Сұйықтар механикасының элементтері

Сұйықтағы және газдағы қысым. Сұйықтар мен газдардың қозғалысын және тепе-теңдік заңдарын, сол сияқты олардың қатты денелермен әсерлесуін зерттейтін физиканың тарауын гидромеханика деп атайды.

Гидромеханикада сұйықтың не газдың нақты құрылысы ескерілмейді, олар кеңістікте үзіліссіз таралған тұтас орталар ретінде қарастырылады. Тұтас орта моделі аса сиретілген газдар үшін қолдануға жарамсыз. Сұйықтар мен газдардың қатты денелерден айырмашылығы – олар өз пішіндерін сақтамайды, құйылған ыдыстың пішінін қабылдайды. Сұйықтар газдардан оларда беттік қабаттың болмайтындығымен, бірдей жағдайларда тығыздығының үлкендігімен (кризистік күйден басқа жағдайда), тығыздықтың қысымға тәуелділік сипатымен және сұйықтардың іс жүзінде сығылмайтындығымен ерекшеленеді.

Кез келген тыныштықтағы сұйыққа жұқа пластина салатын болсақ, онда пластинаның ауданына жан-жағында тұрған сұйықтың бөлігі күшпен әсер етеді. Әсер күші модулы жағынан бірдей, әрі пластинаның қалай тұрғанына байланыссыз, ол бағыты жағынан ауданға перпендикуляр әсер етеді де пластинаны қозғалысқа келтіреді. Сұйықтың жағынан бірлік ауданға нормаль күштің әсерінен анықталатын физикалық шама қысым деп аталады:

 

(6.1)

6.1-сурет

Ысымның өлшем бірлігі – Паскаль: 6.1-суретте беттің ауданына бірқалыпты нормаль түсірілген күшнің тудыратын қысымы -ға тең. Тепе-теңдік сұйықтардағы қысым Паскаль заңына бағынады: сұйықтың берілген нүктесіндегі қысым барлық бағыттарда бірдей, сұйықтың алып отырған барлық көлемі бойынша бірдей қысым береді. Сұйықтың салмағы осы сығылмайтын тыныштықтағы сұйықтың ішіндегі қысымның таралуына қалай әсер ететінін қарастырайық. Егер сұйық сығылмайтын болса, онда оның тығыздығы қысымға тәуелсіз. Онда көлденең аққан сұйықтың ағысы, оның биіктігі және тығыздығы десек, салмағы, ал төменгі қабатындағы қысымы

(6.2)

яғни қысым биіктік бойынша сызықты өзгереді. гидростатикалық қысым деп аталады. Бұл теңдеу бойынша сұйықтар немесе газдардағы қысымның тереңдікке тәуелділігі оларға батырылған кез-келген денеге әсер ететін кері итеруші күштің пайда болуын тудырады.

Сұйықтың қалыптасқан қозғалысы.

Сығылғыштығы және тұқырлығы ескерілмейтін тұтас ортадағы идеал сұйықтың қозғалысын қарастырайық. Сұйық қозғалысын қарастырғанда көп жағдайда сұйықты мүлдем сығылмайды деп санауға және оның бір қабаты екінші қабатымен салыстырмалы қозғалса, үйкеліс күштері (тұтқырлық) пайда болмайды деп қарауға болады. Мұндай сұйықты идеал сұйық деп атайды. Сұйық қозғалысын жете түсіну үшін ағын сызықтары және ағын түтігі деген түсініктерді пайдаланамыз. Қозғалыстағы сұйық үшін, оның әрбір нүктесіне жүргізілген жанама векторының бағытына дәл келетіндей етіп сызықтар жүргіземіз. Бұл сызықтар ағын сызықтары деп аталады (6.2-сурет).

6.2 -сурет

Ағын сызықтармен шектелген сұйық бөлігі ағын түтігі деп аталады. Егер жылдамдық векторы кеңістіктің әрбір нүктесінде тұрақты болса, онда ағын орныққан немесе стационар ағын деп аталады. Әдетте сұйықтың ағысы күшті болғанда ағын сызықтары жиі, ал сұйық ағысы бәсең жерде ағын сызықтары сирек жүргізіледі. Ағын түтігінің белгілі бір қимасында барлық бөлшек қозғалыс кезінде ағын түтігінен шығып кетпей, оның ішімен қозғалады. Сонымен қатар, ағын түтігінің ішіне де сырттан ешқандай бөлшектер енбейді.

Ағын түтігі бойымен үзіліссіз сұйық ағып жатсын 6.3-суреттегідей. Ағын түтігі бойынан бөлшек жылдамдығының бағытына перпендикуляр және қиманы қарастырайық. Тұрақты қималардағы өтетін сұйық бөлшегінің жылдамдығын және деп белгілейік. Аз уақыт аралығында бұл қималар арқылы өтетін сұйық көлемдері:

(6.3)

 

6.3 -сурет

Сұйықтың қалыптасқан ағыны кезінде сұйық сығылмайды деп есептесек, онда қимадан ағып өтетін сұйық көлемі дәл сондай болады, яғни және . Олай болса, ағын түтігінің кез-келген көлденең қимасы үшін келесі қатынас орынды болады:

(6.4)

Осы өрнекті ағынның үздіксіздік теңдеуі деп атайды. Ағын түтігі көлденең қимасының сұйық ағысының жылдамдығына көбейтіндісі тұрақты шама болады.

