МІЖРЕГІОНАЛЬНЕ ВИЩЕ ПРОФЕСІЙНЕ УЧИЛИЩЕ З ПОЛІГРАФІЇ ТА ІНФОРМАЦІЙНИХ ТЕХНОЛОГІЙ
МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ
Для учнів
Напрям підготовки 186 «Видавництво та поліграфія»
Спеціальність 5.05150101 «Друкарське виробництво»
До виконання контрольних робіт
№ 1, № 2, № 3, № 4, № 5, № 6
З навчальної дисципліни
«ОСНОВИ ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ»
«Основи алгебри і геометрії»
«Диференціальні рівняння»
Дніпропетровськ
Зміст
Контрольна робота № 1 …………………………………………………. 3
Контрольна робота № 2 …………………………………………………. 8
Контрольна робота № 3 …………………………………………………. 15
Контрольна робота № 4 …………………………………………………. 22
Контрольна робота № 5 …………………………………………………. 29
Контрольна робота № 6 …………………………………………………. 36
Завдання для контрольних робіт …………………………………………. 38
Контрольна робота № 1.
Модуль 1. «Комплексні числа»
Модуль 2. «Лінійна алгебра»
Контрольна робота № 1 виконується учнями після вивчення наступних розділів програми:
· Комплексні числа і дії над ними.
· Форми запису комплексних чисел.
· Елементи теорії матриць.
· Загальна теоріясистем лінійних алгебраїчних рівнянь.
Розв’язування типових завдань
Завдання 1. Для комплексних чисел 
та 
:
а) знайти модуль та головне значення;
б) записати їх в тригонометричній та показникові формах;
в) обчислити суму, різницю, добуток та частку комплексних
чисел та .
► а) Знайдемо модуль та головне значення комплексних чисел та :
: дійсна частина 
, уявна 
; головне значення 
, 
, так як комплексне число розташоване в І чверті.
: дійсна частина 
, уявна ; головне значення 
, 
, так як комплексне число розташоване в ІІ чверті.
б) Тригонометрична форма 
: маємо 
, 
;
показникові форма 
: маємо 
, 
.
в) Обчислимо суму та різницю комплексних чисел за формулою
, маємо 
, 
;
обчислимо добуток 
;
Знайдемо частку комплексних чисел: 
. ◄
Завдання 2. Розв’язати рівняння: а) 
,
б) 
, в) 
► а) 
,
маємо: 
,
;
б) 
маємо: 
,
;
в) 
маємо: 
,
. ◄
Завдання 3. Піднести до степеня: а) 
, б) 
, в) 
► Виконаємо піднесення до степеня комплексних чисел в алгебраїчній формі:
а) для даного випадку використаємо формулу скороченого множення 
.
Маємо 
.
б) запишемо умову завдання в вигляді 
.
Маємо 
.
в) запишемо умову завдання в вигляді 
.
Маємо 
. ◄
Завдання 4. Обчислити визначники матриць:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
► В прикладах 1) та 2) обчислимо визначники матриці 2-го порядку 
за правилом 
.
1) 
;
2) 
. ◄
► В прикладах 3) та 4) обчислимо визначники матриці 3-го порядку:
3) обчислимо визначник за правилом Саріуса
;
4) обчислимо визначник шляхом розкладання його за елементами 3-го рядка, так як один елемент рядка дорівнює нулю,
. ◄
Завдання 5. Розв’язати систему лінійних рівнянь методом Крамера:
1) 
; 2) 
.
► 1) Запишемо і обчислимо основний визначник системи:
Так як основний визначник системи відмінний від нуля, то система має єдиний розв’язок, який знайдемо за допомогою формул Крамера. Обчислимо допоміжні визначники 
:
;
;
;
Використаємо формули Крамера: 
; 
; 
Перевірка
Підставимо знайдені 
в ліві частини рівнянь заданої системи:
Сукупність чисел (3, 2, 1) являється єдиним розв`язком системи. ◄
► 2) Запишемо і обчислимо основний визначник системи:
Так як основний визначник системи відмінний від нуля, то система має єдиний розв’язок, який знайдемо за допомогою формул Крамера. Обчислимо допоміжні визначники :
;
;
Використаємо формули Крамера:
; 
; 
Перевірка
Підставимо знайдені в ліві частини рівнянь заданої системи:
Сукупність чисел (2, –1, 1) являється єдиним розв`язком системи. ◄
Урок № 29. Контрольна робота № 2.
Модуль 3. «Аналітична геометрія на площині».
Контрольна робота № 2 виконується учнями після вивчення наступних розділів програми:
· Пряма на площині.
· Криві другого порядку.
Завдання 1. Відомі вершини трикутника АВС: А(2, 5), В(1, 2),
С(4, 3). Знайти:
а) рівняння сторони АВ; б) довжину сторони АС; в) кут В трикутника АВС; г) кут С трикутника АВС; д) висоту ∆ АВС, проведеної з вершини А.
