Лекции.Орг


Поиск:




Плоское напряженное состояние




В том случае, когда задано произвольное плоское напряженное состояние с напряжениями σх, σу, τxy, τyx можно найти напряжения действующие на площадках, наклоненных под углами α и 900 + α к оси х (рис.6.4).

(6.2)

(6.3)

Для напряженного состояния в точке «к» выполняется закон суммы нормальных напряжений:

σх + σу = σα + σα+90. (6.4)

В курсе сопротивление материалов важно знать значение максимальных нормальных и касательных напряжений.

На площадках, где действуют экстремальные нормальные напряжения s1, s2, касательные напряжения t=0. Такие площадки называются главными (рис. 6.5).

Нормальные напряжения на главных площадках называются главными напряжениями и обозначаются σ1 и σ2. Для них выполняются условие σ1 > σ2.

Главные напряжения определяются как:

(6.5)

Положение главных площадок находится из равенства

(6.6)

Максимальные касательные напряжения действуют на площадках, расположенных под углом α=±450 к оси х (рис.6.6):

 

(6.7)

(6.8)

 


 

Объемное напряженное состояние

 

Главные напряжения σ1, σ2, σ3 можно получить, приравнивая определитель ∆ системы уравнений (6.9) нулю, которая получена из условий равновесия элемента

x – σi) li mi + τ ni = 0

τxy li + (σу – σi) mi + τzy ni = 0 (6.9)

τxz li + τyz mi +(σz – σi) = 0

Получим кубическое уравнение относительно неизвестных главных напряжений (6.10):

(6.10)

I1, I2, I3 – инварианты главных напряжений, т.е. величины не зависящие от выбора исходной системы координат.

I1 = σхуz. (6.11)

I2 = σхσууσz.+ σzσx (6.12)

I3 = σхσуσz – σх (6.13)

Из уравнения (6.10) найдем главные напряжения σ1, σ2, σ3. Подставив значение одного из главных напряжений σi в первые два уравнения системы уравнений (6.9) и решив их совместно с геометрическим условием (6.14)

(6.14)

найдем величины направляющих косинусов, которые характеризуют положение главной площадки в системе координат xyz (рис. 6.7).

На площадке, нормаль к которой ni, действует напряжение σi с (i =1,2,3).

cos αi = cos(nix) = li

cos βi = cos(niy) = mi

cos γi = cos(niz) = ni

li , mi, ni – направляющие косинусы.

Напряжения и деформации при объемном напряженном состоянии определяются из обобщенного закона Гука.

(6.15)

Выражение (6.15) представляет собой обобщенный закон Гука при объемном напряженном состоянии. При действии нормальных напряжений по граням элементарного параллелепипеда происходит изменение объема материала, которое определяется по выражению (6.16):

(6.16)

 

Рассмотрим случай гидростатического сжатия элементарного параллелепипеда (рис. 6.8). σх = σу = σz.= – σ. Из уравнения (6.16) следует

(6.17)

Отсюда вытекает важный вывод, что коэффициент Пуассона μ £ 0,5, так как при сжатии элемент не может увеличивать объем.

 

 

Теории прочности

 

Элементы строительных конструкций и детали машин работают в условиях сложного напряженного состояния.

Оценка прочности элементов при одноосном напряженном состоянии производится путем эксперимента – испытания на растяжение (сжатие).

Для оценки прочности материала элемента, испытывающего сложное напряженное состояние, его сравнивают с одноосным напряженным состоянием.

При построении теорий прочности исходят из предпосылки, что два напряженных состояния считаются равнопрочными в том случае, когда при одинаковом и пропорциональном увеличении главных напряжений они становятся предельными.

Для пластичного материала предельными считаются напряжения, при которых появляются заметные остаточные (пластические) деформации. Предельные напряжения при одноосном растяжении принимаются равными пределу текучести σт.

Для хрупкого материала предельными считаются напряжения, которые соответствуют началу разрушения и принимаются при одноосном состоянии равным σв.

При построении теорий прочности связывают главные напряжения двух указанных состояний какой-либо причиной разрушения.

I теория прочности – теория наибольших нормальных напряжений

(6.18)

II теория прочности – теория наибольших линейных деформаций

(6.19)

III теория прочности – теория наибольших касательных напряжений

(6.20)

IV теория прочности – энергетическая

(6.21)

Теория прочности Мора:

σрасч. = σ – k σ3 £ R (6.22)

Здесь R – расчетное сопротивление материала;

k – коэффициент, учитывающий различные сопротивления материала деформациям растяжения и сжатия.


 

Главные напряжения удовлетворяют условию: σ1 > σ2> σ3.

Для пластических материалов в практике расчета строительных конструкций используется III и IV теория прочности.

 





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2017-02-28; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 492 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Неосмысленная жизнь не стоит того, чтобы жить. © Сократ
==> читать все изречения...

767 - | 677 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.008 с.