П.2. Соответствия между множествами. Взаимно однозначные соответствия

ГЛАВА 1

СООТВЕТСТВИЯ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ МНОЖЕСТВАМИ

П.1. Множества и операции над ними

Основными неопределяемыми понятиями математики являются «множество», «элемент множества». Множества представляют собой совокупность каких-либо предметов (объектов), обладающих общим свойством. Эти объекты бывают разной природы: числовые, геометрических фигур, людей и т.д. Договоримся называть их «элементами множества». Множества принято обозначать большими буквами латинского алфавита А,В, С,…, Х, У, Z, а элементы множеств – маленькими буквами латинского алфавита a, b, c, …, x, y, z. Если некоторый объект a является элементом некоторого множества A, то говорят, что «элемент а принадлежит множеству А» и обозначают а А. Таким образом, множества состоят из элементов и в зависимости от их числа бывают конечными и бесконечными, пустыми (Æ). Для записи множеств используют фигурные скобки, в которых через запятую перечисляются все элементы. Но если множество бесконечное, то перечислить все его элементы мы не сможем. В таких случаях мы будем использовать такую запись:

А = { x | свойство, которым обладают все элементы}.

В нашем курсе мы будем изучать в основном числовые множества.

Далее будем использовать следующие кванторы

· общности вместо слов «для любых» или «для всех (каждого)»

· существования вместо слов «существует» или «есть»

и общепринятые математические символы вместо слов:

· А В «если А, то В» или «из А следует В»

· А В «А тогда и только тогда, когда В» или «А равносильно В»

· ˄ знак конъюнкции, заменяет союз «и»

· ˅ знак дизъюнкции, заменяет союз «или»

Множества между собой могут находиться или нет в следующих отношениях:

ü пересечения – множества А и В находятся в отношении пересечения (А∩В), если существуют элементы, принадлежащие и одному и другому множествам одновременно и существуют элементы, принадлежащие только множеству А и только множеству В;

ü включения – множества А и В находятся в отношении включения, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В, говорят, что множество А является подмножеством множества В и обозначают AÌB;

ü равенства – множества A и B называются равными (A = B), если они состоят из одних и тех же элементов.

Следствия

1.1. Каждое множество является подмножеством самого себя: A Ì А.

1.2. Пустое множество является подмножеством любого множества A: Æ Ì A.

Множества A и Æ называют несобственными подмножествами множества A, все остальные – собственными подмножествами множества A.

Пусть А и В — некоторые множества.

Определение 1.1. Объединением двух множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Обозначается: АÈВ.

На рис. 1 показано объединение множеств А и В при помощи диаграммы Эйлера–Венна.

Рис. 1

Прежде, чем рассмотреть примеры объединения множеств, заметим, что согласно определению объединения х Î А È В Û х Î А ˅ х Î В.

Свойства объединения множеств

Из определения следует, что в А È А входят те же самые элементы, т.е. А È А = А. Вообще, когда B Ì A, то А È В = А. В частности, А È Æ = А.

Операция объединения подчиняется переместительному закону:

А È В = В È А.

Операцию объединения можно распространить на любое число множеств. Когда А, В, С — три произвольные множества, то (А È В)È С есть множество элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств А, В, С.

В общем случае объединение совокупности множеств обозначается и состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств .

Операция объединения подчиняется сочетательному закону:

(А È В)È С = А È (В È С).

Определение 1.2. Пересечением множеств A и B называется множество, состоящее их тех и только тех элементов, которые одновременно принадлежат множествам A и B. Обозначается: АÇВ.

Согласно определению пересечения х Î А Ç В Û х Î А ˄ х Î В.

Пересечение множеств А и В иллюстрируется на рис. 2.

Рис. 2

Свойства пересечения множеств

Очевидно, что А Ç А = А; вообще, когда В Ì А, то В Ç А = В. Из определения пересечения следует: А Ç В = В Ç А, т.е. операция пересечения коммутативна.

Имеет место и следующее равенство: А Ç Æ = Æ.

Операцию пересечения легко распространить и на случай больше двух множеств. Рассмотри три множества А, В, С. Пересечение А Ç В есть множество общих элементов множеств А и В, поэтому (А Ç В) Ç С есть множество элементов, принадлежащих одновременно трём множествам А, В, С.

Аналогично определяется и операция пересечения любого числа множеств. Из приведенного правила пересечения трех множеств следует, что операция пересечения ассоциативна: (А Ç В) Ç С = А Ç (В Ç С). Поэтому используется запись А Ç В Ç С. В общем случае пересечение совокупности множеств (i = 1, 2, …, n) обозначается и состоит из элементов, принадлежащих сразу всем множествам , .

