Определители третьего порядка

Пусть имеем квадратную матрицу третьего порядка:

A = , (12)

элементами a_ij, которой могут быть элементы любого числового поля.

Определителем третьего порядка называется число:

a ₁₁ a ₂₂ a ₃₃ + a ₁₂ a ₂₃ a ₃₁ + a ₁₃ a ₂₁ a ₃₂ - a ₁₃ a ₂₂ a ₃₁ - a ₁₂ a ₂₁ a ₃₃ - a ₁₁ a ₂₃ a ₃₂ , (13)

составленное из элементов матрицы A. Слагаемые суммы (13) называют членами определителя 3-го порядка. Обозначения определителя 3-го порядка аналогичны введенным для определителя 2-го порядка:

 

(14)

Для запоминания формулы (13) нередко используют геометрическую схему составления членов определителя и выбора их знаков.

1) положительные члены определителя составляют по схеме С1:

a11					a12					a13
	a22					a23		a21
		a33		a31					a32

 

2) отрицательные члены определителя составляют по схеме С2:

		a13			a12			a11
	a22			a21						a23
a31						a33			a32

Для рассмотрения общего случая определителей n -го порядка установим основные свойства определителей 3-го порядка (все они справедливы и для определителей 2-го порядка).

Свойство 1. Величина определителя не изменится, если строки и столбцы этого определителя поменять ролями (для матрицы это преобразование называется транспонированием матрицы):

(15)

Доказательство этого свойства легко наблюдается на схемах С1 и С2: члены определителя составляются из элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца (причем ни один элемент не пропущен), как до транспонирования, так и после него. Сохранение знаков членов также очевидно.

Свойство 1 устанавливает полную равноправность строк и столбцов. Это значит, что в дальнейшем все свойства можно формулировать и для строк, и столбцов, но доказывать только для строк (или только для столбцов).

Свойство 2. Перестановка двух строк (или столбцов) определителя равносильна умножению его на число –1.

Доказательство достаточно легко пронаблюдать по схемам С1 и С2. Допустим поменяли местами строки 2-ю и 3-ю. Это приводит к перемещению всех трех «клеток» из схемы С1 формирования положительных членов определителя в схему С2 для формирования отрицательных членов, и наоборот.

Свойство 3. Если определитель имеет две одинаковые строки (или два одинаковых столбца), то он равен нулю.

Действительно, при перестановке двух одинаковых строк определитель не меняется, а по свойству 2 должен поменять знак на противоположный. Это значит, что d = -d, или d = 0.

Свойство 4. Умножение всех элементов некоторой строки (или столбца) определителя на число λ равносильно умножению определителя на это число.

Это значит, что общий множитель всех элементов некоторой строки (столбца) определителя можно выносить за знак этого определителя:

(16)

Это следует из выражения (13), а также из схем С1 и С2 формирования каждого члена определителя: каждый член определителя содержит только один элемент (причем обязательно содержит) из каждого столбца определителя.

Свойство 5. Если все элементы некоторой строки (или некоторого столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

Это свойство вытекает из свойства 4 при λ = 0.

Свойство 6. Если элементы двух строк (или двух столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Это следует из последовательного применения свойства 4 (вынесение коэффициента пропорциональности за знак определителя) и свойства 3 (в определителе оказалось две равные строки).

Свойство 7. Если каждый элемент n-й строки (или n-го столбца) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей:

(17)

Это следует из выражения (13) и правила формирования каждого члена определителя: каждый член определителя содержит только один элемент (причем обязательно содержит) из каждого столбца определителя, а также из распределительного свойства операций умножения и сложения для элементов числового поля.

Свойство 8. Если к элементам некоторой строки (или столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (другого столбца), умножен-ные на произвольный множитель λ, то величина определителя не изменится.

Это следует из последовательного применения свойства 7 (разбить определитель на сумму двух определителей) и свойства 6 (второй определитель равен нулю, т.к. имеет две пропорциональные строки (два пропорциональных столбца)).

