Дифференциальное уравнение гармонического осциллятора. Выражения для смещения х и ускорения 
отличаются только коэффициентом при cos (…). Поэтому = 
, или
(4)
Это и есть дифференциальное уравнение гармонического осциллятора. Функция (1) - общее решение этого уравнения. Оно содержит две произвольные константы а и a. Их можно найти из начальных условий, например, если даны смещение 
и скорость 
в начальный момент t =0:
; 
.
Что же такое гармонический осциллятор? Ответ очевиден: кто меняет свою единственную координату по уравнению (1) или (4) – тот и есть гармонический осциллятор. Простейшими примерами гармонических осцилляторов являются грузик на пружинке, математический маятник, физический маятник. И пример для гурманов – вертикальные колебания льдины на воде. Попробуйте понять, что между этими примерами общего.
Грузик на пружине (пружинный маятник). Пусть грузик массы m подвешен на невесомой пружине жесткостью k. Смещение х будем отсчитывать от положения равновесия (рис.2). В состоянии равновесия пружина растянута под действием силы тяжести m g груза настолько, чтобы сила упругости была в точности равна - m g. Поскольку эти постоянные силы равны и противоположно направлены, они в сумме всегда равны нулю. В процессе колебаний сила упругости будет состоять из двух частей: (1) постоянной составляющей равной mg и (2) переменной составляющей равной kx. Таким образом, в записи второго закона Ньютона для грузика можно не учитывать силу тяжести m g и постоянную составляющую силы упругости (равную - m g). Тогда произведение массы на ускорение равно переменной составляющей силы упругости
. (5)
Редкий ученик понимает, почему справа минус. Возьмите пружинку (хоть из авторучки) и попробуйте её растянуть и сжать. Что Вы заметили? Когда пружину сжимают, она стремится распрямиться (смещение вверх, сила упругости вниз), а когда растягивают, она стремится сжаться (смещение вниз, сила упругости вверх). Таким образом, знаки смещения x и силы kx всегда противоположны, поэтому и минус. Теперь перенесем - kx влево и разделим уравнение (5) на m
.
Правда, похоже на (4)? Чтобы сходство стало полным, обозначим 
. Тогда мы получим , т.е. дифференциальное уравнение гармонического осциллятора (ГО).
Мораль: коэффициент при x в дифференциальном уравнении гармонического осциллятора равен квадрату циклической частоты этого осциллятора. Если конечно Вы не забыли все уравнение предварительно разделить на коэффициент при ! А чему же равно x? Раз получено уравнение, идентичное дифференциальному уравнению (4), Þ(1) - его общее решение.
Пора спросить: а все ли знают, что точка над x обозначает первую производную по времени от x? Теперь догадайтесь, что означают две точки над x. И начинайте читать все сначала.
Из равенства 
следует, что циклическая частота пружинного маятника, зависит от жесткости пружины и массы груза: чем жестче пружина – тем больше частота, чем больше масса груза, тем меньше частота. С периодом все наоборот:
; 
. (6)
Пример из министерского тестирования: во сколько раз увеличится период колебаний пружинного маятника, если его массу и жесткость пружины увеличить в 2 раза? Ответ: не изменится. А если массу увеличить в 8 раз, а жесткость пружины увеличить в 2 раза? Ответ: в два раза. И так далее.
Физический маятник. Это твердое тело, совершающее малые колебания относительно неподвижной оси О, перпендикулярной листу (рис. 3). Запишем основное уравнение динамики вращательного движения в проекции на ось вращения О
(7)
(слева произведение момента инерции I на угловое ускорение, справа – момент силы тяжести). Чтобы понять, откуда справа минус, вспомним, куда направлены угловое ускорение 
и момент силы 
. Правильно, оба вектора вдоль оси вращения. А почему всегда в разные стороны? Спрошу на экзамене! Разделим обе части на I; учтем, что для малых углов 
; перенесем все в левую часть, обозначим 
и получим опять дифференциальное уравнение гармонического осциллятора
, (8)
только роль смещения вместо x выполняет угол φ. Решение уравнения (8) также совпадает с формулой (1) с точностью до обозначений: 
, где для разнообразия амплитуда обозначена φ0. Циклическая частота и период колебаний физического маятника равны
; 
. (9)
Такую же частоту и период имеет математический маятник длины lпр = 
, которую называют приведенной длиной физического маятника.
Математический маятник - это частица массы m, совершающая малые колебания на нити длиной l (в плоскости листа - на рис.4). Основное уравнение динамики вращательного движения будет отличаться только тем, что момент инерции частицы известен (
), Þ 
; Откуда минус? Да оттуда же! Теперь разделим обе части на ml2; учтем, что для малых углов ; перенесем все в левую часть и получим дифференциальное уравнение гармонического осциллятора (8), где на этот раз 
, Þ циклическая частота и период колебаний математического маятника равны
; 
. (10)
Похоже на выражения (6 и 9), но есть и различие: период (и обе частоты) математического маятника не зависят от его массы! А зависят только от 
! Отсюда простейший способ измерения ускорения свободного падения . Берем нить известной длины с грузиком и измеряем период его колебаний. Подставляем в (8) и находим .
