Дискретті кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары.

Сандық сипаттамалрының маңыздыларының біріне математикалық күтім M(X), дисперсия D(X) және орта квадраттық ауытқу (Х) жатады.

 

Дискретті кездейсоқ шаманың мүмкін болатын мәндерінің сәйкес ықтималдықтарына көбейтінділерінің қосындысын оның математикалық күтімі деп атайды.

M(X) белгіленеді:

M(X)=x₁p₁+x₂p₂+…+x_np_n=

 

Математикалық күтімнің қасиеттері:

1) Тұрақты шаманың математикалық күтімі тұрақты шаманың өзіне тең:

M(C)=C;

2) Тұрақты көбейткішті математикалық күтім белгісінің сыртына шығаруға болады: M(CX)=CM(X);

3) Тәуелсіз кездейсоқ шамалардың ақырлы санының көбейтіндісінің математикалық күтімі олардың математикалық күтімдерінің көбейтіндісіне тең:

M(X·Y·Z)=M(X)·M(Y)·M(Z);

 

Кездейсоқ шамалардың ақырлы санының қосындысының математикалық күтімі олардың математикалық күтімдерінің қосындысына тең:

 

M(X+Y+Z)=M(X)+M(Y)+M(Z);

 

4) Егер Х кездейсоқ шамасының барлық мәндерін бірдей С санына кемітсе (арттырса), онда оның математикалық күтімі де сол С санына кемиді (артады):

5)

M(C-X)=M(X)-C

 

Х дискретті кездейсоқ шамасының дисперсиясы (шашырау) дегеніміз, Х пен математикалық күтімінің квадратының математикалық күтімнен ауытқуын атайды:

 

D(X)=M[X-M(X)]²

 

Дисперсияны есептеу үшін келесі формуланы қолданған қолайлы:

 

D(X)=M(X²)- [M(X)]²

 

Дисперсияның қасиеттері:

1) Тұрақты шама С-ның дисперсиясы 0-ге тең:

 

D(C)=0;

 

2) Тұрақты көбейткішті дисперсия таңбасының алдына квадрат дәрежесін шығаруға болады.

3)

D(CX)=C²D(X);

 

4) Бірнеше өзара тәуелсіз кездейсоқ шамалардың қосындысының дисперсиясы осы шамалардың дисперсияларының қосындысына тең:

 

D(X+Y+Z)=D(X)+D(Y)+D(Z);

 

5) Екі тәуелсіз кездейсоқ шамалардың айырмасының дисперсиясы осы шамалардың дисперсияларының қосындысына тең:

 

D(X-Y)=D(X)+D(Y);

 

Х кездейсоқ шамасының орта квадраттық ауытқуы деп дисперсиядан алынған квадрат түбірді атайды:

 

σ(X)= ;

 

 

Дисперсияның өлшемі кездейсоқ шаманың квадратының өлшеміне тең. Себебі, орта квадраттық ауытқуы дисперсиядан алынған квадрат түбірге тең болғандықтан, онда σ(Х) өлшемі Х-тің өлшеміне тең. Сондықтан шашырау бағасы дұрыс болуы үшін орта квадраттық ауытқуды есептейді.

 

Мысалы,

егер Х сызықтық метрде өрнектелетін болса, онда σ(Х) сызықтық метрде өрнектеледі, ал D(X) – квадрат метрде.

 

Мысалы,

үлестіру заңымен берілген Х дискретті кездейсоқ шамасының математикалық күтімін, дисперсиясын, орта квадраттық ауытқуын есептеңіз:

 

x	-5
p	0,4	0,3	0,1	0,2

 

Шешуі:

Математикалық күтімін табайық:

 

М(Х)=-5·0,4+2·0,3+3·0,1+4·0,2=-0,3.

 

Дисперсияны есептеу үшін мына формуланы қолданған жөн:

 

D(X)=M(X²)- [M(X)]²

 

Х² үлестіру заңын құрастырайық:

 

х2
p	0,4	0,3	0,1	0,2

 

 

М(Х²)=25·0,4+4·0,3+9·0,1+16·0,2=15,3.

 

D(X)=M(X²)- [M(X)]²=15,3-(-0,3)²=15,21

 

σ(X)= = =3,9

 

Теорема. А оқиғасының көріну санының М(Х) математикалық күтімі n тәуелсіз тәжірибелердің әрқайсысындағы оқиға санын оқиғасының көрінуінің ықтималдығына көбейткенге тең:

 

M(X)=n·p.

 

 

Теорема. А оқиғасының D(Х) дисперсиясы n тәуелсіз тәжірибелерде, олардың әрқайсысында р ықтималдығы тұрақты болатын көріну тәжірибелер санын оқиғаның бір тәжірибеде көрінбеу санына көбейткенге тең:

 

D(X)=n·p·q

 

 

Дәріс №5.

Тақырыбы: «Үздіксіз кездейсоқ шамалар. ҮКШ сандық сипаттамалары.».

«Үлкен сандар заңы. Бернулли теоремасы».