Для рассмотрения «Свойства 9» требуется предварительно определить понятия «Минор данного элемента» и «Алгебраическое дополнение данного элемента».определи-теля 3-го порядка.

Преобразуем запись (13) определителя:

(18)

В соответствии с (17) определим:

1) M_ij – минор элемента a_ij: получается из данного определителя вычеркиванием строки i и столбца j, на пересечении которых стоит элемент a_ij;

2) A_ij – равняется минору элемента a_ij, взятому со знаком (+), если сумма i+j есть число четное, и со знаком (-) – в противном случае.

Запись (18) значит, что определитель равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (какой-либо строки) на соответствующие алгебраические дополнения элементов этого столбца (строки):

(19)

(20)

Воспользуемся записью (18) и заменим 1-й столбец произвольными числами h _1, h _2, h ₃:

. (21)

Если вместо чисел h _1, h _2, h ₃ взять элементы 2-го или 3-го столбцов определителя, получим (см. свойство 3):

(22)

(23)

Учитывая полученные результаты, определим еще одно важнейшее свойство определителя:

Свойство 9: определитель равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (какой-либо строки) на соответствующие алгебраические дополнения элементов этого столбца (строки); определитель равен нулю, если взята сумма произведений элементов одного столбца (строки), а алгебраические дополнения составлены для элементов другого столбца (строки).

Рассмотрим некоторые приложения определителя 3-го порядка.

Пусть имеем систему уравнений с тремя неизвестными:

(24)

где коэффициенты a _ij, при неизвестных x _i, и свободные члены b _i, системы уравнений считаются заданными.

Системе уравнений (24) соответствуют: матрица системы A (составлена из коэффициентов при неизвестных) и расширенная матрица (составлена из всех ее коэффи-циентов, включая свободные члены):

, (25)

 

Умножим 1-е уравнение системы (24) на алгебраическое дополнение А ₁₁, 2-е на А ₂₁, 3-е на А ₃₁ и сложим полученные уравнения:

,

или (см. свойство 9):

→ (26)

аналогично получим:

, ,

причем, в выражениях (26):

, , ,

А. Если , то для записи решения системы (3) можно использовать формулы Крамера:

, , (27)

Формулы (27) определяют единственное решение. Если считать каждое уравнение системы (24) уравнением плоскости, то геометрический аналог рассматриваемой системы уравнений - совокупность трех пересекающихся в одной точке плоскостей α ₁, α ₂, α ₃, причем точка пересечения плоскостей определяется решением (x ₁, x ₂, x ₃). Линии пересечения пар плоскостей проходят через одну точку: X= (x ₁, x ₂, x ₃).

Пусть уравнение плоскости имеет вид:

(28)

Известно, что вектор нормали к плоскости (28) определяется записью:

(29)

Тогда плоскостям α ₁, α ₂, α ₃ соответствуют векторы нормалей:

, , (30)

Б. Если , то применение формул Крамера невозможно, и дальнейшее исследование системы уравнений (24) требует рассмотрения ряда случаев.

Случай 1. Две (только две) строки матрицы системы А пропорциональны (потому имеем ). Пусть это будут строки 1 и 2, и пусть коэффициент пропорциональности равен λ. Это значит, что плоскости α ₁, α ₂ параллельны, т.е. векторы нормалей этих плоскостей и параллельны, т.е. коллинеарны: = λ . В этом случае третья плоскость α ₃ пересекает плоскости α ₁, α ₂ по прямым l ₁, l ₂, которые не пересекаются. Это значит, что система (24) решений не имеет. Это же следует из равенств (26): ни одно их них не может быть выполнено ни при каких значениях (x ₁, x ₂, x ₃), т.к. ни один из определителей d ₁, d ₂, d ₃ не равен нулю. Это значит, что система несовместна.

