Нормальний розподіл ВВ. Нерівність Чебишева

План

1. Повторення основних теоретичних положень.

2. Розв’язання задач на знаходження ймовірностей, якщо величина розподілена за нормальним законом.

3. Розв’язання задач з використанням нерівності Чебишева та інших наслідків з граничних теорем.

Диференційна функція розподілу (щільність)	, а = М(Х)
Інтегральна функція розподілу ВВ Х
Ймовірність того, що ВВ Х прийме значення з проміжку [a, b]
Ймовірність того, що абсолютна величина відхилення ВВ від її математичного сподівання не перевищить ε
Правило „3-х σ”	Будь-яка нормально розподілена ВВ приймає всі свої значення у проміжку (а-3σ; а+3σ)
Нерівність Чебишева
Для схеми Бернуллі
Якщо D(Xі) ≤ C (C>0, і = 1, 2,..., n; Хі попарно незалежні)
Зауваження: 1) За умови знаходження нижньої межі величини, що оцінюють, округлення десятинних дробів роблять з нестачею. 2) У випадках, коли про величину p та q нічого невідомо, у правій частині формул (3) та (4) добуток pq вважається рівним 0,25, тобто найбільш можливому значенню.

Задача 1. Знайти ймовірність того, що нормально розподілена ВВ з математичним сподіванням, яке дорівнює 3, та дисперсією, що дорівнює 4, прийме значення: а) у проміжку [–1;5]; б) не більше 8; в) не менше 5; г) у проміжку (-3; 9).

Розв’язання.

а) Р (–1 ≤ Х ≤ 5) = _________________________________________________________

________

б) Р (– ∞ ≤ Х ≤ 8) = ________________________________________________________

________

в) Р (5 ≤ Х ≤ + ∞) = ________________________________________________________

________

г) Р (– 3 < Х < 9) = ________________________________________________________

________

 

Задача 2. Випадкова величина Х розподілена за нормальним законом, її математичне сподівання та середнє квадратичне відхилення відповідно дорівнюють 2 та 0,5. Записати диференційну та інтегральну функції розподілу.

Розв’язання.

_______

_______

_______

_______

Задача 3. Випадкова величина Х підкоряється нормальному закону. Математичне сподівання та дисперсія цієї ВВ дорівнюють 6 та 25 відповідно. Знайти ймовірність того, що відхилення ВВ Х від її математичного сподівання за абсолютною величиною не перевищить 2.

Розв’язання.

_______

_______

_______

Задача 4. Випадкова величина Х розподілена нормально з математичним сподіванням а = 10 та середнім квадратичним відхиленням σ = 5. Знайти довірчий інтервал, в який з ймовірністю 0,8664 попадає в результаті випробувань значення випадкової величини Х.

Розв’язання.

= _____________

= _________; = _________; e = _________________________

_______

_______

Задача 5. Нормально розподілена випадкова величина Х має математичне сподівання М (Х) = 2 та дисперсією σ² = 9. Вкажіть інтервал її практично можливих значень згідно правилу „3-х σ”.

Розв’язання.

_______

_______

 

Задача 6. Дискретна випадкова величина Х – кількість викликів, що поступають протягом хвилини на комутатор, задана розподілом:

Х
Р	0,1	0,2	0,7

Оцінити ймовірність того, що абсолютна величина відхилення Х від її математичного сподівання не перевищить 1.

Розв’язання.

Х	Р	Х × Р	Х 2 × Р

М (Х) = ________; D (X) =___________________________________________________

= ______________________________

Задача 7. Після штампування перевірено 3000 виробів. Серед них виявилося 120 штук з дефектами (брак). Відносна частота (доля) виготовлення бракованих виробів прийнята за приблизне значення статистичної ймовірності виготовлення бракованого виробу. З якою ймовірністю можна гарантувати, що абсолютна погрішність при цьому не буде перевищувати 0,01. Як змінився б результат розв’язку, якщо б така ж відносна частота бракованих виробів була б виявлена при перевірці 30000 виробів? Пояснити причину різних результатів, пов’язуючи цей факт із законом великих чисел.

Розв’язання.

р = ______________, q = ____________

n = ____________

= _________________________________________

n = ____________

= _________________________________________

_______

_______

 

Практичне заняття 6(Колоквіум)