Материалдық нүкте динамикасы

АТЫРАУ МҰНАЙ ЖӘНЕ ГАЗ ИНСТИТУТЫ

МҰНАЙ ФАКУЛЬТЕТІ

 

ЖАЛПЫ ФИЗИКА КАФЕДРАСЫ

ФИЗИКА пәні бойынша

 

Оқытудың күндізгі түріне арналған

Оқу- әдістемелік кешені

 

 

 

 

Атырау, 2011

МОДУЛЬ

М Е Х А Н И К А

Кинематика негіздері

Кинематика – дене қозғалысын қамтамасыз ететін себептерге байланыссыз қозғалысты оқып зерттейді, статика – денелердің тепе-теңдіктегі шартын зерттейді, ал динамика –қозғалыстың сол немесе басқадай сипатын қамтамасыз ететін себептерге байланысты денелердің қозғалысын оқып зерттейді.

Уақыт өтуіне байланысты денелердің кеңістікте орын ауыстыруын механикада қозғалыс деп атайды. Механикалық қозғалыстың ең қарапайым мысалы ретінде материалық нүкте қозғалысын қарастыруға болады. Материалдық нүкте деп массасы қарастырылып отырған дененің массасына тең, берілген есептің шартында өлшемін елемеуге болатын денені айтады.

Материалдық нүкте орнын қандай-да бір болмасын кез-келген денеге, яғни санақ денесіне қатысты анықтауға болады. Кез-келген таңдап алынған нүкте тыныштықта тұр деп аламыз, ал соған қатысты кез-келген координат жүйесін кеңістіктік санақ жүйесі деп атайды. Кеңістіктік санақ жүйесіндегі әрбір нүктенің орны координаттарымен анықталады. Осы үш координаттың орнына радиус-векторды алуға болады. Радиус-вектор деп координаттар басынан қарастырылып отырған нүктеге дейінгі бағытталған кесіндіні айтады. Қозғалысты сипаттау үшін кеңістіктік санақ жүйесі жеткіліксіз болып саналады. Сондықтан қозғалысты тек кеңістік –уақыт санақ жүйесінде ғана толық сипаттауға болады. Уақыт өзгерісіне байланысты материалдық нүкте қозғалысы мына теңдеумен беріледі:

(1.1)

және

(1.2)

(1.1) және (1.2) теңдеулер материалдық нүктенің кинематикалық теңдеулері деп аталады.

Материялдық нүктенің қозғалысы кезінде артында із қалдыруын оның траекториясы деп атайды. Траекторияның формасына қарай түзу сызықты және қисық сызықты деп екіге бөлуге болады. Материалдық нүкте қозғалысын траекториямен беттестіре сызсақ, траектория ұзындығын материалдық нүктенің жүрген жолы деп атайды. Оны әрпімен белгілейді, жүрілген жол скаляр шама 1.1 суретте

 

1.1-сурет

 

-бастапқы мезеттен соңғы уақыт мезетіне дейінгі ара қашықтық , орын ауыстыру деп аталады. Ол - векторлық шама. Егер траектория түзу сызықты болса, онда жүрілген жол мен орын ауыстыру беттеседі. Дене түзу бойымен қозғалса, қозғалыс түзу сызықты деп аталады. Егер қозғалған дене кез-келген өзара тең уақыт аралығында бірдей жол жүрсе, ондай қозғалысты бірқалыпты түзу сызықты қозғалыс деп атайды. Қозғалыс түрліше болуы мүмкін, мысалы әр түрлі дене бірдей уақыт аралығында әр түрлі жол жүреді, қозғалыстың осындай өзгерісін біз жылдамдық деген ұғым енгізу арқылы сипаттаймыз. Жылдамдық-векторлық шама, ол траекторияға жүргізілген жанама бойымен бағытталады. Қозғалыстың жылдамдығы жүрілген жолға тура пропорционал, сол жолды жүруге кеткен уақытқа кері пропорционал: , өлшем бірлігі .

