Теореми додавання та множення ймовірностей. Формула повної ймовірності. Формула Байєса

План

1. Повторення формул додавання та множення ймовірностей. Випадки сумісних та несумісних, залежних та незалежних подій.

2. Розв’язання задач з використанням формул додавання та множення ймовірностей.

3. Повторення формули повної ймовірності.

4. Розв’язання задач з використанням формули повної ймовірності.

5. Повторення формули Байєса.

6. Розв’язання задач на обчислення після експериментальних ймовірностей з використанням формули Байєса.

Формула повної ймовірності:

Формула Байєса:

Теорема додавання ймовірностей:

Для сумісних подій

Для несумісних подій

Теорема добутку ймовірностей:

Для залежних подій

Для незалежних подій

Задача 1. Модельєр, який розробляє нову колекцію одягу до весняного сезону, створює моделі в зеленій, чорній та червоній гамі. Ймовірність того, що зелений колір буде в моді навесні, модельєр оцінює в 0,3, що чорний – в 0,2, а ймовірність того, що буде модний червоний колір – в 0,15. Припускаючи, що кольори вибираються незалежно один від одного, оцінити ймовірність того, що рішення щодо кольорів колекції буде вдалим хоча б за одним з вибраних кольорів.

Розв’язання.

Опишемо події:

А = ____

В = ____

С = ____

Їх ймовірності: _____, _____, _____.

D = „рішення щодо кольорів колекції буде вдалим хоча б за одним з вибраних кольорів”.

________________________________________________________________

_______

Відповідь: _____________________________________________________________.

Задача 2. Готуючись до вступного іспиту з математики, абітурієнт повинен підготувати 20 питань з елементів математичного аналізу та 25 з геометрії. Він встиг підготувати тільки 15 питань з елементів математичного аналізу та 20 з геометрії. Білет містить 3 питання, 2 з яких з елементів математичного аналізу та 1 з геометрії. Яка ймовірність, що: а) студент складе іспит на „відмінно” (відповість на всі 3 питання); б) на „добре” (відповість на будь-які 2 питання)?

Розв’язання.

Опишемо події:

А = ____

В = ____

С = ____

Їх ймовірності: _____, _____, _____.

_______

а) D = „студент складе іспит на „відмінно””

________________________________________________________________

_______

б) Е = „студент складе іспит на „добре””

_________________________________________________________________

_______

Відповідь: а) ___________________, б) _________________________.

Задача 3. Два стрільці провели по одному пострілу. Ймовірність влучення першим – 0,6; другим – 0,7. Знайти ймовірність наступних подій: а) обидва стрільця влучили в мішень; б) влучив хоча б один стрілець; в) перший стрілець не влучив у мішень, а другий влучив; г) було точно одне влучення.

Розв’язання.

Опишемо події:

А = ____

В = ____

Їх ймовірності: _____, _____.

_______

а) D = „обидва стрільця влучили в мішень”

________________________________________________________________

_______

б) Е = „в мішень влучив хоча б один стрілець”

_________________________________________________________________

_______

в) F = „перший стрілець не влучив у мішень, а другий влучив”

________________________________________________________________

_______

г) G = „було точно одне влучення”

_________________________________________________________________

_______ Відповідь: а) ___________________, б) _________________________.

в) ___________________, г) _________________________.

Задача 4. Фінансовий аналітик припускає, що якщо норма (ставка) відсотка впаде за певний період, то ймовірність того, що ринок акцій буде зростати в цей же час, дорівнює 0,80. Аналітик також вважає, що норма відсотка може впасти за цей же період з ймовірністю 0,40. Використовуючи отриману інформацію, визначити ймовірність того, що ринок акцій буде зростати, а норма відсотка падати протягом обговорюваного періоду.

Розв’язання.

Опишемо події:

А = ____

В = ____

С = ____

Їх ймовірності: _____, _____.

_________________________________________________________________

Відповідь: _____________________________________________________________.

