
; 5) 
6) 
7) 
; 8) 
► 1) застосуємо правило диференціювання складної функції, тригонометричної функції та суми, маємо:
◄
► 2) застосуємо правило диференціювання складної функції, оберненої тригонометричної функції та суми, маємо:
◄
► 3) функція задана неявно, диференціюємо ліву та праву частини рівняння вважаючи, що 
. Згідно з правилами диференціювання складної функції, маємо:
Звідси 
,
◄
► 4) функція задана неявно, диференціюємо ліву та праву частини рівняння вважаючи, що . Згідно з правилами диференціювання складної функції, показникової функції та добутку, маємо:
Звідси
,
◄
► 5) функція задана параметрично, тому
◄
► 6) функція задана параметрично, тому
◄
► 7) Маємо складну показникові функцію, бо основа, і степінь залежать
від х
Прологарифмуємо задану функцію .
Маємо 
.
Диференціюємо обидві частини останньої рівності по х:
.
Звідси
Далі знаходимо 
:
,
або
◄
► 8) Маємо складну показникові функцію, бо основа, і степінь залежать
від х
Прологарифмуємо задану функцію .
Маємо 
.
Диференціюємо обидві частини останньої рівності по х:
Звідси 
Далі знаходимо :
,
або
◄
Завдання 2. Знайти найбільше та найменше значення функції на заданому проміжку: 
► Область визначення функції – вся множина дійсних чисел 
.
Знайдемо критичні точки першого роду заданої функції. Маємо:
.
Похідна існує для всіх , тому критичні точки одержимо із рівності 
.
Оскільки, 
, то знайдемо значення функції при 
та 
:
; 
; 
.
Із отриманих значень функції обираємо найбільше значення 
та найменше значення 
◄
Завдання 3. Знайти всі похідні другого порядку для заданих функцій:
а) 
; б) 
► а) Знайдемо частинні похідні першого порядку:
вважаючи у сталою, маємо 
:
.
вважаючи х сталою, маємо 
:
.
Продиференціюємо ці рівності відповідно по х і по у.
Маємо
;
.
Знайдемо мішані частинні похідні 
та 
:
,
.
,
мішані похідні рівні, так як не залежать від порядку диференціювання. ◄
► б) Знайдемо частинні похідні першого порядку:
вважаючи у сталою, маємо :
вважаючи х сталою, маємо :
Тепер знайдемо частинні похідні другого порядку функції u, що входять до заданого рівняння:
;
Знайдемо мішані частинні похідні та :
,
,
◄
Завдання 4. Довести, що задана функція 
z задовольняє задане рівняння:
а) 
б) 
► а) Знайдемо частинні похідні першого порядку:
Підставимо отримані частинні похідні в задане диференціальне рівняння, приходимо до тотожності
◄
► б) Знайдемо частинні похідні функції 
першого та другого порядків:
; 
,
,
Підставимо отримані частинні похідні в задане диференціальне рівняння, приходимо до тотожності
,
,
0 = 0 ◄
Завдання 5. Дослідити задану функцію на екстремум
► Функція визначена для усіх 
. Знаходимо частинні похідні функції z першого порядку:
Ці похідні існують при усіх , тому критичними точками функції будуть лише ті точки, де 
та 
. Отже для знаходження критичних точок треба розв’язати систему:
Отже, критичними точками заданої функції будуть точки: 
та 
.
Знайдемо частинні похідні другого порядку заданої функції.
; 
; 
Застосуємо достатню умову існування екстремуму функцій двох змінних до кожної критичної точки.
Тоді для точки маємо:
, 
; 
М не є точкою екстремуму.
Для точки , маємо
, 
, 
.
Отже точка – точка мінімуму.
Знайдемо значення z в цій точці 
.
Контрольна робота № 4.
