ГЛАВА 3. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Определителем второго порядка называется число, соответствующее квадратной матрице второго порядка, равное a11a22 – a21a12. Для обозначения определителя обычно используют прямые скобки (или символ det):
A = 
→ 
(1)
Элементы, составляющие матрицу данного определителя, называют элементами этого определителя.
Для запоминания формулы (1) можно использовать геометрическую схему составления членов определителя и выбора их знаков.
1) положительный член определителя соответствует схеме С1:
| a11 | |
| a22 |
2) отрицательный член определителя соответствует схеме С2:
| a12 | |
| a21 |
Из условия равенства нулю определителя следует цепочка выражений:
→ 
или 
, (2)
что определяет пропорциональность строк или столбцов определителя (1), а значит, и соответствующих строк и столбцов связанной с определителем матрицы.
Возникновение математической конструкции «определитель» связывают с задачей исследования и отыскания решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
(3)
где коэффициенты a11, a21, a12, a22 при неизвестных x1, x2 и свободные члены b1, b2 системы уравнений считаются заданными.
Системе уравнений (3) соответствуют: матрица системы (составлена из коэффициентов при неизвестных) и расширенная матрица (составлена из всех ее коэффициентов, включая свободные члены):
, 
(4)
Уравняем коэффициенты при неизвестной x2 в 1-м и 2-м уравнениях системы (3), умножив 1-е на a22, и 2-е на a12. Вычитая из полученного таким образом 1-го уравнения преобразованное 2-е, получим:
. (5)
Аналогично, уравнивая коэффициенты при неизвестной x1 в 1-м и 2-м уравнениях системы (3), получим:
. (6)
Если ввести обозначения:
, 
, 
, (7)
то уравнения (5) и (6) можно записать в виде:
, 
(8)
Если 
, то решение системы (3) может быть записано при помощи формул Крамера:
, 
(9)
Формулы (9) определяют единственное решение. Если считать каждое уравнение системы (3) уравнением прямой, то рассматриваемый случай соответствует двум пересекающимся прямым, причем точка пересечения прямых определяется решением (x1,, x2).
Если 
, то применение формул Крамера невозможно. В этом случае строки матрицы A пропорциональны (см. (2)):
1). Если при этом ни один из определителей d1 и d2 не равен нулю, то геометрическим аналогом системы уравнений (3) является пара параллельных прямых. В этом случае ни одно из равенств (9) невозможно, т.е. решения нет (прямые не имеют общих точек), или говорят – система несовместна.
2). Но, если хотя бы один из определителей d1, d2 равен нулю (на самом деле они равны нулю одновременно!), то, учитывая (2), получим пропорциональность строк матрицы 
:
(10)
Это значит, что 2-е уравнение системы является следствием 1-го, т.е. фактически имеем одно уравнение с двумя неизвестными, и одной из переменных можно присваивать произ-вольные значения: решений бесчисленное множество – система неопределенна. В этом случае геометрическим аналогом системы уравнений (3) является пара совпавших прямых.
Если свободные члены системы b1, b2 равны одновременно нулю, то система (3) принимает вид:
(11)
и имеет специальное название – однородная система (геометрически каждое уравнение отражает прямую, проходящую через начало координат).
Система (11) всегда имеет решение (0, 0). Если (очевидно при этом d1 и d2 равны нулю), то это решение единственно (точка (0, 0) является точкой пересечения прямых). Для того, чтобы система (11) имела еще и ненулевые решения (их оказывается бесчисленное множество), необходимо (в этом случае прямые совпадают).
☺ Пример 13. Вычислим определитель: 
.
Решение: Используя определение определителя 2-го порядка, из каждого элемента определителя вынесем за знак определителя общие множители, и затем применим формулу (1):
.
Ответ: 1.
Пример 14. Вычислим определитель: 
.
Решение: Используя формулу (1) вычисления определителя 2-го порядка, запишем:
.
Ответ: 1.
☻ Решите примеры:
Пример 15. Вычислите определитель: 
.
Пример 16. Вычислите определитель: 
.
Пример 17. Вычислите определитель: 
.
Пример 18. Вычислите определитель: 
.
Пример 19. Вычислите определитель: 
.
Вопросы для самопроверки:
1. Может ли определитель 2-го порядка не быть числом?
2. Изменится ли определитель 2-го порядка, если в нем строки заменить столб-цами и наоборот (проверьте!)?
3. Изменится ли определитель 2-го порядка, если в нем строки (или столбцы) поменять местами (проверьте!)?
4. Изменится ли определитель 2-го порядка, если в нем из одной строки вычесть другую строку (проверьте!)?
5. Изменится ли определитель 2-го порядка, если в нем из одного столбца вычесть другой столбец (проверьте!)?
6. Изменится ли определитель 2-го порядка, если в нем строку умножить на число 2 (проверьте!)?