Бірқалыпсыз қисық сызықты қозғалыс. Айнымалы қозғалыс кезінде бірдей уақыт аралығында материалдық нүктенің жүрген жолдары бірдей болмайды. Мұндай жағдайда қозғалыстың орташа жылдамдығы деген ұғым енгізуіміз керек. Орташа жылдамдық векторы деп нүктенің радиус- векторының өсімшесінің осы уақыт аралығына қатынасын айтамыз:

(1.3)

Материалдық нүктенің берілген уақыт мезетіндегі қозғалысын лездік жылдамдық арқылы сипаттайды. Лездік жылдамдық уақыт аралығы шексіз кемігендегі орташа жылдамдық ұмтылатын шекке тең:

(1.3а)

Жылдамдық деп орын ауыстыру векторының уақыт бойынша алынған туындысына тең және траекторияға берілген нүктеге жүргізілген жанамамен бағыттас векторды айтады. уақыт аралығы азайған сайын жүрілген жолы орын ауыстыруға жақындап беттеседі.

Сонда уақыттың кез-келген мезетіндегі қозғалыс жылдамдығы деп, жүрілген жолдың уақыт бойынша алынған бірінші ретті туындысын айтамыз.

(1.4)

бұдан . - дан шектерінде интегралдап жүрілген жолдың ұзындығын анықтаймыз:

(1.4а)

Бірқалыпсыз қозғалыс кезінде біз уақыт өтуіне байланысты жылдамдықтың қалай өзгеретіндігін қарастырамыз. Егер қозғалыс жылдамдығы ұдайы артып отырса, үдемелі қозғалыс деп, егер жылдамдығы ұдайы кеміп отырса, онда кемімелі қозғалыс деп атайды. Олай болса уақытқа байланысты жылдамдықтың қаншалықты тез өзгеретіндігін сипаттайтын үдеу деген физикалық шаманы енгіземіз. Бірқалыпсыз қозғалыстың үдеуі дегеніміз жылдамдықтың өсімшесіне тура пропорционал және осы өсімше пайда болған уақыт өсімшесіне кері пропорционал шама:

Бұл жағдайда қозғалыс айнымалы болғандықтан жылдамдық өсімшесінің өзгеруіне сәйкес үдеу де өзгерісте болады, олай болса орташа үдеу деген ұғым енгізуге тура келеді: . Орташа үдеу алынып отырған уақыт аралығы шексіз кемігенде, сол орташа үдеудің ұмтылатын шегін лездік үдеу деп атайды.

Демек, үдеу шама жағынан жылдамдықтың уақыт бойынша алынған бірінші ретті туындысы, ал жүрілген жолдың уақыт бойынша алынған екінші ретті туындысына тең:

(1.5)

Үдеу қозғалыс жылдамдығын саны жағынан да, бағыты жағынан да сипаттайтын, векторлық шама, өлшем бірлігі: . Бастапқы уақыт мезетінде қозғалыс жылдамдығы , ал уақыттан кейін болсын, онда қозғалыс үдеуі болады. Қозғалыстың кез-келген уақыт мезетіндегі жылдамдығы: . Олай болса бірқалыпты айнымалы қозғалыс теңдеуін шығарып алуға болады:

, яғни (1.6)

Дененің қисық сызық бойымен қозғалысын қарастырайық. Бастапқы уақыт мезетіеде 1.2 суретте нүктесінің жылдамдығы болсын. Қозғалыстағы нүкте уақытта нүктесіне көшіп, жылдамдығынан бағыты жағынан да, модулы жағынан да өзгеше жылдамдыққа ие болады: . Енді векторын нүктесіне көшіріп, табамыз. векторын екі құраушыға жіктеуге болады. Ол үшін нүктесінен жылдамдық бағытымен бағыттас, модулы жағынан векторына тең векторын жүргіземіз. Бұдан векторы шамасы жағынан -ға тең, уақыт аралығында жылдамдық өзгерісін модулы жағынан сипаттайды: . Екінші құраушы вектор , уақыт аралығында жылдамдық өзгерісін бағыты жағынан сипаттайды.

 

1.2-сурет

Үдеудің тангенциал құраушысы (1.7)

яғни жылдамдық модулынан уақыт бойынша алынған бірінші ретті туындыға тең, жанамаға бағыттас жылдамдықтың өзгеріс шапшаңдығын модулы жағынан сипаттайды. Енді үдеудің екінші құраушысын табайық. нүктесі нүктесіне орын ауыстырып, доғасына тең элементар жол жүреді. уақыт аралығы өте аз болғандықтан доғасының хордасынан айырмашылығы аз болады. Онда және үшбұрыштарының ұқсастығынан шығады. Ал , онда . шегінен, аламыз. бұрышы нольге ұмтылады, себебі үшбұрышы тең қабырғалы. мен векторының арасындағы бұрышы тік бұрышқа ұмтылады. Бұдан , және векторлары өзара перпендикуляр болады. Жылдамдық векторы қозғалыс траекториясына жанамаға бағытталғандықтан, векторы жанамаға перпендикуляр бағытталады да, жылдамдықтың бағыты бойынша өзгерісін сипаттайды. Үдеудің екінші құраушысы

(1.8)

үдеудің нормаль құраушысы деп аталады және қозғалыс траекториясының радиус бойымен центріне бағытталады (сондықтан оны центрге тартқыш үдеу деп те атаймыз).

