Если функция f (x) имеет производные всех порядков в окрестности точки x = a, то для нее можно написать ряд по степеням (x - a):
Этот ряд называется рядом Тейлора функции f (x) в точке x = a.
Теорема 6. Если функция f (x) и все ее производные ограничены на интервале (a - R, a + R) одним и тем же числом, т.е. существует постоянная M >0 такая, что выполняется неравенство 
, то функция f (x) представляется сходящимся к ней рядом Тейлора:
. (13)
Равенство (13) верно и в случае, когда остаточный член ряда Тейлора 
стремится к нулю при n ®¥. Остаточный член Rn (x) можно вычислить по формуле:
. (14)
Если 
, то ряд не сходится к данной функции.
Если в ряде Тейлора положим a =0, получим частный случай ряда Тейлора, который называют рядом Маклорена:
.
Приведем разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций:
Пример 1. Разложить функцию 
в ряд Тейлора в окрестности точки x =0.
Решение. Имеем 
. Вычисляем 
, т.е. 
. Далее последовательно получаем:
Отметим, что 
. Записываем ряд Тейлора:
Пример 2. Разложить функцию 
в ряд по степеням x, используя разложения основных элементарных функций. Воспользуемся приведенным выше биномиальным разложением 
. (15)
Преобразуем исходную функцию: 
. Подставим в формулу (15) 
, а вместо x выражение 
. Получим следующее разложение:
Разложение имеет место при 
, т.е. при | x |<3.
Применение степенных рядов в приближенных вычислениях
Приближенное вычисление значений функций.
Пусть функция f (x) в окрестности точки a разлагается в ряд Тейлора. Тогда приближенное значение функции f (x) в любой точке этой окрестности может быть вычислено как частичная сумма этого ряда.
Пример 1. Вычислить 
с точностью до 0,001.
Решение. 
. Воспользуемся биномиальным рядом (15) при 
. Получаем:
Полученный ряд является знакочередующимся рядом. Третий член по модулю меньше 0,001, поэтому его и следующие за ним члены можно отбросить. С указанной точностью получим 
.
Пример 2. Вычислить 
с точностью до 0,001.
Решение. Воспользуемся разложением
,
где 
. При x =0,1 получаем: 
Определим, сколько надо слагаемых для достижения требуемой точности. Так как 0,1Î[0,0,5], то 
. Тогда 
; 
. При x =0,1 имеем неравенство: 
. Полагая n =2, получим 
. Значит, достаточно взять три слагаемых:.
Пример 3. Вычислить ln2 с точностью до 
.
Решение. Применим разложение. Этот ряд сходится при
x Î(-1,1). Если 
, то x =1/3. Возьмем n -ю частичную сумму. Погрешность этого равенства выражается остатком ряда 
. Для его оценки все множители в знаменателях, стоящие перед степенью 3, заменим на 2 n +3. Получим
Решая неравенство 
, находим, что n =4: 
. Итак,