Пример из министерского тестирования: во сколько раз увеличится период колебаний матема-тического маятника, если его массу увеличить в 2 раза и длину нити увеличить в 2 раза? Ответ: в 
. А если массу увеличить в 8 раз, а длину нити увеличить в 4 раза? Ответ: в 2 раза. И масса в обоих случаях не при чем!
Мораль. Свободные колебания любого осциллятора без трения будут гармоническими, если действующая сила направлена к положению равновесия и пропорциональна смещению от положения равновесия. В примере со льдиной именно так и получается: при вертикальных колебаниях меняется погруженная в воду часть льдины, а Þ и сила Архимеда пропорциональная глубине погружения.
Сложение гармонических колебаний одного направления. Можно условно изображать колебания с помощью вектора амплитуды 
, вращающегося с угловой скоростью w против часовой стрелки, так как проекции этого вектора изменяются по гармоническому закону. Действительно, угол вектора с осью х в момент времени t равен 
, а его проекция на ось х равна а cos . Проекция вектора суммы двух векторов равна сумме однонаправленных гармонических колебаний. Такой способ называется векторной диаграммой. Мы рассмотрим два случая: 1- когда частоты складываемых колебаний равны, 2 - когда они мало отличаются.
Термины “ мало- много ” требуют обязательного уточнения: по сравнению с чем? Всем известно, что три волоса на голове – это мало, а в тарелке – много! В нашем случае (колебаний, а не волос) уточнение состоит в том, что разность складываемых частот много меньше каждой из них. Обязательно обращайте внимание на уточнение! Оно неизбежно будет использовано при выкладках. Так, мы недавно использовали (дважды!) термин малые колебания. А уточнение состояло в том, что для них .
1 Пусть складываются гармонические колебания х 1 и х 2 с одинаковой частотой w. Тогда результирующее смещение равно
x = х 1 + х 2 = а 1 cos 
+ а 2 cos 
= 
.
Изобразим колебания векторами 
и 
, которые в начальный момент составляют с осью х углы a 1 и a 2 соответственно (рис.5). Амплитуду а и начальную фазу a результирующего колебания можно найти, как видно из рисунка, из соотношений
(11)
(12)
Из (11) видно, что амплитуда результирующего колебания существенно зависит от разности фаз 
. При сложении синхфазных колебаний (т.е. таких, что =0) результирующая амплитуда максимальна, а при сложении колебаний в противофазе 
- минимальна: 
; 
.
2 Пусть 
и w 2. Это значит, частоты мало отличаются! В этом случае справедлив рис.5. Но теперь векторы и вращаются с немного отличающимися угловыми скоростями, модуль результирующего вектора будет медленно (почему?,- спрошу!) изменяться от 
до 
, причем сам вектор вращается с угловой скоростью, близкой к 
и w 2. Строго говоря, результирующее колебание не является гармоническим. Его можно рассматривать, как почти гармоническое, но с медленно периодически изменяющейся амплитудой (рис.6). Такие колебания называются биениями. Результирующая амплитуда также может быть выражена формулой (11), но теперь разность фаз следует заменить выражением d = 
- 
= + 
.
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Рассмотрим несколько случаев.
1. Пусть складываются гармонические колебания х и y с одинаковой частотой w
и 
. (13)
Поскольку cos любого угла можно записать, как sin дополнительного (до 900) угла, то выражение для y можно представить как 
, где a + d =900. Перепишем выражения (13) в виде
; 
(14)
Если возвести оба уравнения в квадрат, расписать синус суммы, сложить уравнения и учесть что sin2…+ cos2… =1, то можно исключить время. Так получим уравнение траектории - эллипс (рис.7). Обязательно получите самостоятельно! По этой эллиптической траектории точка будет вращаться с частотой w. Рассмотрим частные случаи.
а) d =0. Тогда 
. Эллипс вырождается в наклонный отрезок в первом и третьем квадрантах (рис.8 а). Точка будет гармонически колебаться вдоль этого отрезка с частотой w.
б) d = p. Тогда 
. Тоже отрезок, только во втором и четвертом квадрантах (рис.8 б).
в) d = p/ 2. Тогда получим 
, Þ частица движется по эллипсу, полуоси которого совпадают с осями координат (рис.8 в). Так как колебание y опережает колебания х на p/ 2 (см. формулы (14)!), то y достигает max раньше, чем х, - поэтому вращение происходит по часовой стрелке.
г) d =3 p/ 2=(- p/ 2); Þ наоборот: колебание х опережает колебания y на p/ 2, Þ тоже вращение по эллипсу, только против часовой стрелки (рис.8 г).
2. Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний отличаются в целое число раз, то траектория результирующего колебания представляет собой довольно сложную кривую. Эти кривые называются фигурами Лиссажу.
Затухающие колебания.
