Вычисление определителей n-го порядка.

Пусть имеем определитель n -го порядка. Его вычисление вполне определяется приводимыми ниже теоремами.

Теорема 1: Произведение любого минора Мk -го порядка на его алгебраическое дополнение А_М в определителе d есть сумма некоторых членов определителя с теми же знаками, с какими они входят в состав определителя.

Теорема 2 (Лапласа) Пусть в определителе d порядка n произвольно выбраны k строк (или столбцов) . Тогда сумма произведений всех миноров k -го порядка, содержащихся в выбранных строках, на их алгебраические дополнения равна определителю d.

Частным случаем теоремы Лапласа является разложение определителя d:

по i -й строке:

(56)

по j -му столбцу:

(57)

Учитывая свойство 4 определителей запишем также:

(58)

(59)

☺ Пример 41. Определим знак члена определителя, определяемого записью:

,

Решение: Составим подстановку так, что первый индекс помещается в первую строку подстановки, а второй – во вторую ее строку, и разложим подстановку в произведение циклов:

.

Определим декремент: для записанной подстановки: d = n = 9 – 3 = 6, где 9 – порядок подстановки, 3 – число циклов в разложении подстановки → подстановка четная. Следовательно, заданный член определителя учитывается в записи суммы членов определителя со знаком «+».

Ответ: Положительный.

Пример 42. Определим знак члена определителя, определяемого записью:.

, (*)

Решение: Составим подстановку так, что первый индекс помещается в первую строку подстановки, а второй – во вторую ее строку, и разложим подстановку в произведение циклов:

.

Так как в верхней строке дважды используется элемент «2» и ни разу «1», то запись (*) не является членом определителя

Ответ: Исходная запись не является членом определителя.

Пример 43. Докажем тождество ,

используя свойства определителя.

Решение: Обозначим левую часть тождества d_L и произведем цепочку последовательных преобразований: 1-й шаг: 2_С +1_С; 2-й шаг: а) меняем местами 1-й и 2-й столбцы; б) выносим за скобку определителя общий множитель столбца (см. множитель “-2”); 3-й шаг: 2_С - 1_С; 4-й шаг: выносим за скобку общий множитель x: тождество доказано.

1 шаг

a1+b1x

2a1

c1

2 шаг

a1

a1+b1x

c1

3 шаг

a1

b1x

c1

4 шаг

a1

b1

c1

dL=

a2+b2x

2a2

c2

=–2

a2

a2+b2x

c2

= –2

a2

b2x

c2

= –2x

a2

b2

c2

a3+b3x

2a3

c3

a3

a3+b3x

c3

a3

b3x

c3

a3

b3

c3

Ответ: см. схему преобразований доказательства.

Пример 43. Вычислим определитель 4-го порядка ,

используя свойства определителя n – го для упрощения вычислений.

 

Решение: Вычислим определитель, применяя цепочку преобразований: 1-й шаг: 4С-1Сх2; 1R-2R; 2-й шаг: 4R-3Rх4; 3-й шаг: разложение определителя по 4-му столбцу; 4-й шаг: 3С-1С; 5 -й шаг: 3R+2R;2R+1R; 6 -й шаг: 3R-1R;2R+1R; 7-й шаг: разложение определителя по 3-му столбцу и вычисление определителя 2-го порядка:

1 шаг	7	-20	19	1	2 шаг		-20			3 шаг	20	64	21	4 шаг	20	64	1
	20	64	21	0	=	20	64	21		=1(-1)1+4	27	-60	25	= (-1)∙	27	-60	-2
dL=	13	-20	-13	-2		27	-60	25			-6	125	-3		-6	125	3
	46	45	-55	-8		-6	125	-3

5 шаг	20	64	1	6 шаг	20	64	1	7 шаг	67	68
= (-1)∙	47	4	-1	= (-1)∙	67	68	0	=1∙(-1)∙(-1)1+3	1	1	= 1
	21	65	1		1	1	0

 

 

Ответ: 1.

Пример 44. Вычислим определитель 5-го порядка ,

используя разложения «по строке» или «по столбцу»:

Решение: Учитывая правила разложения определителя по строке и по столбцу, запишем цепочку последовательных преобразований::

x

a

b

0

c

x

a

b

0

y

0

0

0

y

0

x

a

b

0

e

z

0

f

=v (-1)5+5

0

e

z

= vu (-1)4+4

y

= xyzuv

g

h

k

u

l

g

h

k

u

e

z

v

Ответ: x ∙ y ∙ z ∙ u ∙ v.

Пример 45. Вычислим определитель 6-го порядка ,

используя разложения «по k строкам» или «по k столбцам» (см. теорему Лапласа).

 

Решение: В рассматриваемом примере первый шаг вычислений подсказан тем, что в 5-м и 6-м столбцах только один определитель 2-го порядка не равен нулю. Значит выгодно разложение по этим двум столбцам. Учитывая правила разложения определителя «по k столбцам», запишем цепочку последовательных преобразований::

							3	2
						=	4	3	∙(-1)1+2+5+6					=			∙(-1)1+2+5+6∙			= 4

Ответ 4.

☻ Решите примеры:

Пример 46. Вычислите определитель: .

Ответ -8.

Пример 47. Вычислите определитель: .

Ответ 18.

Пример 48. Вычислите определитель: .

Ответ 10.

Пример 49. Вычислите определитель: .

Ответ (be – cd)².

Вопросы для самопроверки:

1. Может ли определитель n -го порядка не быть числом?

2. Изменится ли определитель n -го порядка, если в нем строки заменить столб-цами и наоборот?

3. Изменится ли определитель n -го порядка, если в нем строки (или столбцы) поменять местами?

4. Изменится ли определитель n -го порядка, если в нем из одной строки вычесть другую строку?

5. Изменится ли определитель n -го порядка, если в нем из одного столбца вычесть другой столбец?

6. Изменится ли определитель n -го порядка, если в нем строку умножить на число 2?

7. Применение теоремы Лапласа предполагает уменьшение трудоемкости вычисления определителей высокого порядка?

8. Может ли произведение нескольких невырожденных квадратных матриц n -го порядка дать в результате вырожденную матрицу?