Заметим, что относительно двух операций пересечения и объединения множеств выполняются два дистрибутивных (распределительных) закона:

1) (А Ç В) È С = (А È С) Ç (В È С);

2) (А È В) Ç С = (А Ç С) È (В Ç С).

Докажем второй из этих законов (первый доказывается аналогично).

Пусть х Î (А È В) Ç С. Значит, х Î А È В и х Î С. Из того, что х Î А È В, следует, что обязательно выполняется по крайней мере одно из двух утверждений: х Î А или х Î В. Когда х Î А, то из того, что х Î С, следует, что х Î А Ç С. Значит, х Î (А Ç С) È (В Ç С). Когда же х Î В, то из того, что х Î С, следует, что х Î В Ç С, но тогда х Î (А Ç С) È (В Ç С).

Таким образом, любой элемент множества (А È В) Ç С является элементом и множества (А Ç С) È (В Ç С).

Докажем теперь обратное. Пусть х Î (А Ç С) È (В Ç С). Возможен один из случаев: х Î А Ç С или х Î В Ç С, т.е. х Î А и х Î С, или х Î В и х Î С. Отсюда получаем, что х Î С и х Î А È В, а это свидетельствует о том, что х Î (А È В)Ç С. Таким образом, второй дистрибутивный закон доказан полностью.

Определение 1.3. Разностью двух множеств A и B называется множество, состоящее из тех и только тех элементов множества A, которые не принадлежат В. Обозначается: А \ В.

Согласно определению разности х Î А \ В Û х Î А ˄ х Ï В.

Графическое изображение разности А \ В множеств А и В показано на рисунке 3 (заштрихованная область — это А \ В).

Рис. 3

Из определения разности следует, в частности, что А \ А = Æ; А \ В ¹ В \ А.

Определение 1.4. Если множество B является подмножеством множества A, то разность множеств A и B называется дополнением множества B до множества A. Обозначается:

А \ В=С_АВ или или

Графическое изображение дополнения множества В до множества А показано на рис. 4.

Рис. 4

П.2. Соответствия между множествами. Взаимно однозначные соответствия

Основным объектом математического анализа является «функция». Введем это понятие через понятие «соответствие».

Пусть заданы два множества X и Y. Если для каждого элемента а Î Х указан (один, или несколько, или ни одного) элемент b Î Y, с которым сопоставляется а, то говорят, что между множествами X и Y установлено соответствие (бинарное отношение).

В основе понятия «соответствия» лежит «упорядоченная пара» (короче «пара»).

Определение 1.5. Упорядоченной парой называется множество, состоящее из двух элементов, для которых указан порядок следования. Обозначают (х; у); элемент х называют первой компонентой (координатой), у – второй компонентой (координатой) пары.

Основное свойство пары: две пары равны равны соответственно их компоненты, т.е. (х ₁; у₁)=(х₂; у₂) х₁= х₂, у₁ =у₂.

Не следует путать множество { х; у } и пару (х; у): (х; у) (у; х), а { х; у }={ у; х }.

Определение 1.6. Упорядоченной тройкой (тройкой) называется пара ((х; у), z), первая координата которой – пара (х; у), а вторая – z. Обозначают (х;у; z).

Аналогично определяются упорядоченные четвёрки, пятёрка, и т. д. n -ки.

Определение 1.7. Декартовым (прямым) произведением множеств Х и Y называется множество, состоящее из всех возможных пар (х; у), где , и обозначают .

C помощью символов это определение можно записать так:

= {(х; у)| , }

Пример 1.1.

Пусть Х = {1, 2, 3}, Y = { k, l }. Найти Х ´ Y и Y ´ Х.

Решение. Декартовое произведение Х ´ Y состоит из шести элементов:

Х ´ Y = {(1, k), (2, k), (3, k), (1, l), (2, l), (3, l)}.

Выпишем теперь декартовое произведение

Y ´ Х = {(k, 1), (k, 2), (k, 3), (l, 1), (l, 2), (l, 3)}.

Таким образом, Х ´ Y ¹ Y ´ Х (не выполняется ассоциативный закон). Результат декартового произведения зависит от порядка сомножителей.

Принято считать, что для любого множества Х справедливы равенства:

· ;

· .

Множество называется декартовым квадратом.

Если множества X и Y – числовые, то пары элементов (x; y) можно рассматривать как координаты точек на плоскости. В этом случае декартово произведение можно изобразить в декартовой системе координат.

Определение 1.8. Любое подмножество декартового произведения множеств называется соответствием между множествами Х и Y или отношением (бинарным отношением) между элементами множеств Х и Y.

