Деформациялардың басты сыңарлары. Координаттарды бұру арқылы 
деформация тензорын мынандай түрге келтіруге болады:
(9.3)
Деформацияның басты сыңарлары мынандай теңсіздікке бағынады деп уәделесейік: 
.
Жаңа координатты жүйеде тензордың бүйірдегі сыңарлары нөльге тең болады, яғни ығысу деформациясы жоқ болады, ал координаттар осьтері бағытындағы сызықтық деформацияларға тек орын бар болады. Қабырғалары координатты жазықтықтарға параллельді, биіктігі 
және көлемі 
болатын элементарлы куб деформацияның нәтижесінде қабырғалары 
, 
, 
тең болатын тікбұрышты параллелепипедке айналады.
Осы параллелепипедтің көлемі мынаған тең:
.
Екінші реттік кіші мөлшерге дейінгі дәлдікпен көлемнің салыстырмалы өзгеруі мынаған тең болады: 
. (9.4)
Деформацияның басты сыңарлары 
мына сипаттамалық теңдеудің: 
нақты түбірі болады. Жоғарыдағы теңдеу жайылған түрде былай жазылады:
. (9.5)
Деформация тензорының инварианты мынаған тең:
; (9.6)
; (9.7)
. (9.8)
Бірінші инварианттың физикалық мағанасы бар. Осы мағана бойынша, егер тұтас орта деформацияланса, онда бірінші инвариант 
көлемнің салыстырмалы өзгеруіне тең болады. Айтылған физикалық мағана тағыда мынандай теңдіктен шығады:
. (9.9)
Деформацияның девиаторы. Деформация тензорын девиатор 
және шарлық тензор 
қосындысы түрінде көрсетуге болады, яғни
немесе 
. (9.10)
Анықтама бойынша девиаторының бірінші инварианты нөльге тең. Сондықтан девиатор көлемнің өзгеруімен байланысты емес деформацияны бейнелеуді.
(9.13) формуласы шексіз кішкентай элементтің деформациясын екі деформацияның қосындысы түрінде көрсетеді. Бірінші деформация девиатормен сипатталады және көлемнің өзгеруінсіз элемент пішінің өзгеруін бейнелейді, ал екінші деформация (шарлық тензор) осы элементтің барлық жақтан біркелкі созылуымен немесе қысылуымен бейнеленеді.
Девиатор сыңарларын 
әріпімен белгілейік, онда осы сыңарларды мынандай формуламен анықтауға болады: 
. (9.11)
девиаторы симметрия талабын орындайтын болғандықтан, оны диагональді түрге келтіруге болады. Сірә, деформация девиаторының басты бағыты деформация тензорының басты бағытымен дәл сәйкес келеді.
Сипаттамалық теңдеуде мынандай түр бар:
немесе 
(9.12)
Девиатордың бірінші инварианты нөльге тең. Екінші және үшінші инварианттар мынаған тең:
(9.13)
(9.14)
Мынандай мөлшерді 
(9.15)
ығысу деформациясының қарқындылығы деп атайды. Ары қарай осы мөлшер әр түрлі материалдың жүріс-тұрысын бейнеленген кезде кеңінен қолданалатын болады.
Бұрын көрсетілгендей илемділік деформация кезінде дененің көлемі өзгермейді және кіші деформацияның қосындысы мынаған тең болады: 
, демек 
. Сондықтан илемділік деформация кезінде деформацияның шарлық тензоры нөльге тең болады және деформация тензоры девиатор болып саналады.
Осі симметриялы кернеу-деформация күйі үшін цилиндрлік координатта деформация формуласын шығарусыз былай жазайық:
(9.16)
Бір координатты жазықтыққа параллельді және әрбір басқа екі координатты жазықтықпен бірдей 450 бұрышын құратын аудандарда ең үлкен (басты) 
, 
және 
ығысу деформациялары пайда болады. Осы ығысу деформациялары басты сызықты деформациялары арқылы былай анықталады:
; 
және 
. (9.17)
Басты ығысу деформациялары бір-бірімен мынандай формуламен байланысқан:
. (9.18)
Координатты осьтерге бірдей көлбеген алаңдарда (октаэдрлік алаңдарда) октаэдрлік деформациялар пайда болады.
Сызықтық октаэдрлік деформация орташа деформация болады, яғни
. (9.19)
Дененің көлемі тұрақты болып қалатын илемділік деформациясы кезінде мынандай шарт орындалады: 
. (9.20)
Октаэдрлік ығысу деформациясы немесе октаэдрлік ығысу мынандай формуламен анықталады: 
. (9.21)
Бұдан басқа, илемділік деформациясы теориясында деформацияның қарқындылығы деп аталатын оң скалярлық мөлшер кеңінен қолдануды тапты. Осы мөлшер мынандай формуламен анықталады:
. (9.22)
мөлшерлері бір-бірінен тек тұрақты көбейткішпен айырмашылықта болады, яғни: 
; 
; 
,
мұндағы 
және 
− абсолюттік мөлшері бойынша ең үлкен басты ығысу және басты сызықтық деформация.
Бұрын қолдаланған тәсілдерді қолданып, кернеуге салынған Мора диаграмма сияқты диаграмманы деформацияға да салуға болады. Бірақта 
және γ координатасында салу қажет.
Деформацияның бірлестік теңдеулері. Тұтас орта қозғалған кезде кез келген материальды бөлшектің орын ауыстыруы үш функциямен (
орын ауыстыру векторының 
сыңарларымен) сипатталады. Ал осы бөлшектің айналасының деформациясы мынандай алты мөлшермен сипатталады: 
.