Случай 2. Все три строки матрицы системы А пропорциональны (потому имеем ). Это значит, что плоскости α ₁, α ₂ и α ₃ параллельны, т.е. векторы нормалей этих плоскостей , и параллельны. В этом случае плоскости не пересекаются, т.е. не имеют общих точек. Это значит, что система (24) решений не имеет. Это же следует из равенств (26): ни одно их них не может быть выполнено ни при каких значениях (x ₁, x ₂, x ₃), т.к. ни один из определителей d ₁, d ₂, d ₃ не равен нулю. Это значит, что система несовместна.

Замечание: в случаях 1 и 2 возможна ситуация, когда одновременно с равенством выпол-няются равенства d ₁=0, d ₂=0 и d ₃=0, причем последние равны нулю из-за равенства всех трех столбцов матрицы А. В таком случае параллельности соответствующих плоскостей остаются и точек, общих сразу для трех плоскостей, нет. Система уравнений (23) и в этом случае несовместна, хотя все равенства (26) выполняются для любых наборов чисел (x ₁, x ₂, x ₃).

Случай 3. Две (только две) строки расширенной матрицы пропорциональны (потому имеем ). Пусть пропорциональны 2-я и 3-я строки. Это значит, что плоскости α ₂, α ₃ совпадают, а плоскость α ₁ пересекает плоскости α ₂, α ₃ по прямой l _1-2, все точки которой являются общими для всех трех плоскостей. Решений (из геометрических соображений) должно быть бесчисленное множество.

На самом деле мы совпавшие плоскости не будем различать, т.к в рассматриваемом случае 3-е уравнение можно считать следствием 2-го и отбросить его. Далее необходимо рассматривать решение системы двух уравнений с тремя неизвестными:

(31)

Т.к. строки системы уравнений (31) не пропорциональны (принято в рассматриваемом случае), то хотя бы один определитель системы (31):

.

не равен нулю. Примем, что не равен нулю определитель:

, (32)

и запишем систему уравнений (31) в виде:

(33)

Далее, используя формулы Крамера (9) для случая , присваивая произвольные значения переменной x ₃, будем вычислять соответствующие значения x ₁, x ₂. Получаемые таким образом тройки чисел (x ₁, x ₂, x ₃), будут принадлежать упоминаемой ранее линии l _1-2 пересечения плоскостей α ₁, α ₂. Следовательно исходная система (24) имеет бесчисленное множество решений и потому неопределенна.

Случай 4. Все три строки расширенной матрицы пропорциональны (потому имеем ). Это значит, что плоскости α ₁, α ₂ и α ₃ совпадают и все точки одной из плоскостей принадлежат двум другим плоскостям.

На самом деле мы совпавшие плоскости не будем различать, т.к в рассматриваемом случае 2-е и 3-е уравнения можно считать следствием 1-го и отбросить их. Далее необходимо рассматривать решение одного уравнения с тремя неизвестными:

(34)

Далее, присваивая произвольные значения переменным x ₂, x ₃, будем вычислять соответствующее значение x ₁. Получаемые таким образом тройки чисел (x ₁, x ₂, x ₃), будут принадлежать каждой из плоскостей α ₁, α ₂, α ₃. Следовательно исходная система (24) имеет бесчисленное множество решений и потому неопределенна.

Представляет интерес рассмотреть частный случай системы уравнений с тремя неизвестными:

(35)

когда все свободные члены b _i, системы уравнений (24) равны нулю – одно-родная система уравнений.

В этом случае каждое уравнение системы уравнений (35) соответствует плоскости, содержащей начало координат О (0, 0, 0). Это значит, что система уравнений (35) всегда имеет решение, т.к. плоскости α ₁, α ₂, α ₃ имеют общую точку О.

Если , то решение (0, 0, 0) – единственно. Геометрически это отвечает случаю, когда среди плоскостей α ₁, α ₂, α ₃ нет параллельных (представление об этом случае дают координатные плоскости системы координат OXYZ, где линии пересечения пар плоскос-тей – это оси координат OX, OY, OZ).

