Приклади розв’язування задач. Задача 13. Знаючи постійну розпаду l ядра, визначити імо­вірність Р того, що ядро розпадеться за проміжок часу від 0 до t.

Задача 13. Знаючи постійну розпаду l ядра, визначити імо­вірність Р того, що ядро розпадеться за проміжок часу від 0 до t.

 

Розв'язання

З’ясуємо, що потрібно розуміти під шуканою імо­вірністю Р. Процес радіоактивного розпаду має статистичний ха­рактер: при багатократних дослідах за проміжок часу від 0 до t розпадеться щоразу одна і та ж частина ядер , яка характе­ризує відносну частоту події розпаду ядер і приймається за імовірність Р розпаду ядра впродовж даного проміжку часу. Отже,

,

де N – число ядер, які не розпалися до моменту t. Підставивши в цю рівність замість N його значення за законом радіоактивного розпаду

,

одержимо

.

Задача 14. Визначити скільки ядер радіоізотопу церію розпадається впродовж проміжків часу: 1) Dt ₁ = 1 c; 2) Dt ₂ = 1 рік в препараті масою m ₀ = 1,0 мг. Період напіврозпаду церію Т = 285 діб.

Розв'язання

Використаємо закон радіоактивного розпаду.

1) Dt ₁ = 1 c, тобто Dt ₁ << T і можна вважати, що впродовж всього проміжку часу Dt ₁ кількість ядер, що не розпались, залишається практично постійною і рівною їх початковому числу N ₀. У цьому випадку для знаходження кількості DN ядер, що розпались, застосуємо закон радіоактивного розпаду в формі

,

або, враховуючи, що

,

одержимо

.

Для обчислення початкової кількості ядер N ₀, визначимо кіль­кість молів n церію, що містяться в даному препараті, і помножимо його на число Авогадро N _A:

, (1)

де m₀ – початкова маса препарату, m – молярна маса ізотопу церію, чисельно рівна його масовому числу. З врахуванням попереднього співвідношення (1)

.

Обчисливши, одержимо

DN = 1,2×10¹¹.

2) Dt ₂ = 1 рік; тут величини Dt ₂ i одного порядку і ди­ференціальна форма закону радіоактивного розпаду в цьому випадку не може бути застосована. Потрібно скористатися інтегральною формою закону:

,

або, враховуючи, що і співвідношення (1), одержимо

.

Оскільки 2, то рівняння набуде вигляду

= 2,5×10¹⁸.

Задача 15. Визначити початкову активність А₀ радіоактивного магнію масою m = 0,2 мкг, а також його активність А через проміжок часу
t = 1 година. Припускається, що всі атоми ізотопу радіоактивні.

Розв’язання

Початкова активність ізотопу

, (1)

де l – постійна радіоактивного розпаду, N₀ – кількість атомів ізо­топу в початковий момент часу (t = 0).

Якщо врахувати, що , , то формула (1) набуває вигляду

5,15×10¹² Бк.

Активність ізотопу зменшується з часом за законом

. (2)

Підставивши в формулу (2) співвідношення для l через період напіврозпаду Т, одержимо:

.

Оскільки e ^ln2 = 2, то

= 8,05×10¹⁰ Бк.

 

§5. Дефект маси і енергія зв'язку

атомного ядра. Ядерні реакції

Основні формули

Дефект маси атомного ядра:

де Z – зарядове число (число протонів у ядрі), N і А–Z – число нейтронів (A – масове число), m _р і m_n – маси протона і нейтрона відповідно; m _я – маса ядра.

Цю ж формулу можна подати у вигляді, який на практиці для розв'язування задач використовується частіше:

, (6.26)

де – маса атома водню, m_а – маса атома.

Енергія зв'язку ядра:

E_зв= с²D m, (6.27)

де D m – дефект маси, с – швидкість світла у вакуумі;

с ² = 8,987×10¹⁶ Дж/кг = 8,987×10¹⁶ м² /с².

Якщо енергія виражена у мегаелектронвольтах, а маса – в атомних одиницях маси, то c ² = 931 МеВ/а.о.м.

Питома енергія зв'язку (енергія зв'язку на нуклон):

E _пит = E _зв/ A. (6.28)

В ядерних реакціях виконуються закони збереження:

а) числа нуклонів: А ₁ + А ₂ = А ₃ + А ₄;

б) заряду: Z ₁ + Z ₂ = Z ₃ + Z ₄;

в) релятивістської повної енергії: Е ₁ + Е ₂ = Е ₃ + Е ₄;

г) імпульсу: р ₁ + р ₂ = р ₃ + р ₄.

Енергія ядерної реакції:

Q = с ² [(m ₁ + m ₂) – (m ₃ + m ₄)] = с ² Dm', (6.29)

де m ₁і m ₂ – маси спокою ядра-мішені та бомбардуючої частинки; m ₃і m ₄ – маси спокою ядер продуктів реакції; Dm' – різниця мас продуктів реакції.

Якщо m ₁ + m ₂ > m ₃ + m ₄, то енергія вивільнюється, енергетичний ефект реакції додатній, реакція ендотермічна. Якщо m ₁ + m ₂ < m ₃ + m ₄, енергія поглинається, енергетичний ефект від'ємний, реакція екзотермічна.