Задача 5. Стандарт заповнення рахунків, встановлений фірмою, передбачає, що не більше 5% рахунків будуть заповнюватися з помилками. Час від часу компанія проводить випадкову вибірку рахунків для перевірки правильності їх заповнення. Виходячи з того, що допустимий рівень помилок – 5% і 10 рахунків відібрані у випадковому порядку, чому дорівнює ймовірність того, що серед них немає помилок?

Розв’язання.

Опишемо події:

А = ____

В = ____

Їх ймовірності: _____, _____________________________________________.

_________________________________________________________________

Відповідь: _____________________________________________________________.

Задача 6. У фірмі 550 працівників, 380 з них мають вищу освіту, 412 – середню спеціальну, 357 – вищу і середню спеціальну освіту. Чому дорівнює ймовірність того, що випадково обраний працівник має або середню спеціальну, або вищу освіту, або і те й інше?

Розв’язання.

Опишемо події:

А = ____

В = ____

С = ____

Їх ймовірності: _____, _____, _____.

_______

D = „випадково обраний працівник має або середню спеціальну, або вищу освіту, або і те й інше”

________________________________________________________________

_______

Відповідь: _____________________________________________________________.

Задача 7. З колоди в 52 карти виймають 4. Яка ймовірність того, що всі вони різних мастей?

Розв’язання.

А = „всі карти різних мастей”

_________________________________________________________________

Відповідь: _____________________________________________________________.

Задача 8. В урні знаходиться 15 куль: 8 білих та 7 чорних. Визначити ймовірність того, що з двох навмання взятих куль, обидві будуть білими.

Розв’язання.

_____________________________________

Відповідь: _____________________________________________________________.

Формула повної ймовірності:

Формула Байєса:

Задача 9. Є дві урни. У першій знаходяться 3 білих та 2 чорних кулі, а в другій 4 білих та 4 чорних. З першої урни до другої переклали не дивлячись дві кулі. Після цього з другої урни витягнули одну кулю. Знайти ймовірність того, що ця куля біла.

Розв’язання.

Сформулюємо гіпотези:

= „з першої урни до другої переклали ____________________________________”

= „з першої урни до другої переклали ___________________________________”

Знайдемо ймовірності гіпотез:

_________________, ________________, _________________.

А = „куля, яку витягнули з другої урни, біла”

Знайдемо ймовірності події А за умови кожної гіпотези:

______________, ______________, ______________.

_________________________________________________________________

Відповідь: _____________________________________________________________.

Задача 10. Директор компанії має 2 списки з прізвищами претендентів на роботу. У 1-му списку – прізвища 6 жінок і 3 чоловіків. У 2-му списку опинилися 4 жінки і 7 чоловіків. Прізвище одного з претендентів випадково переноситься з 1-го списку в 2-й. Потім прізвище одного з претендентів випадково вибирається з 2-го списку. Якщо припустити, що це прізвище належить чоловікові, чому дорівнює ймовірність того, що з 1-го списку було перенесене прізвище жінки?

Розв’язання.

Сформулюємо гіпотези:

= „з першого списку до другого перенесли прізвище _______________________”

Знайдемо ймовірності гіпотез:

__________, __________.

А = „з 2-го списку вибрали прізвище, що належить чоловікові”

Знайдемо ймовірності події А за умови кожної гіпотези:

______________, ______________.

_________________________________________________________________

Відповідь: _____________________________________________________________.

Задача 11. Є три партії виробів: у першій партії 2% бракованих виробів, у другій –5%, у третій – 1%. Навмання вилучено виріб з навмання взятої партії. Знайти ймовірність того, що вилучений виріб бракований.

Розв’язання.

Сформулюємо гіпотези:

= ____

= ___________________________________________________________________

Знайдемо ймовірності гіпотез:

__________, __________, __________.

А = „вилучений виріб – бракований”

Знайдемо ймовірності події А за умови кожної гіпотези:

______________, ______________, ______________.

_________________________________________________________________

Відповідь: _____________________________________________________________.