Дененің толық үдеуі тангенциаль және нормаль құраушылардың геометриялық қосындысынан тұрады, яғни

 

1.3-сурет

 

Толық үдеудің модулы мынаған тең (1.3-сурет):

(1.9)

Тангенциаль және нормаль құраушыларына байланысты үдеудің қозғалысын былай сипаттауға болады:

1. – бірқалыпты түзу сызықты қозғалыс,

2. – бірқалыпты айнымалы қозғалыс,

3. – үдеуі айнымалы түзу сызықты қозғалыс,

4. – шеңбер бойымен қозғалыс,

5. – бірқалыпты қисық сызықты қозғалыс,

6. – қисық сызықты айнымалы қозғалыс,

7. –үдеуі айнымалы қисық сызықты қозғалыс.

 

Қозғалыс кезінде дененің барлық нүктелері шеңберлер сызатын және олардың центрлері айналыс осі деп аталатын бір түзудің бойында жататын қозғалысты айналмалы қозғалыс деп атайды. Айналмалы қозғалысты қарастырғанда бұрыштық жылдамдық және бұрыштық үдеу ұғымдарын енгіземіз.

Материалдық нүкте радиусы шеңбер бойымен қозғалып, уақыт мезетінде бұрышына бұрылсын. Бұрыштық жылдамдық деп, дененің бұрылу бұрышынан уақыт бойынша алынған бірінші ретті туындысына тең физикалық векторлық шаманы айтады.

(1.10)

Бұрыштық жылдамдықтың өлшем бірлігі: . Сызықтық жылдамдық пен бұрыштық жылдамдықтың арасындағы байланысты 1.4 суреттен көруге болады:

 

яғни (1.11)

 

1.4-сурет

 

Бұрыштық жылдамдықтың бағыты оң бұранда ережесімен анықталады. Нүктенің шеңбер бойымен толық бір айналым жасауға қажетті уақытын период деп атайды және әріпімен белгілейді. Нүктенің уақыт бірлігі ішіндегі жасайтын айналым саны периодқа кері шама жиілік деп аталады . Нүкте шеңбер бойымен бір қалыпты қозғалып, бір периодқа тең уақыт аралығында толық бір айналым жасайды, яғни -ға орын ауыстырады. Осыдан . Екі қатынасты салыстырудан алатынымыз:

(1.12)

Бірлік уақыт ішінде бұрыштық жылдамдықтың өзгерісін сипаттайтын шаманы бұрыштық үдеу деп атап, оны математикалық түрде былай жазады: Айналыс бір қалыпты болмаған кезде берілген уақыт мезетіндегі бұрыштық үдеу мынаған тең:

(1.13)

егер екендігін ескерсек, онда болады, яғни айналмалы қозғалыстың бұрыштық үдеуі бұрыштық жылдамдықтан уақыт бойынша алынған бірінші ретті, ал бұрылу бұрышының екінші ретті туындысына тең болады. Бұрыштық үдеу векторлық шама оның бағыты бұрыштық жылдамдықтың бағытымен бағыттас, өлшем бірлігі болады.

Егер қозғалыс үдемелі болса, векторы мен векторы бағыттас болады, егер кемімелі болса векторы мен қарама-қарсы бағытта болады (1.5-сурет).

Материалдық нүктенің ілгерімелі және айналмалы қозғалыстарын сипаттайтын шамалар өзара мынадай қатынаста болады:

1) , бұдан немесе

2) немесе .

Айналмалы бірқалыпсыз қозғалыс кезіндегі қозғалыс теңдеулері:

, (1.14)

мұндағы бастапқы бұрыштық жылдамдық.