►
а) Використаємо формулу рівняння прямої, що проходить через дві точки:
АВ: 
,
АВ: 
,
АВ: 
.
б) Довжина сторони АС:
в) Для обчислення кута В використаємо формулу
Знайдемо рівняння сторони ВС: 
Підставимо значення 
в рівняння (1):
г) Кут С утворюють сторони СА і СВ, то для знаходження кута С можна використати формулу 
, якщо рівняння сторін задані з кутовими коефіцієнтами.
, 
.
д) Висота ∆ АВС, проведеної з вершини А дорівнює відстані від точки А до сторони ВС, яку знаходимо за формулою 
, де
і ВС задана загальним рівнянням 
.
Підставимо числові значення в рівняння:
. ◄
Завдання 2. Привести задані рівняння еліпса до канонічного вигляду, обчислити їх осі, координати фокусів, ексцентриситет та знайти координати вершин. Виконати рисунок.
а) 
; б) 
.
► а) Приведемо рівняння до канонічного виду
;
– канонічне рівняння еліпса, у якого 
, тому велика (фокальна) вісь 
, мала вісь 
.
Фокуси даного еліпса лежать на осі 
:, 
, знайдемо значення с: 
.
Отже, 
– координати фокусів.
Ексцентриситет еліпса обчислимо за формулою 
, маємо 
.
Вершини еліпса 
.
Виконаємо рисунок
◄
► б) Приведемо рівняння до канонічного виду
;
– канонічне рівняння еліпса, у якого 
, тому велика (фокальна) вісь 
, мала вісь 
.
Фокуси даного еліпса лежать на осі 
:, 
, знайдемо значення с: 
.
Отже, 
– координати фокусів.
Ексцентриситет еліпса обчислимо за формулою 
, маємо 
.
Вершини еліпса 
.
Виконаємо рисунок
◄
Завдання 3. Обчислити координати фокусів та вершин, ексцентриситет і рівняння асимптот заданої гіперболи. Виконати рисунок.
1) 
; 2) 
.
► 1) 
, дійсна (фокальна) вісь 
, уявна вісь 
.
Фокуси заданої гіперболи лежать на осі : , знайдемо значення с: 
.
Отже, 
– координати фокусів.
Ексцентриситет гіперболи обчислимо за формулою , маємо 
.
Вершини гіперболи 
, рівняння асимптот має вигляд 
, згідно умови отримаємо 
.
Виконаємо рисунок
◄
► 2) 
, дійсна (фокальна) вісь 
, уявна вісь 
.
Фокуси заданої гіперболи лежать на осі : , знайдемо значення с: 
.
Отже, 
– координати фокусів.
Ексцентриситет гіперболи обчислимо за формулою , маємо 
.
Вершини гіперболи 
, рівняння асимптот має вигляд , згідно умови отримаємо 
.
Виконаємо рисунок
◄
Завдання 4. Знайти координати фокуса і рівняння директриси для заданої параболи. Виконати рисунок.
а) 
; б) 
; в) 
.
Параболи а) – в) мають віссю одну з координатних осей і вершина параболи знаходиться в початку координат.
► а) Запишемо рівняння параболи в вигляді 
, де р – параметр параболи: 
, 
. За видом рівняння парабола симетрична відносно осі абсцис, а так як перед параметром стоїть знак «–», то гілки параболи направлені вліво. Відстань між директрисою і фокусом дорівнює і вони рівновіддалені від вершини (початку координат), то координати фокуса 
тобто 
.
Директриса – пряма перпендикулярна осі параболи, то її рівняння має вигляд 
тобто 
.
Виконаємо рисунок
◄
► б) Запишемо рівняння параболи в вигляді 
, де р – параметр параболи: 
, 
. За видом рівняння парабола симетрична відносно осі ординат, а так як перед параметром стоїть знак «+», то гілки параболи направлені вверх. Відстань між директрисою і фокусом дорівнює і вони рівновіддалені від вершини (початку координат), то координати фокуса 
тобто 
.
Директриса – пряма перпендикулярна осі параболи, то її рівняння має вигляд 
тобто 
.
Виконаємо рисунок
◄
► в) Запишемо рівняння параболи в вигляді , де р – параметр параболи: 
, 
. За видом рівняння парабола симетрична відносно осі абсцис, а так як перед параметром стоїть знак «+», то гілки параболи направлені вправо. Відстань між директрисою і фокусом дорівнює і вони рівновіддалені від вершини (початку координат), то координати фокуса 
тобто 
.
Директриса – пряма перпендикулярна осі параболи, то її рівняння має вигляд 
тобто 
.
Виконаємо рисунок
◄
Контрольна робота № 3