Задача 12. Судноплавна компанія організовує середземноморські круїзи протягом літнього періоду і проводить кілька круїзів у сезон. Оскільки в цьому виді бізнесу дуже висока конкуренція, то важливо, щоб всі каюти зафрахтованого під круїзи корабля були повністю зайняті туристами, тоді компанія отримає прибуток. Експерт з туризму, найнятий компанією, прогнозує, що ймовірність повного укомплектування корабля пасажирами протягом сезону, буде дорівнювати 0,92, якщо долар не подорожчає відносно гривні, і з ймовірністю – 0,75, якщо долар подорожчає. За оцінками економістів, ймовірність того, що протягом сезону долар подорожчає відносно гривні, дорівнює 0,23. Чому дорівнює ймовірність того, що квитки на всі круїзи будуть продані?

Розв’язання.

Сформулюємо гіпотези:

= ____

= ___________________________________________________________________

Знайдемо ймовірності гіпотез:

__________, __________.

А = „квитки на всі круїзи будуть продані”

Знайдемо ймовірності події А за умови кожної гіпотези:

______________, ______________.

_________________________________________________________________

Відповідь: _____________________________________________________________.

Задача 13. Серед студентів інституту – 30% першокурсники, 35% студентів навчаються на 2-му курсі, на 3-му і 4-му курсі їх 20% і 15% відповідно. За даними деканатів відомо, що на першому курсі 2% студентів здали сесію тільки на відмінні оцінки, на 2-му – 3%, на 3-му – 5%, на 4-му – 7% відмінників. Навмання викликаний студент виявився відмінником. Чому дорівнює ймовірність того, що він (або вона) навчається на третьому курсі?

Розв’язання.

Сформулюємо гіпотези:

= ____

= ___________________________________________________________________

Знайдемо ймовірності гіпотез:

__________, __________, __________, __________.

А = „навмання викликаний студент виявився відмінником”

Знайдемо ймовірності події А за умови кожної гіпотези:

__________, __________, __________, __________.

_________________________________________________________________

Відповідь: _____________________________________________________________.

Задача 14. Транснаціональна компанія обговорює можливості інвестицій в деякій державі з нестійкою політичною ситуацією. Менеджери компанії вважають, що успіх передбачуваних інвестицій залежить, зокрема, і від політичного клімату в країні, в яку передбачається вливання інвестиційних коштів. Менеджери оцінюють імовірність успіху (у термінах річного доходу від субсидій протягом 1-го року роботи) в 0,55, якщо переважна політична ситуація буде сприятливою; в 0,30, якщо політична ситуація буде нейтральною; в 0,10, якщо політична ситуація протягом року буде несприятливою. Менеджери компанії також вважають, що ймовірності сприятливої, нейтральної і несприятливої політичних ситуацій відповідно дорівнюють: 0,60, 0,25 і 0,15. Чому дорівнює ймовірність успіху інвестицій?

Розв’язання.

Сформулюємо гіпотези:

= ____

= ___________________________________________________________________

Знайдемо ймовірності гіпотез:

__________, __________, __________.

А = „вилучений виріб бракований”

Знайдемо ймовірності події А за умови кожної гіпотези:

______________, ______________, ______________.

_________________________________________________________________

Відповідь: _____________________________________________________________.

Задача 15. Економіст-аналітик умовно поділяє економічну ситуацію в країні на «добру», «посередню» і «погану» і оцінює їх ймовірності для даного моменту часу в 0,15; 0,70 і 0,15 відповідно. Деякий індекс економічного стану зростає з імовірністю 0,60, коли ситуація «добра»; з імовірністю 0,30, коли ситуація «посередня», і з імовірністю 0,10, коли ситуація «погана». Нехай в даний момент індекс економічного стану зріс. Чому дорівнює ймовірність того, що економіка країни на підйомі?

Розв’язання.

Сформулюємо гіпотези:

= ____

= ___________________________________________________________________

Знайдемо ймовірності гіпотез:

__________, __________, __________.

А = „індекс економічного стану зріс”

Знайдемо ймовірності події А за умови кожної гіпотези:

__________, __________, __________.

_________________________________________________________________

Відповідь: _____________________________________________________________.

Практичне заняття 3