Если , то две или все три плоскости α ₁, α ₂, α ₃ совпадают. Тогда решение системы уравнений (33) – это либо множество точек линии пересечения (прямой) двух несовпавших плоскостей, либо все множество точек, принадлежащих одной плоскости (всем совпавшим плоскостям α ₁, α ₂, α ₃).

Рассмотрим отдельно случай, когда совпадают плоскости α ₂ и α ₃, т.е. 3-е уравнение можно считать следствием 2-го и отбросить его. Оставшиеся уравнения запишем в виде:

(36)

причем в этой записи считаем, что не равен нулю определитель:

, (37)

Далее, используя формулы Крамера (9) для случая , присваивая произвольные значения переменной x ₃, будем вычислять соответствующие значения x ₁, x ₂:

, , (38)

или:

, , (39)

 

Учитывая, что неизвестные x ₁, x ₂, x ₃ участвуют в уравнениях равноправно, получим для их вычисления симметричные выражения. Для этого рассмотрим вспомагательный определитель:

,

и его алгебраические дополнения:

, , . (40)

Используя (40), получим симметричные выражения для неизвестные x ₁, x ₂, x ₃:

, , , (41)

где t может принимать произвольные значения. Если параметр t определить как время, и принять, что при значении t = 0 некоторая точка находилась в начале координат O (0, 0, 0), то, двигаясь со скоростью v =(p, q, d), в момент времени t движущаяся точка будет находиться в точке X(x ₁, x ₂, x ₃ ).

☺ Пример 21. Вычислим определитель: .

Решение: Используя определение определителя 3-го порядка и учитывая его свойства, вычислим определитель несколькими способами:

Способ 1. В соответствии с определением определителя 3-го порядка:

.

Способ 2. Воспользуемся Свойством 9, и вычислим данный определитель 3-го порядка разложением по 1-й строке:

.

Способ 3. Воспользуемся Св. 9, и вычислим данный определитель разложением по 2-й строке, но предварительно (см. Св.8) упростим его:

.

Действия: 1) из 2-го столбца вычли 3-й; 2) из 2-й строки вычли 3-ю; 3) к 1-му столбцу прибавили 3-й: в результате во второй строке все нули, кроме одной 1; 4) по Св.9 записали разложение по 2-й строке; 5) вычислили один определитель 2-го порядка.

Вывод: вычисление определителя 3-го порядка Способом 3 значительно упрощает вычислительные трудности при счете вручную.

Ответ: 1.

Пример 22. Заданы три плоскости: ; , . Опреде-лим, имеют ли они одну общую точку или несколько.

Решение: Для решения задачи:

1) составим определитель: из коэффициентов при неизвестных x, y, z;

2) вычислим определитель одним из способов, приведенных в примере 22: результат вычислений определителя .

Вывод: заданные плоскости имеют только одну общую точку.

Ответ: Плоскости пересекаются в одной точке.

☻ Решите примеры:

Пример 23. Вычислите определитель: .

Пример 24. Вычислите определитель: .

Пример 25. Вычислите определитель: .

Пример 26. Вычислите определитель: , где ω = .

Вопросы для самопроверки:

1. Может ли определитель 3-го порядка не быть числом?

2. Изменится ли определитель 3-го порядка, если в нем строки заменить столб-цами и наоборот (проверьте!)?

3. Изменится ли определитель 3-го порядка, если в нем строки (или столбцы) поменять местами (проверьте!)?

4. Изменится ли определитель 3-го порядка, если в нем из одной строки вычесть другую строку (проверьте!)?

5. Изменится ли определитель 3-го порядка, если в нем из одного столбца вычесть другой столбец (проверьте!)?

6. Изменится ли определитель 3-го порядка, если в нем строку умножить на число 2 (проверьте!)?

7. Существует ли определитель для матрицы: ?