П.4. Операции над функциями

Определение 6.8. Суммой (разностью, произведением) функций f и g называется функция f+g (f–g, fg), область определения которой (, ), а значения вычисляются по формуле (f+g)(х)=f(x)+g(x), (f–g)(x) =f(x)–g(x), (fg)(x)=f(x) g(x).

Пример 6.9.

Определение 6.9. Частным функций f и g называется функция , область определения которой , причём исключаем те х, для которых

g (х)=0, а значения вычисляются по формуле .

Пример 6.10.

 

Определение 6.10. Пусть y является функцией переменной u,а переменная u, в свою очередь, является функцией от переменной х, то есть и . Тогда функция называется функцией от функции (или сложной функцией), если область определения функции f содержит множество значений функции j. Переменная и в этом случае называется промежуточной переменной.

Пример 6.11.

 

П.5. Обратная функция

Определение 6.11. Пусть функция определена и возрастает (убывает) на промежутке Х, а область значений функции есть промежуток Y. Каждому значению у ₀ из промежутка Y будет соответствовать одно значение х ₀ Î Х такое, что (рис. 13). Следовательно, на промежутке Y определена функция . Функция называется обратной для функции и, наоборот, функция является обратной для функции .

Рис. 13

 

Переход от функции к обратной функции сводится только к изменению роли множеств Х и Y. Поэтому графики функций и (как множества точек плоскости хОу) совпадают. Однако обычно и для обратной функции аргумент обозначают через х, а значения функции –– через у, то есть вместо пишут . Графики функции и обратной функции в этом случае будут симметричны относительно прямой у = х (рис. 14).

Рис. 14

Пример 6.12.

П.6. Основные числовые функции и их графики

Основными элементарными функциями называются следующие: степенная функция , где a любое действительное число; показательная функция , где а >0, a ≠1; логарифмическая функция , где а >0, a ≠1; тригонометрические функции y = sin x, y = cos x,

y = tg x, y = ctg x; обратные тригонометрические функции y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.

Линейная функция.

Квадратичная функция.

Степенная функция. Область определения степенной функции зависит от показателя a. Эта функция при любом a определена в интервале 0 < х < +¥, то есть для всех положительных значений х. При a натуральном областью определения является вся числовая ось. Множеством значений функции будет интервал 0 < у < +¥ при a четном и промежуток –¥ < у < +¥ при a нечетном (рис. 15).

Рис. 15

Показательная функция. Областью определения показательной функции является вся числовая ось, то есть промежуток (–¥; + ¥), а множеством значений функции - промежуток (0; + ¥) (рис. 16).

Рис. 16

Логарифмическая функция. Областью определения логарифмической функции является промежуток , а множеством значений функции - промежуток (рис. 17).

Рис. 17

Тригонометрические функции. Областью определения функций y = sin x и y = cos x является промежуток , а множеством значений функций –– отрезок [–1; 1] (рис. 18 и 19).

Рис. 18 Рис. 19

Функция определена на всей числовой оси, кроме точек , т.е. область определения этой функции есть совокупность интервалов

.

Функция определена на всей числовой оси, кроме точек , т.е. область определения этой функции состоит из интервалов

.

Множеством значений функций и является промежуток (рис. 20 и 21).

Рис. 20 Рис. 21

Обратные тригонометрические функции. Областью определения функций y = arcsin x и

y = arccos x является отрезок [– 1; 1]. Множеством значений функции y = arcsin x является отрезок , а функции y = arccos x –– отрезок (рис. 22 и 23).

Рис. 22 Рис. 23

Областью определения функций y = arctg x и y = arcсtg x является промежуток . Множеством значений функции y = arctg x будет интервал , а функции y = arcсtg x –– интервал (рис. 24 и 25).

Рис. 24 Рис. 25