Задание К.3.
Найти для заданного положения механизма скорости и ускорения точек В и С, а также угловую скорость и угловое ускорение звена, котором) эти точки принадлежат. Схемы механизмов помещены на рис. 12-14, а необходимые для расчета данные приведены в табл. 7.
Таблица 7
| Номер варианта (рис. 12-14) | Размеры, см | woa рад/с | wI рад/с | eOA рад/с2 | va, см/с | аА, см/с2 | ||||||||||||||
| ОА | r | АВ | АС | |||||||||||||||||
| — | — | — | — | |||||||||||||||||
| — | — | — | — | |||||||||||||||||
| — | — | — | — | — | — | |||||||||||||||
| — | — | — | — | — | ||||||||||||||||
| _ | — | — | — | — | ||||||||||||||||
| — | — | — | ||||||||||||||||||
| — | — | — | — | |||||||||||||||||
| — | _ | — | — | — | ||||||||||||||||
| — | — | — | — | — | ||||||||||||||||
| — | — | — | — | |||||||||||||||||
| — | _ | — | — | — | ||||||||||||||||
| — | _ | — | — | — | ||||||||||||||||
| — | — | — | — | |||||||||||||||||
| — | — | — | ||||||||||||||||||
| — | — | — | — | |||||||||||||||||
| — | — | — | — | — | ||||||||||||||||
| — | — | — | — | — | ||||||||||||||||
| — | — | — | — | |||||||||||||||||
| — | 2,5 | — | — | |||||||||||||||||
| — | — | — | — | — | ||||||||||||||||
| — | — | — | — | |||||||||||||||||
| — | — | — | — | |||||||||||||||||
| — | — | — | — | — | ||||||||||||||||
| — | - | — | — | |||||||||||||||||
| — | — | — | — | |||||||||||||||||
| — | 1,2 | — | — | |||||||||||||||||
| — | — | — | — | — | ||||||||||||||||
| — | — | — | — | |||||||||||||||||
| — | — | — | — | |||||||||||||||||
| — | — | — | — | — | ||||||||||||||||
Примечание. wА и eOA — угловая скорость и угловое ускорение кривошипа ОА при заданном положении механизма; wI — угловая скорость колеса I (постоянная); vA и аA — скорость и ускорение точки А. Качение колес происходит без скольжения.
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
|
Рис. 12
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
|
Рис. 13
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
|
Рис. 14
Пример выполнения задания. Дано: схема механизма в заданном положении (рис. 15); исходные данные (табл. 8).
Таблица 8
| Размеры, см | woa, рад/с | eOA рад/с2 | ||
| ОА | АВ | АС | ||
| 1,5 |
Р е ш е н и е. 1. Определение скоростей точек и угловой скорости звена (рис. 16). Вычисляем модуль скорости пальца А кривошипа ОА при заданном положении механизма:
va=woa ОА.
Скорость точки А перпендикулярна кривошипу ОА. Скорость ползуна В направлена по вертикали. Мгновенный центр скоростей РАВ шатуна АВ находится в точке пересечения перпендикуляров, проведенных из точек А и В к их скоростям.
Угловая скорость звена АВ
wАВ= vA/APAB.
Модули скоростей точек В и С
VВ=wАВ•ВРАВ; vС=wАВ•CPAВ
Расстояния АРАВ, ВРАВ и СРАВ определяются из рассмотрения треугольников АВРАВ и АСРАВ:
АРАВ=52,0 см; ВРАВ=30,0 см; СРАВ=36,1 см.
В соответствии с этим vA=15,0 см/с; wAB=0,29 рад/с; vB=8,7 см/с; vс = 10,5 см/с.
Вектор 
направлен перпендикулярно отрезку СРАВ в сторону, соответствующую направлению вращения звена AB.
| 
|
| Рис. 15 | Рис. 16 |
Для проверки определим скорость точки В другим способом. Воспользуемся теоремой о равенстве проекции скоростей точек на ось, проведенную через эти точки.
Направим ось х вдоль шатуна АВ в направлении от В к А.
Имеем va cos ( 
, х) = vb cos 
, x), или, как видно из рис. 16,
vA cos 60° = vB cos 30°.
Отсюда
vB = 8,7 см.
