Статистикалық үлестірілулер.

Идеал газ молекулаларының жылдамдық бойынша және жылулық қозғалыстың энергиясы бойынша таралуының Максвелл заңы. Молекулалық-кинетикалық теорияның негізгі заңын қорытқан кезде молекулалар әртүрлі жылдамдықпен қозғалады дедік. Көптеген соқтығысулар нәтижесінде әр молекуланың жылдамдығы модулі және бағыты бойынша өзгереді. Бірақ молекулалардың хаосты қозғалуының нәтижесінде барлық қозғалыс бағыттары ықтимал, яғни орташа есеппен кез-келген бағытта қозғалатын молекулалар саны бірдей.

Молекулалық-кинетикалық теория бойынша молекулалар соқтығысқанда жылдамдық қанша өзгергенімен газдағы массасы m₀ молекуланың тепе-теңдік қалыпта тұрақты температурадағы Т= const орташа квадраттық жылдамдығы тең. Мұны былай түсіндіруге болады: Т= const болғанда тепе-теңдік күйдегі газда уақыт уақыт бойынша өзгермейтін молекулалардың жылдамдық бойынша таралуы, яғни стационар таралуы орын алады. Ол белгілі бір статистикалық заңға бағынады, теория жүзінде ол заңды қорытып шығарған Дж. Максвелл.

Молекулалардың жылдамдық бойынша таралу заңын қорытып шығарғанда Максвелл газ өте көп молекулалардан тұрады, молекулалар бірдей температурада тәртіпсіз жылулық қозғалыста болады және газға күш өрістері әсер етпейді деп алды.

Максвелл заңы функциясымен сипатталады, ол функция молекулалардың жылдамдық бойынша таралу функциясы деп аталады.

Егер молекулалардың жылдамдық диапазонын -ға тең кіші интервалдарға бөлсек,онда жылдамдықтың әрбір интервалына молекулалар саны келеді, молекулалардың жылдамдығы осы интервалда жатады.

функциясы жылдамдықтары дан интервалында жатқан молекулалардың салыстырмалы санын анықтайды: , яғни

бұдан .

Ықтималдылық теориясының әдістерін пайдалана отырып,

 

Максвелл функциясын – идеал газ молекулаларының жылдамдық бойынша таралу заңын тапты:

(2.1)

(2.1) формуласынан көргендей функциясы газдың массасына және температураға Т тәуелді. функциясының графигі 2.1 суретте көрсетілген.

 

2.1 сурет

Егер өскен сайын -на қарағанда тез азайса, онда функциясы нульден бастап тең болғанша өседі, = болғанда максимумға жетеді, сосын асимптотикалы нульге ұмтылады. Қисық -ға қарағанда симметриялы емес.

Жылдамдығы дан интервалында жатқан молекулалардың салыстырмалы саны - ақшыл жолақтың ауданы болып табылады. Таралу қисығымен және абсцисса осімен шектелетін аудан бірге тең, ол функциясы нормалау шартын қанағаттандырады дегенді білдіреді:

= 1

Идеал газдың жылдамдық бойынша таралу функциясы максимал мәнге ие болатын жылдамдықты ықтимал жылдамдық деп атайды. Ықтимал жылдамдықтың мәнін (2.1) формуласын жылдамдық бойынша дифференциалдап және нульге теңеп, өрнегі үшін максимум шартын қолдана отырып табуға болады:

 

= 2 = 0

= 0 және = (2.1) өрнегінің минимум шартына сәйкес келеді, жақша ішіндегі өрнек нульге тең болатын болса, ықтимал жылдамдықтың мәнін табуға болады:

= = (2.2)

Егер температура жоғары болса, максимум оңға жылжиды, мәні үлкен болады. Бірақ қисықпен шектелген аудан өзгермейді, тек температура өскенде қисық созылады және аласарады (2.2 сурет).

 

2.2 сурет

Таралу функциясы арқылы молекулалардың орташа арифметикалық жылдамдығын мына формуладан табады:

функциясының мәнін қойып және интегралдап, орташа арифметикалық жылдамдықтың өрнегін алады:

(2.3)

Газ күйін сипаттайтын жылдамдықтар:

1) ықтимал жылдамдық - = ;

2) орташа арифметикалық жылдамдық - , ;

3) орташа квадраттық жылдамдық - , .

 

Молекулалардың жылдамдық бойынша үлестірілуінен газ молекулаларының кинетикалық энергия бойынша үлестірілуі функциясын алуға болады.

(2.4)

Ол үшін (2.4) формуласындағы айнымалы жылдамдық шамасынан кинетикалық энергия шамасына көшу қажет: , . Сонда (2.4) формуласын мына түрде жазуға болады:

 

;

Мұндағы - интервалындағы ілгерілемелі қозғалыстың кинетикалық энергиясы бар молекулалар саны.

 

 

Сонымен, молекулалардың жылулық қозғалысының энергиясы бойынша таралу функциясының өрнегі н жазайық:

. (2.5)

Идеал газдың орташа кинетикалық энергиясын таралу функциясы н пайдаланып табуға болады:

Барометрлік формула. Больцман таралуы. Молекулалық-кинетикалық теорияның негізгі теңдеуі бойынша және Максвелл таралу заңы бойынша газ молекулаларына сыртқы күштер әсер етпейді, сондықтан олар көлемде бірқалыпты таралады деп есептелінді. Бірақ кез-келген газдың молекуласы Жердің тартуының потенциалдық өрісі әсерінде болады. Ауырлық күші мен молекулалардың жылулық қозғалысы газдың стационар күйіне әкеледі, газ қысымы биіктікке байланысты азаяды. Тартылыс өрісін біртекті, температура тұрақты және барлық молекулалардың массасы бірдей деп алып, қысымның биіктікке байланысты өзгерісін көрсететін заңды қорытайық (2.3 сурет). Егер h биіктікте атмосфералық қысым p -ға тең болса, онда h + dh биіктікте ол p+dp –ға тең (dh >0 болғанда dp <0, себебі қысым биіктікпен азаяды).

2.3 сурет

Қысымның биіктікке байланысты өзгерісін көрсететін заңды қорытқанда, өріс біртекті, температура тұрақты және барлық молекулалардың массасы бірдей деп аламыз. Егер h биіктікте атмосфералық қысым р -ға тең болса, онда h+dh биіктікте ол p+dр -ға тең (dh>0 болғанда dр>0, себебі қысым биіктікпен азаяды) p және р+ dр қысымының айырмасы биіктігі dh -қа тең цилиндрдің көлемінің ішіндегі газдың салмағына тең p-(p+dp)= ρgdh, ρ- газдың тығыздығы, dh- өте аз биіктік болғандықтан газдың тығыздығын өзгермейді, тұрақты деп алуға болады. Сондықтан

dр = - ρgdh (2.7)

Идеал газдың күй теңдеуін пайдалана отырып, ,

тығыздықты табамыз

Бұл формуланы (2.7) ге қойып, мынаны аламыз

,

немесе

Биіктік h₁ -ден h₂ -ге өзгергенде қысымда р₁- ге ден р₂- ге өзгереді, яғни

,

немесе (2.8)

Алынған формула барометрлік формула деп аталады, ол биіктікке байланысты атмосфералық қысымды табуға немесе қысымды өлшеп алып, сол арқылы биіктікті табуға мүмкіндік береді. Биіктік теңіз деңгейіне қатысты өзгереді. Сондықтан (2.8) формуласын

(2.9)

деп жазуға болады, мұндағы р - h биіктіктегі қысым. Биіктікті өлшейтін құралды альтиметр деп атайды. Альтиметрдің жұмысы (2.9) формуласын қолдануға негізделген. Бұл формула газ ауыр болған сайын оның қысымы биіктікке байланысты тез кемитінін көрсетеді. Барометрлік формуланы р=nkТ өрнегін пайдаланып былай жазуға да болады:

п - h биіктіктегі молекулалардың концентрациясы, n₀ - h=0 биіктіктегі молекулалардың концентрациясы.

және болғандықтан

(2.10)

деп жазуға болады, m₀gh=П - молекуланың потенциалдық энергиясы екенін ескеріп, (2.10) өрнегін мына түрде жазуға болады:

(2.11)

(2.11) формуласы сыртқы потенциалдық өрістегі Больцман таралуы деп аталады. Тұрақты температурада Т=const молекуланың потенциалдық энергиясының кемуіне сол жердегі газ тығыздығының көбеюі сәйкес келеді. Жылулық хаосты қозғалыстағы молекулалардың массалары бірдей болса, Больцман таралуы тек қана ауырлық күші өрісінде емес, сыртқы потенциалдық өрісте де орынды.

 

Молекуланың орташа соқтығысу саны және еркін қозғалысының орташа ұзындығы.

Газ молекулалары жылулық тәртіпсіз қозғалыс әсерінен бір-бірімен соқтығысады. Екі соқтығыс аралығында молекула L жол жүреді, молекуланың еркін қозғалыс кезіндегі екі соқтығыс арасында жүрген жолы - еркін қозғалыс жолының ұзындығы деп аталады. Жалпы жағдайда әр соқтығыс арасындағы жүрілген жол әртүрлі болады, хаосты қозғалатын молекулалар саны өте көп болғандықтан, молекулалардың еркін қозғалысының орташа жолы туралы айтуға болады .

Соқтығысқанда молекуланың центрі жақындайтын ең кіші арақашықтықты молекуланың эффективті диаметрі d деп атайды (2.4 сурет).

2.4 сурет

Молекуланың эффективті диаметрі соқтығысушы молекулалардың жылдамдығына тәуелді, демек температураға да тәуелді.

1 с ішінде молекула орташа арифметикалық жылдамдыққа тең жол жүрсе және - 1 с ішіндегі бір молекуланың орташа соқтығыс саны болса, онда еркін қозғалыстың орташа ұзындығы:

= (2.12)

Соқтығыс санын - ті анықтау үшін молекуланы диаметрі d- ға тең шар деп алайық, ол қозғалмайтын басқа молекулалардың арасында қозғалсын. Бұл молекула тек қана центрі d- ға тең немесе одан аз қашықтықта орналасқан молекулалармен соқтығысады, яғни «сынық» (радиусы d- ға тең) цилиндрдің ішінде орналасқан молекулалармен соқтығысады (2.5 сурет).

2.5 сурет

1с ішіндегі соқтығысу саны «сынық» цилиндрдің ішіндегі молекулалар санына тең:

=n·V,

мұндағы n - молекулалардың концентрациясы десек, , ал <υ> - молекулалардың орташа жылдамдығы немесе 1 с ішінде жүрілген жол. Сонымен орташа соқтығыс саны

Басқа молекулалардың қозғалысын есептесек орташа соқтығыс саны мынаған тең:

 

Сонда еркін қозғалыстың орташа ұзындығын төмендегі өрнек арқылы анықтауға болады:

(2.13)

- еркін қозғалыстың орташа ұзындығы n концентрацияға кері пропорционал шама екендігін көреміз. Екінші жағынан, Т=const болғанда n - қысымға р пропорционал. Сондықтан

 

 

Тасымалдау құбылыстары. Жүйе термодинамикалық тепе-теңдік күйден ауытқыған кезде, ондай жүйеде тасымалдау құбылыстары деп аталатын қайтымсыз процестер жүреді. Бұл құбылыстар нәтижесінде кеңістікте энергия, масса, импульс тасымалданады. Тасымалдау құбылыстарына жылуөткізгіштік (энергия тасымалы), диффузия (масса тасымалы), және ішкі үйкеліс (импульс тасымалы) жатады. Өзімізге ыңғайлы болу үшін тасымалдау құбылысын бір өлшемді санақ жүйесінде қарастырамыз, х осін тасымалдану бағытымен бағыттаймыз.

Жылуөткізгіштік. Егер газдың бір аумағында молекулалардың орташа кинетикалық энергиясы екінші бір аумағымен салыстырғанда көп болса, онда уақыт өткен соң молекулалардың тәртіпсіз соқтығыстары салдарынан олардың орташа кинетикалық энергиялары теңеседі, басқаша айтқанда температуралары теңеседі.

Энергияның жылу түрінде тасымалдануы Фурье заңына бағынады:

, (2.15)

мұндағы - жылу ағынының тығыздығы - х осіне перпендикуляр бірлік ауданнан бірлік уақыт мезетінде жылу түрінде тасымалданатын энергиямен анықталатын шама, - жылуөткізгіштік, - температураның градиенті, ол ауданға нормаль бойымен бағытталған х осінің бірлік ұзындығындағы температураның өзгеру жылдамдығына тең шама. Минус таңбасы энергияның температураның кему бағытына тасымалданатынын көрсетеді (сондықтан және таңбалары қарама-қарсы). Жылуөткізгіштік деп температураның бірлік градиентінде жылу ағынының тығыздығына тең шаманы айтады. Жылуөткізгіштік коэффициентін төмендегі формуламен анықтауға да болады:

, (2.16)

мұндағы - тұрақты көлемдегі меншікті жылусыйымдылық (тұрақты көлемде 1кг газды 1К температураға дейін қыздыруға қажет жылу мөлшері), - газдың тығыздығы, - молекулалардың жылулық қозғалысының орташа жылдамдығы, - еркін қозғалыстың орташа ұзындығы.

Диффузия. Екі газ молекулаларының жылулық қозғалыс әсерінен өздігінен бір-біріне еніп, араласуын диффузия құбылысы деп атайды. Диффузия сұйықтар мен қатты денелерге де тән құбылыс. Диффузия бұл денелердің бөлшектерінің масса алмасуына әкеледі, тығыздық градиенті болған жерде диффузия да болады.

Молекулалар үлкен жылдамдықпен қозғалғандықтан, диффузия да тез өтетін құбылыс болуы керек. Бірақ, бөлмеде хош иісті құтыны ашсақ, иіс жәй таралатынын байқаймыз. Оның себебі, атмосфералық қысымда молекулалардың бір- бірімен соқтығысуы нәтижесінде еркін жүру жолының ұзындығы аз болады да, молекулалар бір орында «тұрады».

Диффузия құбылысы Фик заңымен сипатталады.

(2.17)

Мұндағы - масса ағынының тығыздығы – х осіне перпендикуляр бірлік ауданнан бірлік уақытта тасымалданған зат массасымен анықталатын шама, D – диффузия коэффициенті, - тығыздық градиенті, х- тің бірлік ұзындығына тығыздықтың өзгеру жылдамдығын көрсетеді. Минус таңбасы масса тасымалының тығыздығы аз жеріне бағытталғанын көрсетеді (сондықтан және таңбалары қарама-қарсы). Тығыздықтың градиенті бірге тең болған кезде диффузия D сан жағынан масса ағынына тең болады. Газдардың кинетикалық теориясы бойынша

(2.18)

Ішкі үйкеліс (тұтқырлық). Параллель қозғалатын газ немесе сұйық қабаттары арасында ішкі үйкеліс немесе тұтқырлық пайда болады. Бұл құбылылыстың пайда болу механизмі түрлі жылдамдықтармен қозғалатын қабаттар арасында молекулалардың хаосты жылулық қозғалысы әсерінен молекулалар алмасады. Нәтижесінде шапшаң қозғалатын қабаттың импульсі кемиді де, баяу қозғалатын қабаттың импульсі артады, бұл шапшаң қозғалатын қабаттың тежелуіне, ал баяу қозғалатын қабаттың үдетілуіне әкеледі.

Механикадан екі қабаттың арасындағы ішкі үйкеліс күшін Ньютон заңы арқылы анықтауға болатынын білеміз.

(2.19)

Мұндағы -динамикалық тұтқырлық (ішкі үйкеліс) коэффициенті, жылдамдық градиенті, ол қабаттардың қозғалысына перпендикуляр х осі бағытындағы жылдамдықтың өзгерісінің шапшаңдығын көрсетеді, s – көршілес екі қабаттың беттесетін ауданы.

Ньютонның екінші заңы бойынша әсерлесуші екі қабат арасында бірлік уақыт аралығында бір қабаттан екінші қабатқа импульс беріледі, ол модулі бойынша әсер күшіне тең. Демек, ішкі үйкеліс үшін жазылған Ньютон заңын мына түрде жазуға болады.

, (2.20)

Мұндағы - импульс ағынының тығыздығы – х осіне перпендикуляр бірлік аудан арқылы бірлік уақытта х осінің оң бағытында тасымалданатын импульспен анықталатын шама, жылдамдық градиенті. «-» таңбасы импульстің жылдамдықтың кему бағытына қарай тасымалданатынын көрсетеді (сондықтан және таңбалары қарама-қарсы).

Жылдамдық градиенті бірге тең болғанда динамикалық тұтқырлық коэффициенті сан жағынан импульс ағынының тығыздығына тең болады, сондықтан оны төмендегі формула арқылы есептеуге болады:

(2.21)

Тасымалдау құбылыстарын - жылуөткізгіштік, диффузия және тұтқырлық (ішкі үйкеліс) – сипаттайтын заңдылықтарды салыстыра отырып, олардың ұқсастығын байқаймыз. Тасымалдау құбылыстарындағы бұл сыртқы ұқсастықты молекулалық-кинетикалық теория молекулалардың жылулық қозғалысы мен молекулалардың бір-бірімен соқтығысуынан деп түсіндіреді.

Қарастырылған Фурье, Фик, Ньютон заңдарындағы тасымалдау коэффициенттерінің математикалық өрнектері молекулалық-кинетикалық теория арқылы қорытылып шығарылады. Тасымалдау коэффициенттері бір-бірімен төмендегі тәуелділікте болады:

 

Термодинамика негіздері

Молекуланың еркін дәрежелер саны. Энергияның еркін дәрежелерге біркелкі бөліну заңы. Термодинамикалық жүйенің ең маңызды сипаттамаларының бірі ішкі энергия U болып табылады. Ол жүйедегі микробөлшектердің (молекула, атом, электрон, ядро, т.б.) хаосты (жылулық) қозғалысының және осы бөлшектердің өзара әсерлесу энергиясы болып табылады. Біртұтас жүйенің қозғалысының кинетикалық энергиясы мен сыртқы өрістегі жүйенің потенциалдық энергиялары ішкі энергия болып есептелінбейді.

Ішкі энергия – жүйенің термодинамикалық күйінің функциясы, демек жүйенің әр күйде белгілі бір ішкі энергиясы болады. Жүйе бір күйден екінші бір күйге өткенде оның ішкі энергиясының өзгерісі сол күйлердің ішкі энергияларының айырмасымен анықталады: . Жүйенің ішкі энергиясының өзгерісі жүйе бір күйден екінші күйге қандай жолмен келгеніне тәуелсіз шама болып табылады.

Еркін (еріктілік) дәрежелер саны деп жүйенің кеңістіктегі орнын толықтай анықтайтын тәуелсіз айнымалылар (координаталар) санын айтады. Мысалы, көптеген есептерде бір атомды газ молекуласын ілгерілемелі қозғалыстың үш еркін дәрежесі бар материялық нүкте ретінде қарастырады да, айналмалы қозғалыстың энергиясы ескерілмейді:

і = 3. 3.1 суреттегі а) жағдайы ( ).

3.1 сурет

Классикалық механикада екі атомды газдың молекуласын деформацияланбайтын, қатаң байланысқан екі материялық нүктелердің бірігуі ретінде қарастырады. Бұл жүйе ілгерілемелі қозғалыстың үш еркін дәрежесінен басқа айналмалы қозғалыстың екі еркін дәрежесіне де ие болады. 3.1 суреттегі б) жағдайы. Себебі, жүйе екі ось бойымен айналады, ал екі атом арқылы өтетін үшінші осьтен айналудың мағынасы жоқ деп есептелінеді, демек, молекуласы екі атомнан тұратын газдың бес еркін дәрежелері бар: і = 5.

Үш атомды және көп атомды бейсызықты молекулалардың алты еркін дәрежелері бар: үшеуі ілгерілемелі және үшеуі айналмалы қозғалыстардікі деп есептелінеді, і = 6. 3.1 суреттегі в) жағдайы.

Нақты газ молекулалары арасында қатаң байланыс жоқ, сондықтан нақты газ молекулалары үшін тербелмелі қозғалыстың да еркін дәрежелерін ескеру қажет. Жалпы санына байланыссыз молекуланың үш еркін дәрежесі әрқашанда ілгерілемелі қозғалыстікі. Ілгерілемелі қозғалыстың еркін дәрежелерінің бірінен бірінің артықшылығы жоқ, демек олардың әрқайсысына орташа есеппен кинетикалық энергияның бөлігіне тең энергия келеді:

.

Классикалық статистикалық физикада энергияның еркін дәрежелеріне біркелкі бөліну заңын Больцман қорытып шығарды: термодинамикалық тепе-теңдік күйдегі статистикалық жүйенің әрбір ілгерілемелі және айналмалы қозғалысының еркін дәрежелеріне орта есеппен -ге тең кинетикалық энергия, ал тербелмелі қозғалыстың еркін дәрежесіне орта есеппен -ға тең кинетикалық энергия келеді. Тербелмелі қозғалыстың еркін дәрежесіне екі есе көп энергия келу себебі, кинетикалық энергияға тең потенциялық энергия да ескеріледі. Молекуланың еркін дәрежелерін ескере отырып, орташа кинетикалық энергияның өрнегін жазуға болады:

.

Мұндағы і= .

Идеал газ молекулалары өзара әсерлеспейді деп есептелінгендіктен молекулалар арасындағы өзара әсердің потенциялық энергиясы нульге тең. Демек, газдың бір молінің ішкі энергиясы молекулалардың кинетикалық энергияларының қосындысына тең:

(3.1)

m массалы газ үшін ішкі энергия өрнегін жазайық:

мұндағы - газдың молярлық массасы, - зат мөлшері.

 

 

Термодинамиканың бірінші бастамасы (заңы). Механикалық энергиясы өзгермей ішкі энергиясы ғана өзгеретін термодинамикалық жүйені қарастырайық. Жүйенің ішкі энергиясы түрлі процестер нәтижесінде өзгеруі мүмкін: 1) жұмыс жасау арқылы;

2) жылу беру (қыздыру) арқылы.

Мысалы, газы бар цилиндрдегі поршеньді ығыстыру арқылы біз газды сығамыз, нәтижесінде газдың температурасы көтеріледі, яғни ішкі энергиясы артады. Газға белгілі мөлшерде жылу беру арқылы да біз ішкі энергиясын өзгертуімізге болады. Демек, жылу мөлшері дегеніміз жүйенің сыртқы денелер арқылы жылу алмасу процесі кезінде энергиясының артуы (түрлі температурадағы денелердің жылу алмасуы немесе ішкі энергияларымен алмасуы).

Механикалық қозғалыс энергиясы жылулық қозғалыстың энергиясына және керісінше ішкі энергия механикалық қозғалыс энергиясына айнала алады. Бұл айналуларда энергияның бір түрден екінші түрге айналу және сақталу заңы орындалады. Термодинамиканың 1 заңы термодинамикалық процестерге қатысты энергияның сақталу заңы болып табылады. Термодинамиканың 1 заңы көптеген тәжірибелердің нәтижесі.

Ішкі энергиясы -ге тең жүйе (поршені бар цилиндрдің ішіндегі газ) Q жылу мөлшерін алды да ішкі энергиясы -ге тең жаңа күйге көшті делік, сонда жүйе сыртқы күштерге қарсы жұмыс жасады. Жүйеге берілетін жылу мөлшері және жүйе сыртқы күштерге қарсы жасайтын жұмыс оң шама болып есептелінеді. Тәжірибе көрсеткендей, энергияның сақталу заңы бойынша жүйе бір күйден екінші күйге қандай жолмен көшкеніне тәуелсіз ішкі энергияның өзгерісі тең, демек жүйенің алатын жылу мөлшері Q мен сыртқы күштерге қарсы жасалатын жұмыстың А айырымына тең болады:

немесе

(3.2)

(3.2) теңдеуі термодинамиканың 1 заңының өрнегі болып табылады: жүйеге берілетін жылу мөлшері оның ішкі энергиясын өзгертуге және сыртқы күштерге қарсы жұмыс жасауға жұмсалады. (3.2) теңдеуін дифференциалдап келесі өрнекті аламыз:

немесе

(3.3)

Мұндағы - жүйенің ішкі энергиясының кіші өзгерісі,

- кіші жылу мөлшері, - элементар жұмыс.

(3.2) өрнегінен Халықаралық Бірліктер Жүйесінде (ХБЖ) жылу мөлшері энергия және жұмыстың өлшем бірлігі болып табылатын Джоульмен (Дж) өлшенетінін көреміз.

Егер жүйе процесс аяғында өзінің бастапқы күйіне қайта оралатын болса, онда ішкі энергияның өзгерісі нольге тең болады:

Демек, термодинамиканың бірінші заңы бойынша сырттан берілетін энергиядан артық жұмыс жасайтын машина жасау мүмкін емес, яғни мәңгі двигательдің 1-ші түрін жасау мүмкін емес (термодинамиканың 1 заңының тағы бір тұжырымдамасы).

 

 

Газдың көлемі өзгергендегі жұмысы. Көлемі өзгергендегі газдың сыртқы күштерге қарсы жұмысын табу үшін нақты процесті қарастырайық. Мысалы, газ толтырылған поршені бар цилиндрді алайық, 3.2 сурет.

 

3.2 сурет

Цилиндр мен поршень арасындағы газ көлемі ұлғайғанда поршеньді - шексіз кіші арақашықтыққа жылжытады,сонда газдың сыртқы күштерге қарсы жасайтын жұмысы мынаған тең:

Мұндағы - поршеньнің ауданы, - жүйенің көлемінің өзгерісі. Демек,

(3.4)

 

Көлемі -ден -ге дейін өзгергенде газдың жасайтын толық жұмысын (3.4) теңдеуін интегралдап табамыз:

Идеал газдың жылусыйымдылығы. Меншікті жылу сыйымдылығы деп 1кг затты 1К температураға дейін қыздыру үшін қажетті жылу мөлшерін айтады.

(3.5)

 

Меншікті жылу сыйымдылығының өлшем бірлігі – Дж/ кгК.

Молярлық жылусыйымдылығы деп 1 моль затты 1 К температураға дейін қыздыруға қажетті жылу мөлшерін айтады.

(3.6)

 

- зат мөлшері, ол мольдер санын анықтайды.

Меншікті және молярлық жылусыйымдылықтарының арасындағы байланысты көрсететін өрнек:

(3.7)

мұндағы - молярлық масса.

Тұрақты көлемде немесе тұрақты қысымда қыздырылған зат үшін тұрақты көлемдегі немесе тұрақты қысымдағы жылусыйымдылықтарын айырады.

Термодинамиканың 1 заңын 1 моль газ үшін жазайық.

(3.8)

Егер газ тұрақты көлемде қыздырылса, онда жұмыс нульге тең, сондықтан сырттан берілетін жылу мөлшері оның ішкі энергиясының көбеюіне жұмсалады:

(3.9)

Демек, тұрақты көлемдегі молярлық жылусыйымдылық 1 моль газды 1 К температураға дейін қыздырғандағы ішкі энергияның өзгерісіне тең. Ішкі энергия екенін ескере отырып, тұрақты көлемдегі жылусыйымдылықтың өрнегін жазайық:

(3.10)

Егер газ тұрақты қысымда қыздырылса, термодинамиканың 1 заңын пайдаланып, тұрақты қысымдағы жылусыйымдылықты табуға болады.

Ішкі энергия қысымға да, көлемге де тәуелді емес, тек температураға тәуелді екенін және ескере отырып және Менделеев - Клапейрон теңдеуін дифференциалдап, тұрақты қысымдағы молярлық жылусыйымдылықты табамыз:

(3.11)

(3.11) өрнегі Майер теңдеуі деп аталады. Бұл теңдеу тұрақты қысымдағы молярлық жылусыйымдылықтың тұрақты көлемдегі молярлық жылусыйымдылықтан универсал газ тұрақтысының шамасына артық екенін көрсетеді. Ол тұрақты қысымда газды қыздыру үшін газды ұлғайтуға қосымша жылу мөлшері керектігімен түсіндіріледі, себебі қысымды тұрақты ету үшін көлемді ұлғайту қажет.

Тұрақты көлемдегі молярлық жылусыйымдылықтың өрнегін пайдаланып, тұрақты қысымдағы молярлық жылусыйымдылықтың еркін дәреже санына тәуелділігін аламыз:

(3.12)

 

Термодинамикалық процестерде әр газ үшін тұрақты қысымдағы және тұрақты көлемдегі молярлық жылусыйымдылықтардың қатынасын білу маңызды:

(3.13)

 

Термодинамиканың I заңын изопроцестерге қолдану.

Изопроцестер - бір негізгі параметрі тұрақты болатын процестер, тепе-теңдік процестерге жатады. Осы процестерге термодинамиканың I заңының қолданылуын қарастырайық.

1. Изохоралық процесс . Изохоралық процестің диаграммасы р, V координаталарында ордината осіне параллель түзу болады (3.3 сурет).

 

3.3 сурет

 

Мұндағы 1-2 – изохоралық қыздыру, 1-3 – изохоралық суыту.

Изохоралық процесте газ жұмыс жасамайды, яғни

Термодинамиканың I заңынан

,

демек, изохоралық процесс үшін газға берілетін жылу оның ішкі энергиясының ұлғаюына жұмсалады:

формуласын ескерсек, массасы m газ үшін термодинамиканың I заңының изохоралық процесс үшін жазылуы:

 

2. Изобаралық процесс (p = const). Изобаралық процестің диаграммасы р, V координаталарында абсцисса осіне параллель болады (3.4 сурет).

 

 

3.4 сурет

Изобаралық процесте газ көлемі -ден -ге өзгергендегі жасалатын жұмыс

және диаграммада тік бұрыштың ауданымен анықталады.

Газдың таңдап алынған екі күйі үшін жазылған Клапейрон-Менделеев теңдеуінен шамасын табамыз:

,

Сонда изобаралық ұлғаю кезіндегі жұмыс

Бұл теңдеуден универсал газ тұрақтысының R физикалық мағынасы көрінеді.

Егер температураның айырымы болса, 1 моль газ үшін R=A, демек универсал газ тұрақтысы 1 моль газды 1К температураға дейін қыздыруға жұмсалған изобаралық ұлғаю жұмысына тең.

Массасы m газдың изобаралық процесте жылу мөлшері ұлғайғанда,

газдың ішкі энергиясы dU – ға өзгереді: .

Сонда газ - ге тең жұмыс жасайды.

3. Изотермиялық процесс (T= const). Изотермиялық процесс Бойль-Мариотт заңымен анықталады:

pV=const.

Изотермиялық процестің диаграммасы р, V координаталарында гипербола болады. Газ изотермиялық жолмен ұлғайғанда жасалатын жұмыс

.

Ішкі энергиясы өзгермейді:

Изотермиялық процесс үшін термодинамиканың 1-ші заңы:

,

демек газға берілетін жылу мөлшері сыртқы күштерге қарсы жұмыс жасауға жұмсалады:

Термодинамиканың І заңы бойынша температура тұрақты болуы үшін газға изотермиялық процесс кезінде сыртқы жұмысқа тең жылу мөлшерін беру керек.

Адиабаттық процесс.

Адиабаттық процесс деп жүйелер арасында және қоршаған ортамен жылу алмасу болмайтын δQ = 0 процесті айтады. Адиабаттық процеске тез өтетін процестер жатады. Мысалы, дыбыстың ортада таралуы. Дыбыс толқынының таралу жылдамдығы өте үлкен, сондықтан толқын мен орта арасында энергия алмасуға үлгермейді. Адиабаттық процестер двигательдердің ішкі жануында (цилиндрдегі жанғыш қоспалардың ұлғаюы және сығылуы), салқындатқыштарда және т.б. қолданылады.

Термодинамиканың 1 заңын пайдаланып адиабаттық процестің теңдеуінің қорытып шығарылуын қарастыралық.

Термодинамиканың 1 заңынан

δQ = dU + δА

адиабаталық процесс үшінтермодинамиканың 1-ші заңы:

δА = - dU (3.14)

яғни сыртқы жұмыс ішкі энергияның өзгеруі арқылы жасалады.

δА= рdV және C_V = өрнектерін кез-келген m массаға жазып,

(3.14) өрнегін мына түрге келтіреміз:

рdV = - C_V dТ. (3.15)

Идеал газ теңдеуін дифференциалдап, мынаны аламыз:

рdV + Vdр = - RdТ (3.16)

(3.15), (3.16)теңдеулерінен Т-ны алып тастаймыз, ол үшін екі теңдеудің қатынасын қарастырамыз:

= - = - .

1 + = - + 1, = γ екенін ескере отырып,

 

= - γ өрнегін аламыз. p₁ –ден p₂ – ге және V₁ -ден V₂ -ге дейінгі шектерде интегралдап, содан соң потенцирлеу арқылы

= немесе

= const (3.17)

теңдеулерін аламыз.

(3.17) теңдеуі адиабаталық процестің теңдеуі болып табылады және Пуассон теңдеуі деп аталады. (3.17) формуласын T, V немесе p, T айнымалыларына көшу үшін Клапейрон – Менделеев теңдеуін пайдаланып, түрлендіреміз:

 

(3.18)

(3.19)

адиабата процесінің теңдеулеріндегі - адиабата көрсеткіші, Пуассон коэффициенті.

(3.20)

Идеал газ шарттарын қанағаттандыратын бір атомды газ үшін (Ne, He және т.б.) i =3, 1,67; екі атомды газ үшін (H_2, N_2, O₂ және т.б.) i =5, 1,4. (3.20) формуласымен есептелген мәндері тәжірибемен дәлелденген.

 

3.5 сурет. Адиабаталық процестің диаграммасы.

 

Адиабаталық процестің диаграммасы (адиабата) p,V координатасында (3.5 сурет) гипербола болады. Суреттен көргеніміздей адиабата изотермаға қарағанда өзгеше, тік болады. Адиабаталық сығылу кезіндегі (1-3 бөлігі) газ қысымының көбеюін изотермиялық сығылу кезіндегідей оның көлемінің азаюымен ғана емес, температураның көбеюімен де түсіндіруге болады.

Адиабаталық процесс кезіндегі жұмысты есептеп шығарайық. (3.15) формуласын рdV = - C_V dТ мына түрде жазайық:

δА = - C_V dТ.

Егер газ V₁ көлемнен V₂ көлемге дейін адиабаталық ұлғайса, онда оның температурасы T₁ - ден Т₂–ге дейін азаяды және идеал газ ұлғайған кезде жасалатын жұмыс

А = - C_V = C_V (Т₁ –Т₂) (3.21)

Менделеев- Клапейрон теңдеуін пайдаланып, T, V немесе p, T айнымалы- ларына көшу арқылы (1.8) формуласын түрлендіріп, адиабаталық ұлғаю жұмысын жазуға болады:

А = , мұндағы р₁ V₁= RТ_1.

Адиабаталық ұлғаю кезіндегі жасалатын жұмыс (3.5 сурет 1-2бөлігі)

1,2, V_2,V_1, 1 - штрихталған ауданмен анықталады, изотермиялық ұлғаю кезінде жасалатын жұмыстан кіші болады. Себебі адиабалық процесс кезінде газ суиды, ал изотермиялық процесс кезінде сырттан эквивалент жылу мөлшерін алу есебінен температура тұрақты болады.

Политропты процесс.Қарастырылған изохоралық, изобаралық, изотермиялық, адиабаталық процестердің барлығына ортақ бір ерекшелік – аталған процестерде жылусыйымдылықтың тұрақты болуы. Изохоралық (V = const) және изобаралық (р = const) процестерде жылусыйымдылық - ға, изотермиялық (Т = const) процесте , адиабаталық процесте (Q = const) 0 -ге те&#