Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу

1. Функцияның анықталу облысын табу.

2. Функцияның графигінің координаттар өстерімен қиылысу нүктелерін табу және функцияның жұптығын анықтау.

3. Асимптоталарын табу. Функцияның ақырсыздықтағы жағдайын зерттеу.

4. Функцияның төңіректік экстремумын және монотондық интервалын табу.

5. Функцияның графигінің дөңестік интервалдарын және иілу нүктелерін табу.

6. Функцияның графигін сызу.

Бұл тақырыпқа есептер 2.3 пунктінде тәжірибе сабақта қарастырылады.

Әдебиеттер: 1 нег.[262-280], 11 қос. [404-421].

Бақылау сұрақтар:

1. Функцияның экстремум нүктелерінің анықтамасын келтіріңіз.

2. Функцияның экстремумын бірінші туынды арқылы табу.

3. Функцияның экстремумын екінші туынды арқылы табу

4. Иілу нүктесін табу.

5. Функцияның графигінің асимптотасын табу.

Дәріс.

Дәріс тақырыбы: Анықталмаған интеграл.

Дәріс жоспары:

§ Алғашқы функция.

§ Анықталмаған интеграл.

§ Анықталмаған интегралдың негізгі қасиеттері.

§ Анықталмаған интегралдың негізгі кестесі.

§ Интегралдаудың негізгі әдістері.

§ Әдебиеттер.

§ Бақылау сұрақтары.

Анықтама. Егер аралығында берілген функциясы үшін

теңдігі орындалса, онда функциясы функциясының аралығындағы алғашқы функциясы деп аталады. Басқаша айтқанда, берілген функцияның алғашқы функциясын табу – оның туындысын табуға кері есеп болып саналады.

кез келген тұрақты шама (константа), яғни кез келген сан болсын. Егер функциясының алғашқы функциясы болса, онда функциясы да оның алғашқы функциясы болады, себебі . функциясы функциясының барлық алғашқы функцияларын анықтайды.

Анықтама. Егер болса, онда функциясын функциясының анықталмаған интегралы дейді және ол символымен белгіленеді.

Сонымен, мұндағы интеграл белгісі, - айнымалысының дифференциалы, -интеграл астындағы өрнек. Берілген функцияның анықталмаған интегралын табу жолын осы функцияны интегралдау дейді.

Анықталмаған интегралдардың қасиеттері

, мүндағы кез келген сан.

5. , мұндағы - кез келген сан.

Практикада интегралдау үшін келесі интегралдар кестесін жатқа білген жөн.

Анықталмаған интегралдардың негізгі кестесі

. 2.

. 3.

. Дербес жағдайда,

. 4.

. 5.

. 6.

. 7.

. 8.

. 9.

. 10.

11.

. 12.

. 13.

. 14.

. 15.

. 16.

. 17.

. 18.

. 19.

Кестедегі кез келген интегралды тексеру үшін теңдіктің оң жағынан туынды алу керек. Интегралдаудың негізгі әдістері

1. Анықталмаған интегралда айнымалыларды алмастыру. Айнымалыны алмастыру әдісі мына формулаға негізделген

Мұндағы - берілген аралықта дифференциалданатын функция. Тиімді табылған айнымалыны алмастыру формуласы берілген интегралды жеңіл интегралдайтын интегралға, ал кейбір жағдайларда таблицалық интегралға келтіреді.

1- мысал. интегралын табу керек.

Ол үшін алмастыруын жасаймыз. Сонда болады.

= .

Мұнда интегралдаудың соңында бастапқы - айнымалысына көшу керек.

Дифференциал астына енгізу әдісі. Бұл әдіс айнымалыны ауыстыру сияқты жиі қолданылады. Интеграл астындағы функцияның көбейткіштерінің біреуін белгісінің астына жазамыз да, оны жаңа айнымалы ретінде қарастырамыз. Еске сала кетейік, функциясын таңбасының астына жазғанда таңбасынан кейін функцияның алғашқы функциясы жазылады, яғни.

Салдар. Айталық үзіліссіз және үзіліссіз дифференциалданатын функциялар болсын, онда

2-мысал. . Бұл формулада таңбасының астына функциясын енгізіп деп жаздық. Модуль таңбасын қолданбаса да болады, себебі интеграл астындағы функция тек болғанда анықталады. Дифференциал таңбасы астында кез келген функцияның алғашқы функциясына тұрақтыны қосып пайдалануға болады.

3- мысал. .

3. Бөліктеп интегралдау әдісі. Айталық, , -дифференциалданатын функциялар болсын. Онда теңдігі орындалады. Немесе . Осы теңдіктің екі жағынан интеграл алайық, сонда . Осыдан

формуласын аламыз. формуласын бөліктеп интегралдау формуласы дейді. Кейбір жағдайда бөліктеп интегралдау формуласын қолдану арқылы берілген интегралды алғашқыға қарағанда анағұрлым жеңіл алынатын интегралға келтіруге болады.

4- мысал.

5 - мысал. .

Әдебиеттер: 1 нег.[357-374], 11 қос. [458-467].

Бақылау сұрақтар:

1. Алғашқы функцияның анықтамасын беріңіз.

2. Анықталмаған интегралдың анықтамасын беріңіз.