Дифференциальное уравнение затухающих колебаний. В реальной колебательной системе всегда есть силы типа трения, которые приводят к уменьшению амплитуды (и энергии) колебаний. Тогда свободные колебания называются затухающими. Пусть на частицу массы m кроме квазиупругой силы (- kx) действует сила сопротивления, пропорциональная скорости 
. Тогда уравнение второго закона Ньютона будет иметь вид 
. Перенесем все в левую часть, разделим на m и введем обозначения: 
; 
; после чего получим
. (15)
Циклическую частоту w 0 называют собственной частотой, b - коэффициентом затухания. Уравнение (15) - это дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Его решение
, (16)
где а 0 и a - произвольные константы, которые можно найти из начальных условий; Частота затухающих колебаний 
, а зависит от b:
. (17)
|
(пунктир на рис.9). Решение (16) имеет смысл, если 
. В противном случае в (17) под корнем стоит отрицательная величина и процесс затухает апериодически. Физически это означает, что трение слишком велико, чтобы происходили колебания, хотя бы и с уменьшающейся амплитудой.Время релаксации – это время t, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз.
Так как 
меньше а о в е раз, то 
, Þ -1=- bt, Þ 
.
Логарифмический декремент затухания – это логарифм отношения двух последовательных амплитуд
.
Подставляя в b =1/ t, получим l=Т/t, Þ l - величина, обратная такому числу колебаний, за которое амплитуда уменьшится в е раз!
Вынужденные колебания.
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Вынужденные колебания можно получить, если к перечисленным выше силам (квазиупругой = - kx и трения= ) добавить внешнюю силу, например, периодическую F = F 0cos wt. Тогда по второму закону Ньютона
или
, (18)
где ; ; 
. Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (18) состоит из суммы общего решения однородного уравнения (15) и частного решения неоднородного (18). Общее решение однородного ДУ, как мы видели, затухает со временем. Поэтому остается только частное решение (соответствующее установившимсяколебаниям), которое показывает, что в системе устанавливаются гармонические колебания с частотой w вынуждающей силы, но отстающие от нее по фазе на некоторое φ
. (19)
Если дважды продифференцировать (последний раз предупреждаю, что это значит – взять производную!) уравнение (18), нарисовать векторную диаграмму с учетом сдвига фаз, то можно найти а и φ
, (20)
Резонанс. Первая из формул (20) показывает зависимость амплитуды а от частоты вынуждающей силы (рис.10). При w =0, а = 
, а максимум амплитуды соответствует условию 
. Но еще проще найти минимум только для выражения под корнем, приравняв нулю производную от него. Соответствующая частота w рез называется резонансной
w рез= 
, (21)
а само явление достижения максимальной амплитуды называется резонансом. Подставляя в первую из формул (20) резонансную частоту (21), получим максимальную амплитуду
. (22)
Из (22) и рис.10 видно, что чем меньше затухание в системе, тем ярче выражен резонанс. Резонанс используют, если нужно усилить колебания, и, наоборот избегают, если он может привести к нежелательному усилению колебаний.
Упругие волны
Уравнение волны. Упругой волной называется процесс распространения возмущения в упругой среде. При этом сами частицы среды испытывают только колебания около своих положений равновесия. Если колебания частиц происходят вдоль направления распространения, то волна называется продольной, а если перпендикулярно – поперечной.
Рассмотрим для простоты распространение возмущения вдоль длинного натянутого шнура, который совместим с осью х. В качестве возмущения рассмотрим x - смещение элементов шнура из положения равновесия как функцию координаты и времени x=f (x,t). Пусть возмущение распространяется в положительном направлении оси х со скоростью u = 
. Тогда в точку с координатой х возмущение придет с опозданием на время 
. Итого в момент t в точке х возмущение будет равно x (x,t) =f (t-x/u). Если волна распространяется в отрицательном направлении оси х, то в скобках будет плюс. Выражение в рамочке – это уравнение волны в общем виде. В частности, уравнение плоской гармонической волны имеет вид
x (x,t) =аcosw (t-x/u)= аcos (wt-wx/u). (23)
а – амплитуда волны, w - циклическая частота колебаний частиц среды. Функция (23) периодична с периодом 2p и по времени и по координате! Поэтому период равен 
. (24) Длиной волны l называется расстояние, проходимое за один период колебаний
l = uT= 
, Þ ln=u (25)
Введем волновое число k = 
= 
. Тогда уравнение плоской гармонической волны примет симметричный вид x (x,t) =аcos (wt-kx). (26)
Легко показать, что u - это фазовая скорость (т.е. скорость распространения вдоль ох некоторой зафиксированной фазы). Действительно, зафиксируем фазу в (23): пусть t-x/u =const. Þ 
, что и требовалось доказать.
Если волна распространяется в поглощающей среде, то ее амплитуда а будет уменьшаться экспоненциально (из опыта), тогда уравнение волны будет иметь вид
(27)
В плоской волне волновые поверхности (т.е. геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе) имеют вид плоскостей, (в нашем случае плоскости ^ оси х). Если волновые поверхности - сферы, то волна называется сферической. Фронтом волны называется волновая поверхность, отделяющая область волнового процесса от невозмущенной части среды.
Волновое уравнение. Пусть дано уравнение волны x (x,t) =f (t-x/u), обозначим фазу φ =(t-x/u) и вычислим частные производные по времени и по координате:
; 
, Þ
; Þ 
(28)