 

1.5-сурет

Материалдық нүкте динамикасы

Динамика материалдық нүктелердің немесе денелердің әсерлесу кезіндегі қозғалысының өзгерісін зерттейді. Динамикада Ньютонның үш заңы негізгі заңдар болып алынады. Егер қозғалысты санақ жүйесімен байланыстыратын болсақ, онда қозғалушы дене әсер етуші күштен бөлек және санақ жүйесімен байланысты бір қалыпты және түзу сызықты қозғалыста болады.

Ньютонның бірінші заңы: материалдық нүктеге (денеге) ешқандай күш әсер етпесе, онда нүкте (дене) өзінің бастапқы тыныштық күйін немесе бір қалыпты, түзу сызықты қозғалысын сақтайды. Материалдық нүктенің немесе денелердің мұндай қасиетін инерциялық деп атайды. Сондықтан да Ньютонның бірінші заңы әдетте инерция заңы аталады. Механикалық қозғалыс салыстырмалы, оның сипаты санақ жүйесіне тәуелді. Ньютонның І заңы барлық санақ жүйлерінде орындалмайды, бұл заң орындалатын санақ жүйелері инерциялды санақ жүйесі деп аталады. Инерциялды санақ жүйесі деп, басқа бір инерциялды санақ жүйесімен салыстырғанда тыныштықта тұратын немесе бірқалыпты және түзу сызықты қозғалатын санақ жүйесін айтамыз.

Ньютонның екінші заңын қарастырудың алдында күш, салмақ және масса ұғымдарына тоқталайық. Күш деп денелердің өзара әсерлесуінің нәтижесінде бір-біріне үдеу беруін айтамыз. Денелердің өзара әсері бір-біріне тек үдеу беріп қоймай, бір-бірінің көлемі мен формасын да өзгерте алады. Демек, дене бөлшектерінің бір-бірімен салыстырғанда орын ауыстыруын дененің деформациясыдеп атайды. Күш – векторлық шама. Дененің жерге тартылуы кезінде оған қарсы әсер ететін екінші денеге түсетін күшті салмақ дейді.

Басқа денелер әсер етпегенде, дененің өз жылдамдығын сақтау қабілеті инерттілік деп аталады. Дененің инерттілігін сипаттайтын шама инерттілік массадеп аталады. Материя бір түрден екінші түрге өзгергенде оның массасы мөлшері жағынан тұрақты болып қалады да, оның тек формасы өзгереді. Масса материяның негізгі қасиетін сипаттайтын физикалық скаляр шама, ол инерттіліктің сандық өлшеуіші.

Ньютонның екінші заңы ілгерілемелі қозғалыс динамикасының негізгі заңы – ол денелердің өзара әсерлесуі және ілгерімелі қозғалысы кезінде оларда болатын өзгерістерінің байланысын сипаттайды. Егер әр түрлі күштерінің қандай да тек массалы бір денеге әсерін қарастырсақ, онда ол дененің алатын үдеуі осы әсер ететін күштерге тура пропорционал болады: . Егер әр түрлі массалы денелерге бүрдей күшпен әсер етсе, онда олардың алатын үдеулері әр түрлі болады. Дене массасы үлкен болған сайын, ол дененің үдеуі азырақ болады: яғни , . Осы өрнектерді пайланып, әрі күш пен үдеудің векторлық шамалар екенін ескере отырып, былай жазуға болады:

(2.1)

Бұл өрнек Ньютонның екінші заңы деп аталады және былай тұжырымдалады: дененің алған үдеуі әсер етуші күшке тура пропорционал, дене массасына кері пропорционал және әсер етуші күштің бағыты бойынша өзгереді.

Ньютонның І заңы Ньютонның ІІ заңының дербес түрі болып табылады. Шынында да, тең әсерлі күштің әсері болған жағдайда (денеге сыртттан басқа дененің әсері болмаған жағдайда) оның үдеуі де болады. Ал біз үдеудің екенін білеміз, осыдан екені шығады. Дене өзінің бастапқы тыныштық немесе бір қалыпты түзу сызықты қозғалыс күйін сақтайды, яғни инерция заңына айналады. Тағы бір ескеретін жай денеге бір мезгілде бірнеше күш әсер етсе, онда үдеу осы күштердің векторлық қосындысына тең қорытқы күшімен анықталады, яғни .

Күштің өлшем бірлігі –Ньютон, яғни массасы 1 кг денеге 1м/с² үдеу беру үшін 1Н күшпен әсер ету керек.

