Определение перемещений в балках при изгибе

7.7.1. Общие положения

Под действием внешней нагрузки продольная ось балки искривляется. Искривленная ось балки называется изогнутой осью или упругой линией (рис.7.7).

Прогиб v_z – перемещение центра тяжести поперечного сечения по вертикали, взятого на расстоянии z от начала координат.

Угол поворота сечения φ_z - угол, на который поворачивается поперечное сечение балки под нагрузкой по отношению к первоначальному положению.

Дифференциальное уравнение упругой линии балки имеет вид:

 

(7.14)

EI_x – жесткость при изгибе.

 

Угол поворота балки можно рассматривать как угол между касательной к упругой линии и продольной осью z. Ввиду малости деформаций .

(7.15)

 

7.7.2. Определение перемещений v_z и φ_z методом начальных параметров

Балка нагружена произвольной нагрузкой Р, q, M. Сечение балки по длине постоянно – EI=const. На рис. 7.8 показаны положительные направления нагрузок относительно сечения mn.

Значения v₀, φ₀, M₀, Q₀, соответствующие началу координат, называются начальными параметрами. На рис.7.8 приняты следующие обозначения:

m = z – a – расстояние от точки приложения момента до сечения mn.

p = z – b – расстояние от точки приложения силы до сечения mn.

u_н – расстояние от сечения mn до начала распределенной нагрузки.

u_к – расстояние от сечения mn до конца распределенной нагрузки.

Прогибы и углы поворота можно определить по формуле (7.16), (7.17)

(7.16)

(7.17)

 

Правила пользования уравнениями (7.16) и (7.17).

а. Начало координат необходимо выбирать в крайней левой или в крайней правой точке балки.

б. Знаки слагаемых, входящих в уравнения определяются по правилу знаков изгибающего момента М_х.

в. В уравнения входит нагрузка, заключенная между началом координат и тем сечением, для которого определяется v_z или φ_z.

г. Начальные параметры М₀ и Q₀ определяются из статических условий, а v₀ и φ₀ – из кинематических условий (условий закрепления балки на опорах).

д. Направление перемещений определяется по рис.7.9.

 

7.7.3. Определение перемещений энергетическим методом. Интеграл Мора. Способ Верещагина

 

Перемещение энергетическим методом определяют по формуле (7.18), которая называется интегралом Мора.

(7.18)

Для определения перемещений с помощью интеграла Мора рассматривают два состояния балки: грузовое и единичное. Для грузового состояния рассматривается балка с заданной нагрузкой. Для каждого участка этой балки записывается аналитическое выражение изгибающего момента М_{р .}

Для определения прогиба v_z в искомом сечении по длине балки прикладывается Р = 1, для определения угла поворота – М = 1. Заданная нагрузка на балку при этом снимается. Такое загружение балки называется единичным состоянием. Как и для грузового состояния, на всех участках балки записываются аналитические выражения изгибающего момента .

Интеграл Мора для случая, когда единичная эпюра прямолинейная, а грузовая М_р имеет произвольное очертание удобно определять способом, предложенным А.Н.Верещагиным

(7.19)

прогиб или угол поворота балки;

 

Порядок определения перемещений по способу Верещагина:

а. Строится грузовая эпюра моментов от приложенной к балке нагрузки (грузовое состояние).

б. Строится единичная эпюра:

– для определения прогиба в интересующем сечении прикладывается Р=1 (безразмерная величина),

– для определения угла поворота – М = 1 (безразмерная величина),.

в. Определяется количество участков на балке с учетом одновременного действия грузового и единичного состояний.

г. В пределах каждого участка эпюра разбивается на простые площади: треугольник, прямоугольник и сегмент, для которых известны численное значение площади ω_і и положение центра тяжести с_і.

д. На единичных эпюрах определяем ординаты М_сі, расположенные под центром тяжести простых площадей ω_i.

е. В том случае, когда ω_і и М_сі расположены по одну сторону от оси, произведение берется со знаком «плюс», по разные – «минус».

ж. Знак «плюс», полученный в результате вычислений, свидетельствует о том, что направление перемещения совпадает с направлением единичного воздействия.

Варианты перемножения эпюр показаны выше на рис. 7.10.

 

 

 

Рис. 7.10

 

 

Расчет балок на жесткость

 

Проверка жесткости балок заключается в том, чтобы наибольший прогиб v_max не превышал заранее заданной величины [ v ], зависящей от пролета l.

(7.12)

m = (300 ¸ 1000) – устанавливается нормами проектирования.

 

Сложное сопротивление

 

В общем случае действия нагрузки в произвольном сечении балки возникает шесть внутренних силовых факторов: М_х, М_у, M_z ,N_z, Q_x, Q_y.

 

Cложный изгиб

 

Сложный изгиб возникает при изгибе балки от нагрузки, приложенной в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, а также в том случае, когда нагрузка приложена в одной плоскости, не совпадающей с главными осями инерции сечения х и у.

Действующая при этом нагрузка раскладывается по двум плоскостям, совпадающая с главными осями инерции х и у.

В сечении элемента действуют изгибающие моменты: М_х, М_у (рис.8.1).

Напряжения в произвольной точке сечения можно найти из выражения (8.1):

(8.1)

Условие прочности балки при сложном изгибе записывается для опасных точек поперечного сечения, которые максимально удалены от нейтральной линии

(8.2)

W_х и W_у – моменты сопротивления относительно осей х и у.

Учитывая, что на нейтральной линии нормальные напряжения равны нулю, уравнение ее после преобразования формулы можно записать:

где b - угол наклона нейтральной линии к оси х.

При изгибе балки, вызванном силой Р, произвольно приложенной относительно осей х и у направление полного перемещения не совпадает с направлением действия силы Р. По этой причине изгиб называется косым.

Перемещения v_x и v_y в каждой из главных плоскостей определяются обычными методами, рассмотренными выше.