Егер тік есеп, яғни орын ауыстыру сыңарлары арқылы деформацияның сыңарларын есептеу, функциясын координаталар бойынша дифференциалдауға алып келсе, онда қарама-қарсы есеп, яғни функциясын 
деформация сыңарлары бойынша табу, көп жағдайда шешімсіз болады.
Физикалық бұндай жағдай болуы мүмкін. Денені элементарлы параллелепипедтерге бөлейік және әрбір параллелепипедке деформацияның алты сыңарын белгілейік. Егер де деформацияның сыңарлары бір-бірімен белгілі теңдікпен байланысқан болмаса, онда жеке деформацияланған параллелепипедтен үздіксіз деформацияланған денені қайтадан жинау қиын болады. Параллелепидтердің арасында шексіз кішкентай бос орындар пайда болады.
Жоғарыда айтылғанг қатнастар оқулық [1; 4] берілген.
Негізгі әдебиеттер: [1] (тарау 2, бет 49 – 77); [2] (тарау 4, бет 111 – 121); [3] (тарау 1, бет 16 – 75); [4]: (тарау 3, бет 111 – 134).
Қосымша әдебиеттер: [6] (тарау 7, бет 38 – 58).
Бақылау сұрақтары:
1. Орын ауыстыруды кішкентай деп жорамалдау қандай жеңілдетуге алып келеді?
2. Элементарлы кубтың қандай деформациясын кішкентай деформация тензорының диагональдық сыңарлары бейнелейді?
3. Элементарлы кубтың қандай деформациясын кішкентай деформация тензорының бүйірдегі сыңарлары бейнелейді?
4. Қандай жағдайда деформация сыңарлары оң болады?
5. Кіші деформация тензорының сызықтық инвариантында қандай физикалық мағына бар?
№10 дәріс. Тұтас ортаның ағуы. Жылдамдық өрісі. Деформация жылдамдығы тензоры.
Материальды бөлшектің бастапқы және ағымдағы координаталарын байланыстыратын қатнастармен тұтас ортаның қозғалысы және деформациясы берілетіндігін біз анықтадық. Сызықтық емес тензорларды қолданып түпкі деформацияны (атап айтқанда осындай деформациялар металдарды қысыммен өңдеу процестеріне тән) бейнелеу үлкен математикалық қиындықтарға алып келеді. Сондықтан ағамдағы t уақыт мезгіліне сәйкес келетін құрама пішіннен жақын 
уақыт мезгіліне сәйкес келетін құрама пішінге өту едәуір жеңіл. Осы кезде ағымдағы 
коордиантасы бар материальды бөлшек 
координатасы бар кеңістік нүктесіне көшірілінеді. Осындайда 
-ды 
-ға бөліп және нөльге ұмтылдырып, шектікке өту арқылы жылдамдық векторының өрісін былай анықтаймыз: 
.
Осы жылдамдық векторының өрісі барлық материальды бөлшектің лып етіп өтетін ағыс көрінісін бейнелейді. Жылдамдық өрісін біле отырып еркін материальды бөлшектің бастапқы және ағымдағы координаттары арасындағы байланысты қалай анықтауға болатындығын біз жоғарыда көрсеттік. Нәтижесінде түпкі деформацияны тауып талдау, жылдамдық өрісін жүйелі уақыт аралығында зерттеп анықтауға мүмкіндік пайда болады.
Жылдамдық өрісі векторлық өрістің жеке жағдайы болғандықтан, оны бейнелеу үшін векторлық өрістің жалпы теориясын қолдануға болады.
Жылдамдық өрісі
Тоқ сызығы. Жылдамдық өрісінің векторлық сызығы ток сызығы деп аталады. Ток сызығының әрбір нүктесіндегі жанамалар осы аймақтағы жылдамдық векторының бағытымен сәйкес келеді. Барлық векторлық сызықтың жиынтығы осы уақыт мезгіліндегі ағыс көрінісін құрайды. Жылдамдық өрісі стационарлы болуы мүмкін. Осы кездегі тұтас ортаның қозғылысы орныққан деп аталады және ағыстың көрінісі уақыт өткен сайын өзгермейді. Өзгеретін ағыс стационарлы емес жылдамдық өрісімен сипатталады.
Траектория. Материальды бөлшек М -ның траекториясы деп бөлшек қозғалған кезде бейнелейтін қисық сызықты атайды (10.1 сурет).
Материальды бөлшектің қозғалыс бағыты траекторияға жанама болып келеді. Сондықтан траекторияны бейнелейтін бөлшектің тез өзгеретін жайы арқылы өтетін ток сызығына траектория жанасады.
Сірә, орныққан қозғалыста траекториялар мен тоқ сызықтары бір – біріне дәл сәйкес келеді.
Ток сызығы мен траекторияның дифференциальдық теңдеулерін құрастырайық. Ол үшін, осы t уақыттысында кеңістікте жүргізілетін өте кішкентай кесінділерден материальды бөлшектің dt уақытындағы элементарлы орын ауыстыруын ажырату үшін мынандай белгілеуді еңгізейік:
- 
- өте кішкентай кесінділер үшін;
- 
- материальды бөлшектің элементарлы орын ауыстыруы үшін.
Ток сызығының жанамасының бағытымен осы нүктедегі жылдамдық векторының сәйкес келуі мынандай ток сызығының дифференциальды теңдік жүйесін береді:
. (10.1)
Осы сияқты, траектория жанамасының бағытымен материальды бөлшектің элементарлы орын ауыстыру векторының сәйкес келуі мынанадай траекторияның дифференциальды теңдік жүйесін береді:
. (10.2)
Орныққан қозғалыста жоғарыда келтірілген теңдіктер бір-біріне сәйкес келеді.
|