Ньютонның екінші заңын басқа түрде де жазып көрсетуге болады. Ол үшін кинематика бөліміндегі үдеудің мәнін ескеретін болсақ, онда

мұндағы дененің (материалдық нүктенің) массасының классикалық физикада тұрақтылығын ескеріп, оны дифференциалдық астына жазуға болады:

(2.1а)

Бұл қозғалыс теңдеуі Ньютонның екінші заңын дифференциал түрде көрсетеді. Ал дифференциалдың астындағы дененің массасы мен жылдамдығының көбейтіндісі дененің импульсі немесе қозғалыс мөлшері деп аталатын векторлық шаманы береді:

(2.2)

Импульс ұғымын пайдаланып, Ньютонның екінші заңын жалпы түрде жазуға және тұжырымдауға болады:

(2.3)

Дененің (материалдық нүктенің) импульсінің немесе қозғалыс мөлшерінің уақыт бойынша бірінші туындысы оған әсер етуші күшке тең.

Денелердің немесе материалдық нүктелердің арасындағы әсерлесу Ньютонның үшінші заңымен анықталады. Ньютонның үшінші заңы оның екінші заңын толықтыра түседі және денелердің қозғалыс күйлерін өзгеріске ұшырататын өзара әсер екендігін көрсетеді. Бұл заң былай тұжырымдалады: әсерлесуші екі дененің бір-біріне әсері әруақытта сан жағынан тең, бағыттары жағынан қарама-қарсы болады. Мысалы: массалары және екі дене алып қарастырайық. Олар және күштерінің әсерінен , үдеу алады. Ньютонның екінші заңы бойынша: .

Ньютонның үшінші заңы бойынша:

(2.4)

Бұдан әсерлесуші екі дененің үдеулері олардың массаларына кері пропорционал әрі қарама-қарсы бағытта бағытталады. Мұндағы және күштері әр түрлі денелерге әсер ететіндіктен, олар бір-біріне теңгерілмейді. Сондықтан оларды қосуға болмайды. Бірақ белгілі бір жүйені қарастырғанда денелердің арасындағы өзара әсерлесу күштерін қосуға болады, бірақ олардың қосындысы әрдайым нөлге тең.

Озғалыс мөлшерінің (импульстің) сақталу заңы. Қозғалыс мөлшерінің сақталу заңын қорытып шығару үшін кейбір түсініктерді енгізейік. Материалдық нүктелердің немесе денелердің жиынын бүтін бір жүйе ретінде қарастырамыз. Оны механикалық жүйе деп атаймыз. Механикалық жүйедегі материалдық нүктелер арасындағы әсерлесу күштерін ішкі әсерлесу күштері деп атайды. Ал, сыртқы күштер деп, берілген жүйеге кірмейтін материалдық нүктелермен әсерлесу нәтижесінде пайда болатын күштерді атайды. Денелердің механикалық жүйесіне сырттан ешқандай күш әсер етпесе, онда ол жүйені тұйық жүйе деп атайды.

Кез-келген денелерден тұратын механикалық жүйені қарастырамыз. Олардың массалары және жылдамдықтары болсын. Егер әсер етуші ішкі күштер жиынтығы деп, ал әсер етуші сыртқы күштер жиынтығы деп алсақ, онда кез-келген дене үшін Ньютонның екінші заңын былай жазуға болады:

Теңдіктің екі жағын өзара қоссақ, ол мынаған тең:

Ньютонның үшінші заңы бойынша механикалық жүйенің ішкі күштерінің геометриялық қосындысының нөлге тең екенін ескерсек .

Онда немесе , мұндағы - жүйенің қозғалыс мөлшері.

Сонымен механикалық жүйенің қозғалыс мөлшерінің уақыт бойынша туындысы жүйеге әсер ететін сыртқы күштердің геометриялық қосындысына тең. Қарастырып отырған жүйеміздің тұйық екенін ескерсек, онда сыртқы күштер әсері нөлге тең болады, яғни: немесе бұдан

(2.5)

Бұл өрнек қозғалыс мөлшерінің сақталу заңы болып табылады: тұйық жүйенің қозғалыс мөлшері сақталады, яғни уақыт өтуімен өзгермейді. Қозғалыс мөлшерінің сақталу заңы тек қана классикалық физикада ғана емес сонымен қатар тұйық жүйедегі өте ұсақ бөлшектер үшін де орындалады (кванттық механика заңы үшін). Сондықтан бұл заң табиғаттың негізгі заңдарының бірі болып табылады.