Полезно убедиться, что и найденная ранее скорость точки С удовлетворяет этой теореме.
|
| Рис. 17 |
2. Определение ускорений точек и углового ускорения звена (рис. 12). Ускорение точки А складывается из вращательного и центростремительного ускорений:
; 
; 
Согласно теореме об ускорениях точек плоской фигуры,
,
или
(1)
Центростремительное ускорение точки В во вращательном движении шатуна АВ вокруг полюса А
По приведенным формулам вычисляем:
20,0 см/с2; 
22,5 см/с2; 
5,0 см/с2.
Вектор 
направлен от А к О. Вектор 
перпендикулярен вектору и направлен противоположно vA (вращение кривошипа ОА – замедленное).
Вектор 
направлен от В к A. Что касается ускорения 
точки В и вращательного ускорения 
, то известны только линии действия этих векторов: — по вертикали вдоль направляющих ползуна, — перпендикулярно АВ.
Зададимся произвольно их направлениями по указанным линиям (рис. 17, а). Эти ускорения определим из уравнений проекций векторного равенства (1) на оси координат. Знак в ответе показывает, соответствует ли истинное направление вектора принятому при расчете.
Выбрав направление осей х и у, как показано на рис. 17, а, получаем:
(2)
(3)
Из уравнения (2) находим
aВ = 16,7 см/с2.
Ускорение ав направлено, как показано на рис. 17, а. Из уравнения (3) получаем
20,2 см/с2.
Направление противоположно показанному на рис. 17, а.
Ускорение и все его составляющие с учетом их истинных направлений и масштаба показаны на рис. 17, б.
Угловое ускорение шатуна АВ с учетом того, что здесь 
— алгебраическая величина, определяется по формуле
.
Вычисляя, находим
0,34 рад/с2.
Направление ускорения 
относительно полюса А определяет направление углового ускорения 
. Здесь под направлением углового ускорения понимается направление дуговой стрелки, которое при ускоренном вращении звена совпадает с направлением его вращения, а при замедленном — противоположно ему. В данном случае угловое ускорение противоположно направлению вращения шатуна.
Определить 
и можно и графически – построением многоугольника ускорений.
Отложим из точки В согласно (1) в выбранном масштабе последовательно векторы 
, 
и 
(рис. 17, в). Через конец вектора проведем прямую, параллельную вращательному ускорению , т. е. перпендикулярно АВ, до пересечения ее с прямой, по которой направлено ускорение .
Последнее определяется как замыкающая сторона многоугольника ускорений.
Модули аВ и аВАВ могут быть найдены измерением на чертеже.
Определяем ускорение точки С:
Вращательное и центростремительное ускорения точки С во вращательном движении АВ вокруг полюса А
, 
или
6,8 см/с2, 
1,7 см/с2
Вектор 
перпендикулярен вектору 
и направлен соответственно угловому ускорению 
.
Ускорение точки С находим способом проекций (рис. 17, а):
В результате вычислений получаем: аСх=11,2 см/с2; aCv = 21,8 см/с2; ас = 24,5 см/с2 (рис. 17, г).
Приведем решение этой же задачи другим, более общим методом.
На рис. 18 показана схема механизма в некотором произвольном положении.
Проведем оси координат. Уравнениями связи для данного механизма являются условия
(4)
( 
радиус-вектор точки B, проведенный из центра O),
хв = а = const. (5)
Проецируя (4) на ось х, с учетом (5) имеем
 (6)
Для определения угловой скорости звена АВ  и углового ускорения  нет необходимости выражать  из (6). Проще непосредственно дважды продифференцировать (6).
Имея в виду, что  , получаем в результате первого дифференцирования
 . (7)
Отсюда
 . (8)
Дифференцируя (7) и учитывая, что  , имеем
| 
|
| Рис. 18 |
(9)
Выражения (8) и (9) позволяют вычислять 
и 
для любого положения механизма, в частности для заданного (a=0°, b=30°).
Заметим, что 
и 
входят в эти выражения со знаком «+» или «–» в соответствии с принятым направлением отсчета угла а. В данном случае =1,5 рад/с, = -2,0 рад/с2. Смысл знаков и определяется направлением отсчета угла b.
Модуль скорости точки В 
. Модуль ускорения 
. Проецируя (4) на ось у, получаем
ув=ОA cos a + АВ cos b.