3. Анықталмаған интерал кестесі.

4. Анықталмаған интегралда айнымалыны алмастыру.

5. Бөліктеп интегралдау формуласын жазыңыз.

Дәріс.

Дәріс тақырыбы: Кейбір функцияларды интегралдау

Дәріс жоспары:

· Квадрат үшмүшелігі бар функцияларды интегралдау.

· Рационал функцияларды интегралдау.

· Қарапайым бөлшектерді интегралдау.

· Кейбір иррационал функцияларды интегралдау.

· Тригонометриялық функцияларды интегралдау.

· Әдебиеттер.

· Бақылау сұрақтары.

Мына төмендегі интегралдарды табу әдісін қарастырайық және .

) квадрат үшмүшелігіндегі коэффициентін жақша алдына шығарып, одан толық квадратты бөліп аламыз;

) интегралға , алмастыруын енгіземіз;

) Оны екі интегралдың қосындысы етіп жазамыз. Сонда екі интегралымыз да кестелік интегралға келеді.

1- мысал.

Рационал функцияларды интегралдау. Рационал бөлшекті интегралдау деп, интегралын табуды айтады. Мұндағы дұрыс рационал бөлшек, яғни . Егер болса, дұрыс бөлшек деп, ал болса бұрыс бөлшек деп аталады. Бұрыс бөлшекті интегралдау үшін алдымен алымын бөліміне бөлу арқылы оны көпмүшелік пен дұрыс бөлшектің қосындысына жіктейміз. Мысалы, Одан әрі қарай тек дұрыс рационал бөлшектерді интегралдауды қарастырамыз.

Теорема. Әрбір дұрыс рационал бөлшектімына қарапайым бөлшектердің қосындысы түрінде жазуға болады:

1. 2. 3. 4. , мұндағы А, В - нақтыкоэффициенттер; үшмүшелігінің нақты түбірлері жоқ (яғни ).

Қарапайым бөлшектерді интегралдауды қарастырайық.

мәнінде .

интегралдау әдісі жоғарыда қарастырылған.

. , мұндағы және бөліміндегі квадрат үшмүшеліктің дискриминанты . Квадрат үшмүшеліктен толық квадрат бөліп алып , , алмастыруын жасаймыз. Сонда интегралын аламыз және оны екі интегралдардың қосындысы түрінде жазамыз. Бірінші интерал -ны дифференциал астына енгізу арқылы интегралданады:

Ал екінші интегралды деп белгілеп, төменгідей есептейміз:

Бұл формуланы реккуренттік формула деп атайды. Реккуренттік формула арқылы ні арқылы, ал ті арқылы таба отырып, ең соңында ны арқылы табамыз.

2- мысал. табу керек. осыдан . , . Сонымен бөлшегінде болсын. Әрбір көпмүшелігін бірінші және екінші дәрежелі көпмүшеліктердің көбейтіндісіне жіктеп жазуға болады: ,

мұндағы бүтін сандар. Сонда дұрыс бөлшек элементар бөлшектерге төменгідей жіктелінеді:

мұндағы нақты сандар. Осы сандарды табу үшін теңдігінің оң жағын ортақ бөлімге келтіреміз. Содан соң теңдіктегі екі бөлшектің бөлімін алып тастасақ, екі жағында да көпмүшелік шығады. Осы теңдіктен бірдей дәрежелі тің алдындағы коэффиценттерді теңестіре отырып, алгебралық теңдеулер жүйесін құрамыз. Алынған теңдеулер жүйесінен коэффиценттерінің мәндерін тауып, оларды теңдігіне қоямыз. Осылай рационал бөлшектің жіктеуін табамыз. Осы әдісті анықталмаған коэффициенттер әдісі дейді.

3-мысал. интегралын есептеу керек. Интеграл астындағы функция бұрыс рационал бөлшек, сондықтан алымын бөліміне бөліп дұрыс бөлшекке айналдырамыз: Соңғы қосылғышты қарапайым бөлшектерге жіктейміз:

Бұдан, : ; : ; : , , . Демек, . Сонымен,

Кейбір иррационал функцияларды интегралдау. Иррационал функцияларды интегралдауда айнымалыны алмастыру арқылы рационал функцияның интегралына келуге болатын кейбір жағдайларды қарастырамыз. түріндегі интегралдар алмастыруы арқылы рационал функцияның интегралына келеді.

4- мысал. интегралын табайық. -тің дәрежесіндегі бөлшектердің ортақ бөлімі , олай болса берілген интегралды алу үшін ауыстыруын жасаймыз.

Қарастырылған интеграл түріндегі интегралдың дербес түрі

болады. Мұнда . Осы интегралды алмастыруы арқылы рационал функцияның интегралына келтіруге болады.

Тригонометриялық функцияларды интегралдау. Бұл пунктте біз интегралын табуды қарастырамыз. Берілген интеграл әмбебап алмастыруы арқылы рационал функцияның интегралына келтіріледі. Шынында да

, , ,

, мұндағы - рационал функция.

5- мысал. .

Бұл әдісті көрсетілген кез келген интегралға қолдануға болады, ал немесе айнымалыларының дәрежесі бірден жоғары болса қолайсыз үлкен өрнектер шығады. Ондай жағдайларда келесі әдістерді қолдану керек.