Разложение функции в ряд Тейлора

 

Если функция f (x) имеет производные всех порядков в окрестности точки x = a, то для нее можно написать ряд по степеням (x - a):

Этот ряд называется рядом Тейлора функции f (x) в точке x = a.

Теорема 6. Если функция f (x) и все ее производные ограничены на интервале (a - R, a + R) одним и тем же числом, т.е. существует постоянная M >0 такая, что выполняется неравенство , то функция f (x) представляется сходящимся к ней рядом Тейлора:

. (13)

Равенство (13) верно и в случае, когда остаточный член ряда Тейлора стремится к нулю при n ®¥. Остаточный член R_n (x) можно вычислить по формуле:

. (14)

Если , то ряд не сходится к данной функции.

Если в ряде Тейлора положим a =0, получим частный случай ряда Тейлора, который называют рядом Маклорена:
.

Приведем разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций:

Пример 1. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x =0.

Решение. Имеем . Вычисляем , т.е. . Далее последовательно получаем:

Отметим, что . Записываем ряд Тейлора:

Пример 2. Разложить функцию в ряд по степеням x, используя разложения основных элементарных функций. Воспользуемся приведенным выше биномиальным разложением . (15)

Преобразуем исходную функцию: . Подставим в формулу (15) , а вместо x выражение . Получим следующее разложение:

Разложение имеет место при , т.е. при | x |<3.

 

Применение степенных рядов в приближенных вычислениях

 

Приближенное вычисление значений функций.

Пусть функция f (x) в окрестности точки a разлагается в ряд Тейлора. Тогда приближенное значение функции f (x) в любой точке этой окрестности может быть вычислено как частичная сумма этого ряда.

Пример 1. Вычислить с точностью до 0,001.

Решение. . Воспользуемся биномиальным рядом (15) при . Получаем:

 

Полученный ряд является знакочередующимся рядом. Третий член по модулю меньше 0,001, поэтому его и следующие за ним члены можно отбросить. С указанной точностью получим .

Пример 2. Вычислить с точностью до 0,001.

Решение. Воспользуемся разложением

,

где . При x =0,1 получаем: Определим, сколько надо слагаемых для достижения требуемой точности. Так как 0,1Î[0,0,5], то . Тогда ; . При x =0,1 имеем неравенство: . Полагая n =2, получим . Значит, достаточно взять три слагаемых:.

Пример 3. Вычислить ln2 с точностью до .

Решение. Применим разложение. Этот ряд сходится при
x Î(-1,1). Если , то x =1/3. Возьмем n -ю частичную сумму. Погрешность этого равенства выражается остатком ряда . Для его оценки все множители в знаменателях, стоящие перед степенью 3, заменим на 2 n +3. Получим

Решая неравенство , находим, что n =4: . Итак,