Будем обозначать соответствия маленькими буквами латинского (f, g,..) и греческого (φ, ψ…)алфавитов. Множество всех первых компонент пар из соответствия f называют областью определения соответствия f (обозначают D (f)), а множество всех вторых компонент пар из соответствия f называют областью значения соответствия f (обозначают E (f)).

Пусть f – соответствие между множествами Х и Y. Если , то говорят, что «при соответствии f элемент x соответствует элементу y». В этом случае элемент у называется образом элемента х, а элемент x – прообразом элемента y при соответствии f.

Пример 1.2. Между элементами множеств X = {2, 3, 5, 11} и Y = {6, 7, 9, 10} задано соответствие f: «число x является делителем числа y».

Очевидно, что f – множество пар элементов(f ={(2, 6), (2, 10), (3, 6), (3, 9), (5, 10)}), находящихся в заданном отношении, является подмножеством декартова произведения множеств

X´Y = {(2, 6), (2, 7), (2, 9), (2, 10), (3, 6), (3, 7), (3, 9), (3, 10), (5, 6), (5, 7), (5, 9), (5, 10), (11, 6), (11, 7), (11, 9), (11, 10)}.

Полным образом элемента a из множества X называется множество всех элементов из Y, которые соответствуют элементу а. Обозначают f (а). В частности, для примера 1.2

f (2)={6, 10}, f (3)={6, 9}, f (5)={10}, f (11)= Æ.

Полным прообразом элемента b из множества Y называется множество всех элементов из Х, которым b соответствует. Обозначают f ^–1 (b). В частности, для примера 1.2

f ^–1 (6)={2, 3}, f ^–1 (7)= Æ, f ^–1 (9)={3}, f ^–1 (10)= {2, 5}.

Множество всех элементов из X, имеющих непустые образы, называется множеством (областью) определения соответствия, и обозначают D(f), а множество всех элементов из Y, имеющих непустые прообразы – множеством (областью) значений соответствия и обозначают Е(f). Так, в примере 1.2 область определения соответствия f есть множество D(f) ={2, 3, 5}, а множество значений соответствия f есть множество Е(f) = {6, 9, 10}.

Если множества X и Y совпадают, то говорят об отношении между элементами множества X.

Замечание 1.1. Соответствие между множествами можно задавать

а) перечислением пар

Y X
	´			´
	´		´
				´

б) таблицей

 

в) графами

г) с помощью графика (если множества числовые)

Соответствия могут быть различных видов. Приступим к их изучению.

Пусть f соответствие между элементами множеств X и Y. Соответствие f называется всюду определенным, если множество D(f) = Х. Если E(f) = Y. Если же E(f) = Y, то соответствие называют сюръективным. На рис. 5 а и 5 б представлено всюду определенное сюръективное соответствие. Соответствия, представленные на рис. 5 в и 5 г, не сюръективны, а соответствие, изображенное на рис. 5 г, не всюду определенное.

Рис. 5

Соответствие называется инъективным, если любой элемент из E(f) соответствует единственному элементу из D(f). На рис. 5 а изображено инъективное соответствие.

Особое место занимают функциональные соответствия.

Определение 1.9. Соответствие f между множествами Х и Y, при котором каждому соответствует один и только один называется функциональным (функцией). Элемент называется аргументом функции f, а соответствующий ему элемент называется значением функции f в точке х.

Определение 1.10. Если область определения функции f состоит из некоторого множества действительных чисел, то f называется функцией одной действительной переменной. Если область определения функции f состоит из упорядоченных n -ок действительных чисел, то f называется функцией n действительных переменных. Если область значений функции f состоит из некоторого множества действительных чисел, то f называется действительной функцией.

Пример 1.3. Среди соответствий, изображенных на рис. 6, функциями будут f и p. Их областями определения будут, соответственно, D (f) = { a, b, c }, D (p) = { a, b, c }, а множествами значений E (f) = { 1, 3 }, E (p) = { 1, 2, 3 }.

Если , и f – функциональное соответствие между элементами x и y, то это записывают так: y = f (x) или или

Рис. 6

Определение 1.7. Соответствие между элементами множеств Х и Y, при котором каждому элементу множества Х соответствует единственный элемент множества Y, и каждый элемент множества Y соответствует только одному элементу из множества Х, называется взаимно однозначным (или биективным).

Определение 1.8. Множества Х и Y называются эквивалентными, или равномощными, если между ними каким-либо способом можно установить взаимно однозначное соответствие.

Эквивалентность двух множеств обозначается так: X ~ Y.

Пусть задано соответствие f между множествами X и Y. Обратным ему называется соответствие f ^–1 между множествами Y и X, состоящее из таких пар (у; х), для которых верно, что (х; у) f. Соответствия f и f ^–1 называют взаимно обратными.

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА