Ввиду определений 1 и 2 ясно, как следует понимать дифференцируемость функции на промежутках [a,b) и (a,b].

Пусть , a < b, – произвольный промежуток, ограниченный или неограниченный, а функция f дифференцируема на нем. Определим на этом промежутке новую функцию g: для всякой внутренней точки х положим g(х) = (х); если точки a принадлежит , то g(а)= ; если b принадлежит , то g(b)= . Функцию g, определенную на описанным способом называют производной функцией от функции f или, проще, - производной функции f и обозначают символами , (х), .

Опираясь на примеры, рассмотренные в п.п.1 и 3, можно сделать следующие выводы.

Если функция тождественно на промежутке равна константе, то ее производная равна нулю тождественно на этом промежутке (это часто выражают записью ). Для показательной функции имеем: на (- ∞, + ∞); в частности, при а = е отсюда следует . Для степенной функции , где μ –любое вещественное число, на интервале (0,+ ∞) ; при некоторых μ, например, при μ , это равенство справедливо на всей числовой оси. Для логарифмической функции на (0,+ ∞) ; При а = е отсюда следует: на (0,+ ∞). На всей числовой оси . На каждом из интервалов , имеем: , а на каждом из интервалов . На интервале (-1,1) (пример 10). Так как при всяком х (-1,1) arcsinx + arccosx = (гл. 1, п. 5.6), то arccosx = - arcsinx, и по теореме 3 . Отсюда: на (-1,1) . На всей числовой оси (пример 11). При любых х arctgx + arcctgx = (гл. 1, п. 5.6). Отсюда

: .

1.8. Производные высших порядков

Пусть , a < b, – произвольный промежуток, ограниченный или неограниченный, а функция f дифференцируема на нем. Тогда на , определена производная . Функция может оказаться дифференцируемой на . В таком случае на определена производная функции . Эту производную называют производной второго порядка функции f и обозначают символами .

Пример 13. На (- ∞, + ∞) имеем: Функция cosx, в свою очередь, дифференцируема на (- ∞, + ∞), и . Значит, функция – sinx является производной второго порядка функции sinx:

.

Производную функции называют производной третьего порядка функции f. Вообще, при всяком натуральном n > 1 производной порядка n функции f называют производную производной порядка n – 1 этой функции.Производную порядка n функции f обозначают символами , . Ради единообразия производную функции f часто называют производной первого порядка функции f.

С помощью метода математической индукции можно доказать справедливость следующих утверждений: пусть функции f и g имеют на промежутке производные до порядка n, n > 1, включительно; тогда сумма и произведение этих функций также имеют на производные до порядка n включительно, причем , где С ; , где .

Приведем доказательство последнего утверждения по методу математической индукции (см.гл. 1, п.2.5). Равенство есть утверждение А(n); нужно доказать его справеждливость при всех натуральных n. При n= 1 имеем: А (1) есть равенство: ; в силу теоремы 3 оно справедливо. Пусть теперь n – некоторое натуральное число; допустим, что А(n) справедливо, т.е. . Взяв производную от обеих его частей, получим:

Заметим: ; следовательно,

Но (см. [1], стр. 12). Значит,

.

Таким образом, из допущения “ A(n) справедливо” вытекает справедливость A(n +1 ). Следовательно, установлена справедливость A(n) при всех натуральных n.