Формулы Грина, Стокса, Остроградского-Гаусса

 

Эти формулы связывают интеграл по фигуре с некоторым интегралом по границе данной фигуры.

Пусть функции непрерывны в области D Ì Oxy и на ее границе Г; область D – связная; Г – кусочно-гладкая кривая. Тогда верна формула Грина:

 

; (2.22)

 

здесь слева стоит криволинейный интеграл I рода, справа – двойной интеграл; контур Г обходится против часовой стрелки.

Пусть Т – кусочно-гладкая ограниченная двусторонняя поверхность с кусочно-гладкой границей Г. Если функции P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z) и их частные производные I порядка непрерывны в точках поверхности Т и границы Г, то имеет место формула Стокса:

 

(2.23)

 

слева стоит криволинейный интеграл II рода; справа – поверхностный интеграл II рода, взятый по той стороне поверхности Т, которая остается слева при обходе кривой Г.

Если связная область W Ì Oxyz ограничена кусочно-гладкой, замкнутой поверхностью Т, а функции P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z) и их частные производные первого порядка непрерывны в точках из W и Т, то имеет место формула Остроградского-Гаусса:

(2.24)

слева – поверхностный интеграл II рода по внешней стороне поверхности Т; справа – тройной интеграл по области W.

Пример 1. Вычислить работу силы при обходе точки ее приложения окружности Г: , начиная от оси Ox, по часовой стрелке (рис. 2.18).

Решение. Работа равна . Применим формулу Грина (2.22), ставя знак “-” справа перед интегралом (так как обход контура – по часовой стрелке) и учитывая, что P (x, y)= x - y, Q (x, y)= x + y. Имеем:
,
где S_D – площадь круга D: , равная . В итоге: – искомая работа силы.

Пример 2. Вычислить интеграл , если Г есть окружность в плоскости z =2, обходимая против часовой стрелки.

Решение. По формуле Стокса (2.23) исходный интеграл сведем к поверхностному интегралу по кругу Т:
T:

Итак, учитывая, что , имеем:

Последний интеграл есть двойной интеграл по кругу D Ì Oxy, на который проектировался круг Т; D: . Перейдем к полярным координатам: x = r cosj, y = r sinj, jÎ[0;2p], r Î[0;1]. В итоге:
.

Пример 3. Найти поток П векторного поля через полную поверхность Т пирамиды W: (рис. 2.19) в направлении внешней нормали к поверхности.

Решение. Поток равен . Применяя формулу Остроградского-Гаусса (2.24), сводим задачу к вычислению тройного интеграла по фигуре W -пирамиде:

Пример 4. Найти поток П векторного поля через полную поверхность T пирамиды W: ; (рис. 2.20), в направлении внешней нормали к поверхности.

Рис. 2.20

Решение. Применим формулу Остроградского-Гаусса (2.24) , где V – объем пирамиды. Сравним с решением непосредственного вычисления потока ( – грани пирамиды).

,
так как проекция граней на плоскость Oxy имеет нулевую площадь (рис. 2.21),

Рис. 2.21

ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