Түтік бойындағы сұйық ағынының жылдамдығы түтіктің көлденең қималарының ауданына кері пропорционал, яғни түтік қимасы жіңішке болса, ағын жылдамдығы үлкен, керісінше қима үлкен болса, жылдамдық аз. Сондықтан, түтіктің тарлау жеріне ағып барған сұйыққа сол түтіктің кең жеріндегі сұйық тарапынан күш әсер етеді. Бұл күш сұйықтың әртүрлі бөліктеріндегі қысымдар айырымының есебінен пайда болады. Күш түтіктің жіңішке жағына қарай бағытталғандықтан түтіктің жуан жеріндегі қысым оның жіңішке жеріндегі қысымнан артық болады.

Бернулли теңдеуі.

Идеал сұйықтың қозғалысын (ағысын) сипаттайтын өрнекті 1738 жылы Д. Бернулли тұжырымдады. Бұл формуланы қорытып шығару үшін көлденең қималар әртүрлі түтікшедегі идеал сұйықтың қозғалысын қарастырайық (6.4-сурет). Түтікшенің ішінен және аудандармен шектелген сұйық массасын алып, оның қозғалысын бақылаймыз. Сол аудандардағы ағын жылдамдықтары мен қысымдары , және , болсын. Сұйықтық уақыт аралығында жол жүріп, -ден күйіне, ал қимада жол жүріп, күйіне келеді. және ағындарының арасындағы сұйық көлемі үздіксіздік теңдеуіне сәйкес және ағындарының арасындағы сұйық көлемі үздіксіздік теңдеуіне сәйкес және аралығындағы орналасқан сұйықтың көлміне тең болады.

Түтік белгілі-бір еңістікке ие және олардың және қималарының центрі берілген горизонтал деңгейден және биіктікте тұр.

және

екенін ескеріп, бастапқыда және қималарының арасында орналасқан сұйық массасының толық энергиясының өзгерісін келесі түрде жазуға болады.

(6.5)

Бұл өзгеріс, энергияның сақталу заңы бойынша сыртқы күштердің жұмысына негізделген. Берілген жағдайда сәйкес және қималарға әсер ететін қысым күштері және , мұндағы және - сәйкес қысымдар. күш пен орын ауыстырудың бағыттары бірдей, сондықтан күш оң жұмыс жасайды және -ға тең.

қысым күші және орын ауыстырудың бағыттары қарама-қарсы. Олай болса, күш жұмысы теріс . Сонымен, сыртқы күш жұмыс жасайды.

6.4-сурет

Энергияның сақталу заңы бойынша қималар энергияларының айырымы сұйықты қозғалысқа келтіру үшін істелінетін жұмыстардың айырымына тең болады. Сыртқы күштердің қосынды жұмысы - ға тең.

уақыт ішінде және қималардан ағып өтетін сұйық көлемі және үздіксіз теоремасы бойынша өзара тең . Сыртқы күштердің толық жұмысы

(6.6)

Кинетикалық энергияның өзгерісі жасалынған жұмысқа тең , немесе (6.4) және (6.5) өрнектеріне сәйкес

(6.7)

теңдігінен және сұйықтың сығылмайтын шартынан

,

мұндағы - сұйық тығыздығы, сондықтан (6.6) өрнек келесі түрде жазылады:

(6.8)

және қима аудандары ойша алынғандықтан соңғы өрнекті кез-келген түтік қималары үшін былай жазуға болады:

(6.9)

Бернулли теңдеуі деп аталады.

Сұйық ағынындағы қысым. Бернулли теңдеуіндегі:

- динамикалық, - гидростатикалық, - статикалық (сыртқы) қысым деп аталады, ал олардың қосындысы толық қысым деп аталады. Демек, идеал сұйықтың стационарлы (қалыптасқан) ағысы кезінде түтік ағынының кез-келген қимасындағы толық қысым тұрақты шама.

6.5-сурет

Ағын түтігінің горизонтал орналасқан жағдайында () Бернулли теңдеуі мына түрге келеді:

(6.10)

мұндағы - дене бетіндегі сұйық қысымы. Ол қысым 6.5-суретте А түтікшенің көмегімен өлшенеді, толық қысым В түтікше көмегімен өлшенеді. Бұл кездегі статикалық қысым келесі өрнекпен анықталады: , мұндағы атмосфералық қысым, Н₁ –А түтікшедегі сұйық бағанының биіктігі. В түтікшедегі қысым . Манометрлік түтікшедегі қысым айырымы

(6.11)

мұндағы - сұйық деңгейлерінің айырымы. Екінші жағынан, Бернулли теңдеуіне сәйкес ағын түтігінің екі және қималары үшін де болғандықтан) келесі теңдік орынды

 

, яғни (6.12)

 

(6.11) -мен (6.12) өрнектерінен ағын жылдамдығы

(6.13)