Функцияның ақырсыздықтағы шегі

Анықтама. Кезкелген () саны үшін қандай да бір саны табылып, болғанда орындалса, онда саны функциясының шегі деп аталады және түрінде белгіленеді.

Анықтама. саны үшін, саны табылып, болғанда орындалса, онда саны функциясының шегі деп аталады және түрінде белгіленеді.

Анықтама. үшін, саны табылып, теңсіздігін қанағаттандыратын тер үшін теңсіздігі орындалса, онда саны функциясының шегі деп аталады және түрінде белгіленеді.

Ескерту: Жоғарыдағы анықтамалардан функциясы ретімен алғанда интервалдарында анықталады деп есептеледі. Дербес жағдайда, егер функциясы натурал сандар жиынында да анықталса, онда

Белгілеулері сан тізбегін анықтайды. Ал өрнегі былайша сан тізбегі шегіне көшеді. Функцияның нүктедегі және ақырсыздықтағы шектерін шартты түрде ( сан немесе шексіздіктерінің біреуі) етіп белгілейік. Онда функция шегінің қасиеттері мен тізбектер шегінің қасиеттері бірдей болады. Мысалы:

1) Тұрақты функцияның (тізбектің) шегі осы тұрақтыға тең,

2) Егер функцияның (тізбектің) шегі болса, онда ол жалғыз болады.

Анықтама. функциясы жиынында анықталып, үшін саны табылып, () теңсіздігі орындалса, онда функциясы жиынында жоғарыдан (төменнен) шектелген делінеді. Функция жоғарыдан (төменнен) шектелсе, онда ол аралығында шектеулі. Мысалы,

а) функциясы аралығында шектеулі, себебі кезкелген үшін ;

б) тізбегі шектеулі. , шектері бар болғанда, функция интервалдарында шектеулі.

в) функциясы a нүктесінің маңайында шектеулі.

г) Шегі бар кезкелген сан тізбегі шектеулі.

 

Теорема. (а, ) интервалында функция өспелі (кемімелі) болса және осы аралықта жоғарыдан (төменнен) С санымен шектелсе, онда , яғни функцияның нүктесінде сол жақ ( нүктесінде оң жақ) шегі табылады және .

Жаттығу: Бұл теореманы сан тізбегі үшін келтіріңіз.

Шексіз аз және шексіз үлкен функциялар.

Анықтама. Егер болса, онда теңдігі орындалса, онда функциясы ( шамасы ға ұмтылғанда)шексіз аз шама (ш.а.ш.) деп аталады.

Анықтама. Егер болса, онда функциясы -ғы шексіз үлкен шама (ш.ү.ш.) деп атайды.

Теорема. Егер (ш.а.ш.) болса, болса, онда - функциясы -ға ш.ү.ш. болады. Бұл теорема керісінше де ақиқат.

Шектер туралы негізгі теоремалар. Егер , , болса, онда

1.

2.

3.Кезкелген үшін, және болса, онда .

1-мысал. 1. . Шекті есептеу үшін х -тің мәнін қойғанда т.с.с. анықталмағандықтар пайда болады. Шекті есептеу деп осы анықталмағандықтарды ашуды айтады.

2. .

3. .

4. .

Әдебиеттер: нег.[128-163], [173-181], 11 қос. [314-334].

Бақылау сұрақтар:

1. Фукцияның анықтамасын беріңіз. Функцияның анықталу облысы дегеніміз не?

2. Тақ және жұп функциялардың анықтамасын беріңіз.

3. Период және периодты функциялар.

4. Функциялардың шектері туралы негізгі теоремаларды атаңыз.

 

Дәріс.

Дәріс тақырыбы: Бірінші және екінші тамаша шектер.

Дәріс жоспары:

§ Бірінші тамаша шек.

§ Екінші тамаша шек.

§ Шексіз аздарды салыстыру.

§ Функцияның үзіліссіздігі.

§ Кесіндіде үзіліссіз функцияның қасиеттері.

