Становлення методики формування елементарних математичних уявлень XIX-початок XX ст. проходило під впливом основних ідей шкільних методів навчання арифметики.
На той час єдиною методикою викладання арифметики не існувало. Йшла тривала боротьба між двома напрямками, з яких пов'язаний так званий метод вивчення чисел, монографічний, а з іншим - метод вивчення дій - обчислювальний.
Монографічний метод отримав визначення метода, що описує число.
В процесі вивчення кожного числа матеріалом для рахунку були пальці на руках, штрихи на дошці чи в зошиті, палички. Наприклад, при вивченні числа 6 пропонувалося розкласти палички по одній. Ставилися питання: «Із кількох паличок наше число? Відрахуйте по одній паличці, щоб вийшло шість. На скільки шість більше одного?»Потім вивчаюче число так само порівнювалося з сислом 2. «Скільки двійок в числі шість?» Так само з числом 3,4,5. Після кожної групи таких вправ дії записувалися у вигляді таблиці, результати якої потрібно було вчити напам’ять.
У 90-х роках під впливом критики монографічний метод навчання арифметиці був дещо видозмінений німецьким педагогом і психологом В.А. Лаєм. Книга В. А Лая «Керівництво до першого початкового навчання арифметики, засноване на результатах дідактичних дослідів» була переведена на російську мову.
Як же відбувалося навчання за Лаєм? Дітям показували числову фігуру. Вони її розглядали, а потім описували із закритими очима розташування точок. Наприклад, фігура, що позначає число 4: один круг - в лівому верхньому куті, один круг - в лівому нижньому куті, один круг - у правому верхньому кутку і один кружок - у правому нижньому куті. В. А.Лай вважав, що, чим виразніше, ясніше і жвавіше спостереження речей, тим чіткіше, ясніше виникають числові уявлення. За описом слід зарісовувати дану числову фігуру і складатия її на рахівницях (Счёты).
Після роботи над образом числа діти переходили до вивчення його складу. Педагог закривав три кружка з чотирьох (діти сприймали один верхній лівий), потім він закривав і цей кружок, а перші три відкривав або закривав два кружка. Результати кожної дії описувалися і пояснювалися: один та три буде чотири; три і один буде чотири; два і два буде чотири. Після цього на вивчений склад числа 4 вирішувалися завдання. Відповідь давалася без обчислень, на основі запам'ятовування складу числа.
За цим методом діти сприймали і запам'ятовували числа, які давалися їм у вигляді квадратних числових фігур. Послідовність навчання монографічного методу полягала в наступному: а) опис, спостереження та складання деякої числової фігури; б) вивчення складу числа і запам'ятовування числа; в) вправляння в арифметичних діях.
Проте вже в 70-х роках XIX ст. стали з'являтися противники монографічного методу. У 1874 р. в журналі «Вітчизняні записки» (№ 9) критиці його піддав Л. М. Толстой. «У цих німецьких прийомах, - писав він у статті«Про народну освіту», - була ще й та велика вигода для вчителів... що вчителю не потрібно... працювати над собою і правилами навчання. Велику частину часу за цим методом вчитель вчить тому, що діти знають, та, крім того, вчить по методиці, і йому легко».
Невдоволення методом все більш наростало, і в 80-90-х роках це-плеяда російських математиків виступила з його різкою критикою.
Російські математики бачили недоліки монографічного методу. По-перше, критикувалося вихідне положення методу, згідно яким кількість в межах 100 можна нібито наочно передати собі як групу одиниць. Таких здібностей не існує. |По-друге, монографічний метод критикували за нудьгу і крайнє подібні прийоми навчання, при яких діти не осмислювали значення кожної арифметичної дії, не диференціювали їх: навчання зводилося лише до тренування пам'яті та певних навичок. Механічне заучування відбивало бажання в учнів займатися далі арифметикою.
Недивлячись на критику монографічного методу, невизнання його в російських школах, шанувальник цього методу Д.Л. Волковський видав книгу «Дитячий світ в числах» (1912). Книга ілюструвалася числовими фігурами В.А. Лая, картками та кресленнями. Ця книга була і для дошкільнят, і для жіночих гімназій і домашнього навчання.
Монографічний метод проник в дитячий заклад, порівняно довго начали дітей рахунку.