Классикалық механикада масса жылдамдыққа тәуелсіз болғандықтан, жүйенің қозғалыс мөлшерін оның массалар орталығының (центрі) жылдамдығы арқылы жазуға болады. Массалар орталығы деп орны осы жүйенің массасының таралуын сипаттайтын елестету С нүктесін айтамыз. Оның радиус-векторы мынаған тең:

(2.6)

мұндағы – - ші материалдық нүктенің массасы мен радиус-векторы, – жүйенің материалдық нүктелер саны, - жүйенің массасы. Массалар орталығының жылдамдығы:

(2.7)

мұндағы , ал жүйенің импульсі десек, онда

(2.8)

деп жазуға болады, яғни жүйенің қозғалыс мөлшері жүйенің массасы мен массалар орталығының жылдамдығының көбейтіндісіне тең. Соңғы өрнекті түрлендірсек, онда:

(2.9)

Сонымен жүйенің массалар орталығы жүйенің барлық массасы осы нүктеге жинақталған және әсер етуші күш, осы жүйеге әсер ететін сыртқы күштердің геометриялық қосындысына тең материалдық нүкте сияқты қозғалады. Өрнек массалар орталығының қозғалыс заңы болып табылады. Импульстің сақталу заңынан тұйық жүйенің масса орталығы түзу сызықты және бірқалыпты қозғалады немесе тыныштық күйін сақтайды.

Үйкеліс және серпімділік күштері. Механикалық процесстерде денелерге әртүрлі күштер әсер етеді: тартылыс, үйкеліс, серпімділік. Денелердің өзара салыстырмалы қозғалысы кезінде олардың жанасу беттері арасында пайда болатын күштерді үйкеліс күштері деп атайды. Денелердің жанасу беттерінің арасында сұйық немесе газ қабаты болмаған жағдайда үйкеліс сырғанау және домалау үйкелістері болып екіге бөлінеді. Сырғанау үйкеліс күші әрдайым денелердің жанасу бетінің бойымен орын ауыстыруға қарама-қарсы бағытталады. Сондықтан үйкеліс күші әрқашан денелердің салыстырмалы қозғалыс жылдамдығының модулын кемітуге тырысады. Тыныштық үйкеліс күші денелердің жанасу бетіне жанама бойымен бағытталған сыртқы күшіне модулы жағынан тең, бағыты жағынан қарама-қарсы болады. Тыныштық және сырғанау үйкеліс күштері үшін төменгі қатынас орындалады:

(2.10)

мұндағы -үйкеліс коэффициенті, ол жанасатын беттердің материалына, өңдеу сапасына тәуелді.

2.1-сурет

Жазықтықта дене жатса және оған күші әсер етсін, 2.1-сурет. Дене онда күші күшінен көп болса ғана қозғалысқа келеді. Тыныштық максимал үйкеліс күші сондай-ақ сырғанау үйкеліс күші үйкелетін беттердің жанасу беттерінің шамасына тәуелді болмайды және үйкелісетін беттерді бір-біріне қысатын, қалыпты қысым күші шамасына пропорционал болады.

Серпімділік күші. Сыртқы күштердің әсерінен дененің немесе оның жеке бөліктерінің пішінінің өзгерісі деформация деп аталады. Деформация кезінде пайда болатын және өзара әсерлесетін дене бөлшектерінің орын ауыстыруына қарсы жаққа бағытталатын күшті серпімділік күші деп атайды. Серпімділік күшін Гук заңы арқылы анықтауға болады. Бұл заң серпімді деформацияның созылу, сығылу, ығысу, бұралу, иілу сияқты түрлері үшін орындалады. Дененің серпімді деформациясы кезінде пайда болатын серпімділік күші дененің ұзаруына пропорционал да, дене бөліктерінің орын ауыстыру бағытына қарама-қарсы бағытталады:

(2.11)

мұндағы -дененің қатаңдық коэффициенті, – орын ауыстыру.

Мысалы: қозғалмайтын нүктесіне бекітілген серіппені қарастырайық. Серіппеге күшімен әсер етіп, оны ұзартайық. Әруақытта серпімді күш деформацияны туғызатын күшке шамасы жағынан тең, ал бағыты жағынан қарама-қарсы болады:

.