Численное решение задачи Коши для скалярного обыкновенного дифференциального уравнения.

Найти численное решение обыкновенного дифференциального уравнения в MathCAD можно разными способами. Рассмотрим случай, когда задан отрезок, на котором требуется построить решение, и значение неизвестной функции в начальной точке (на левом конце отрезка).

I. Алгоритм решения задачи Коши обыкновенного дифференциального уравнения с использованием «блока решений»:

1. Ввести ключевое слово Given, с которого начинается блок решений.

2. Записать уравнение, используя знак логического равенства между правой и левой частями уравнения с панели управления Evaluation (Выражения).

3. Задать начальные значения переменной, которая есть в уравнении.

4. Ввести ключевое слово Odesolve, которым заканчивается блок решений, то есть присвоить функции, относительно которой решается уравнение, значение Odesolve с параметрами интервала интегрирования.

5. Определить значение найденной функции в точках интервала, для чего создать соответствующий цикл.

6. Построить и отформатировать график найденной функции в точках интервала.

 

II. Алгоритм решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения с использованием встроенной функции (например rkfixed).

1. Задать начальные значения переменной, которая есть в уравнении.

2. Записать уравнения, используя знак логического равенства между правой и левой частями уравнения с панели управления Evaluation (Выражения).

3. Задать количество шагов интегрирования уравнения на интервале.

4. Присвоить функции, относительно которой решается уравнение, значение rkfixed с параметрами: функция, интервал интегрирования, количество шагов на интервале интегрирования, оператор дифференциального уравнения.

5. Определить значение найденной функции в точках интервала, для чего создать соответствующий цикл.

6. Построить и отформатировать график найденной функции в точках интервала.

 

Пример

I. Найдем решение обыкновенного дифференциального уравнения на интервале [0,100] с начальным условием у(0)=1, следуя алгоритму:

1. Ввести ключевое слово Given.

2. Записать уравнение, используя логический знак равенства:

.

3. Записать начальное условие, используя логический знак равенства:

у (0)=1.

4. Найти решение задачи с помощью функции Odesolve:

у:=Odesolve(x,100).

5. Создать цикл для построения графика решения:

x:=0,..100.

6. Построить график и отформатировать его.

 

II. Найдем для той же задачи решение с использованием встроенной функции rkfixed:

1. Задать начальное условие

у(0)=y0:=0.1.

2. Задать функцию, определяющую правую часть дифференциального уравнения .

3. Указать количество шагов интегрирования К:=100.

4. Найти решение задачи с помощью функции rkfixed. Знак равенства выбирается на панели Логика (Логические).

у=rkfixed(у0, х1,х2,К, D).

5. Создать цикл для построения графика решения:

х:=0,..100.

6. Построить график функции в точках интервала и отформатировать его.

 

Примечание: результаты решения дифференциального уравнения двумя подходами должны совпадать.

Отметим, что MathCAD содержит и другие встроенные функции для решения дифференциальных уравнений:

- Rkadapt – метод Рунге-Кутта с переменным шагом интегрирования (величина шага адаптируется к скорости изменения функции решения, то есть при быстром изменении шаг уменьшаем);

- Bulstoer – метод Булирша-Штера (более эффективен в случае, если решение является плавной функцией).

Эти функции имеют сходные параметры (y0, a, b, n, D):

- y 0 – вектор начальных значений неизвестных функций, входящих в систему (в случае одного уравнений и одной неизвестной функции – это просто число);

- a – начало отрезка, на котором ищется решение (именно в этой точке задается значение вектора y 0);

- b – конец отрезка интегрирования;

- n – количество частей, на которые разбивается отрезок интегрирования;

- D (x, y) – векторная функция, элементы которой содержат правые части уравнений системы в нормальной записи (когда левые части – производные от соответствующих функций, а в правых частях производные отсутствуют)