Сложение параллельных сил плоскости. Уравнения равновесия.

Система параллельных сил (рис.25) приведем к произвольному центру О, получим в этом центре силу R*, равную главному вектору, и пару сил с момента М.

Направили ось У параллельно силам, тогда проекции главного вектора на координатные оси

Rx= ∑Fx=O; Ry=∑Fy= ±Piy

Так как Rx=O, то главный вектор направлен по оси У. Отсюда можно сделать вывод, что главный вектор системы параллельных сил параллелен силам, его модуль равен алгебраической сумме проекции сил на ось, параллельную силам, а его направление определяется знаком этой суммы.

Момент пары сил равен главному моменту параллельных сил относительно центра приведения: М=М₀= М₁₀+М₂₀+….М_n0

или

М=М_i0

 

Для системы параллельных сил плоскости имеем два условия равновесия.

М=0 и R*=0.

Два условия равновесия системы параллельных сил на плоскости можно выразить в виде двух уравнений:

или

при этом прямая АВ не должна быть параллельна силам.

 

Сложение параллельных сил в пространстве.

Для сложения параллельных сил P₁,P₂….P_n приложенных в точках A_1,A_2….A_n выберем произвольный центр приведения О.

После приведения системы cил к этому центру получим силу, при­ложенную в центре приведения и равную главному вектору заданных сил R*, и пару сил с моментом М, равным главному моменту Мо всех сил относительно центра приведения О.

Проведем через, центр приведения О три взаимно перпендикулярные оси х, у, z, направив ось z параллельно рассматриваемым силам (рис. 26).

Вычислим проекции главного вектора на оси координат

Рис 25

 

Так как проекции всех сил на оси Х и У равны нулю, то главный вектор R* направлен по оси Z.

Вычислим проекции главного момента М₀ относительно начала координат на оси x,y,z как главные моменты сил относительно этих осей:

 

Так как заданные силы параллельны оси z, то M_z=0 и главный момент M₀ рассматриваемой системы сил лежит в плоскости _xO_y, т.е. направлен перпендикулярно главному вектору R^*.

Модуль главного момента:

 

Для системы параллельных сил в пространстве имеются два условия равновесия сил:

M₀=0; R*=0

Если взаимно уравновешивающиеся силы параллельны оси z, то

т.е.

M_x=∑M_ix=0 и M_y=∑M_iy=0

 

а так же

Таким образом, для системы сил, параллельных оси z, имеем три уравнения равновесия

∑M_ix=0 ∑M_iy=0 ∑Z_i=0

 

Равновесие рычага.

Рычагом называется твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси под действием сил, лежащих в одной плоскости, перпендикулярной к этой оси (рис 27)

Равновесие рычага будет только в том случае, если сумма моментов всех сил приложенных к нему сил относительно неподвижной точки рычага равна нулю.

Условие равновесия:

P₂h₂-P₁h₁=0

Способность тела сопротивляться всякому, хотя бы и малому, нарушению его равновесия называется статической устойчивостью. Из условия равновесия сил, действующих на рычаг, получим условие устойчивости тел при опрокидывании. Положим, что к прямоугольному параллелепипеду весом G на высоте d приложена горизонтальная сила, которая может не только сдвинуть тело, но и опрокинуть его вращением вокруг ребра А. Считая, что сила Р недостаточно велика, чтобы сдвинуть тело, рассмотрим ее опрокидывающее действие (рис 28)

Обозначим через α расстояние до точки А, изображающей на чертеже ось вращения рычага, до линии действия силы G, которая препятствует опрокидыванию. Составим сумму момент задаваемых сил и G относительно опорной точки А:

Ga-Pd=0

откуда

Ga=Pd

Назовем абсолютные величины моментов сил G и Р относительно точки А соответственно Задерживающим и опрокидывающим моментами:

M_уд.=Ga M_опр.=Pd

Тогда на границе устойчивости получим:

M_уд.=M_опр.

Устойчивость при опрокидывании в технике при­нято определять соотношением величины удерживающего момента к величине опрокидывающего момента:

Это отношение называется коэффициентом устойчивости.

Очевидно, что в случае предельной устойчивости коэффициент устойчивости равен единице, а в случае устойчивого состояния К >1.