§ Әдебиеттер.

§ Бақылау сұрақтары.

 

Құрамында тригонометриялық функциялар бар өрнектердің шектерін есептегенде бірінші тамаша шекті қолданады: . Дәлелдеу: Радиусы бірге тең шеңбер аламыз. , сонда:

 

, мұндағы

 

 

1-мысал.

2-мысал. .

Екінші тамаша шек:.

Мұндағы е » 2,718282… – иррационал сан.

3-мысал. Шекті есептеу керек

Шексіз аздарды салыстыру. Екі шексіз аз шамаларды салыстыру үшін олардың қатынасын қарастырады. - ш.а.ш. болсын, яғни және .

1. Егер болса, онда ұмтылғанда ш.а.ш.-ның аздық реттері бірдей дейді.

2. Егер болса, онда ұмтылғанда шексіз аз шамалар эквивалентті деп аталады және ~ деп белгіленеді.

Мысал. шексіз аздар ұмтылғанда эквивалентті, бұл бірінші тамаша шектің қасиетінен шығады.

Теорема. ұмтылғанда ш.а. болсын, онда:

1. ; 2. ~ ;

3. ~ ; 4. ~ ;

5. ~ ; 6. ~ , ;

Теорема. Егер ш.а.ф. –ды оларға эквивалентті функциялармен алмастырса, онда екі ш.а.ф. қатынасының шегі өзгермейді.

4-мысал. ,

 

себебi, ~ ~ ~ ~ .

Функцияның үзіліссіздігі. Функцияның нүктедегі үзіліссіздігі ұғымын беру үшін 3 шартты келтіреміз:

1. функциясы нүктесінде анықталған (яғни мәні бар);

2. ( шамасы -ге ұмтылғанда) болғанда функциясының ақырлы шегі бар;

3. шегі функцияның нүктесіндегі мәніне тең:

1−анықтама. Егер функциясы келтірілген үш шартты қанағаттандырса, онда оны нүктесінде үзіліссіз дейді. Функцияның нүктесіндегі үзіліссіздігінің анықтамасының формуласын былай жазуға болады: Функция нүктесінде үзіліссіз болса, онда оның графигін нүктесі арқылы үзіліссіз сызуға (қарындашты қағаздан алмай) болады. Енді үзіліссіздіктің екінші анықтамасын берейік. аргументіне өсімшесін берсек, функциясы өсімшесін алады. Ол формуласымен анықталады.

2−анықтама. Егер функциясы нүктесінде анықталса және теңдігі орындалса, онда ол функцияны нүктесінде үзіліссіз дейді. Үзіліссіздіктің осы екі анықтамасы өзара эквивалентті. Егер функциясы нүктесінде үзіліссіз болмаса, онда бұл нүкте функциясының үзіліс нүктесі деп аталады. Үзіліс нүктесінің екі түрі бар. Егер функциясың нүктесінде оң жақты және сол жақты шектері бар болып, бірақ олар өзара тең болмаса, онда нүктесі функциясының біріншітекті үзіліс нүктесі деп аталады. Егер оң жақты және сол жақты шектердің ең болмағанда біреуі не шексіздікке тең болып, не жоқ болса, онда нүктесі функциясының екіншітекті үзіліс нүктесі деп аталады. Егер нүктесінде ақырлы оң жақты және сол жақты шектер бар болып, бірақ олар осы нүктедегі функцияның мәніне тең болмаса, онда нүктесі функциясының түзетілетін үзіліс нүктесі деп аталады.

5-мысал. функциясы үшін нүктесі екінші текті үзіліс нүктесі болады, себебі

 

 

Егер функциясы аралығының әрбір нүктесінде үзіліссіз болса, онда оны аралығында үзіліссіз дейді. Егер функциясы аралығында үзіліссіз болып, ал нүктесінде оң жақтан (яғни ), ал нүктесінде сол жақтан (яғни ) үзіліссіз болса, онда функциясын кесіндісінде үзіліссіз дейді.