Приклади розв’язування задач. Задача 8. Електрон, початковою швидкістю якого можна знехту­вати, пройшов прискорюючу різницю потенціалів U

Задача 8. Електрон, початковою швидкістю якого можна знехту­вати, пройшов прискорюючу різницю потенціалів U. Знайти довжину хвилі де Бройля l для двох випадків: 1) U = 51 В; 2) U = 510 кВ.

Розв'язання

Довжина хвилі де Бройля l частинки залежить від імпульсу р і визначається формулою:

.

Імпульс частинки можна визначити, якщо відома її кінетична енергія Т. Зв'язок імпульсу з кінетичною енергією для нерелятивістського
(коли Т << Е) і для релятивістського (коли Т» Е) випадків виражається відповідно формулами:

(2) і (3)

Формула (1) з урахуванням співвідношень (2) і (3) запишеть­ся відповідно в нерелятивістському і релятивістському випадках:

; (4) . (5)

Порівняємо кінетичні енергії електрона, що пройшов задані в умові задачі різниці потенціалів U ₁ = 51 В і U ₂ = 510 кВ, з енер­гією спокою електрона і вирішимо, якою з формул (4) чи (5) слід скористатися для обчислення довжини хвилі де Бройля.

Як відомо, кінетична енергія електрона, що пройшов прискорю­ючу різницю потенціалів U, дорівнює:

T = |e| U.

В першому випадку Т ₁ = |e| U ₁ = 0,51×10^–4 МеВ, що значно менше від енергії спокою електрона Е₀ = m₀c ² = 0,51 MeB. Отже, можна застосовувати формулу (4).

Для спрощення розрахунків зауважимо, що Т ₁ = 10^–4 m₀c². Підставивши цей вираз в формулу (4), перепишемо її у вигляді

.

Врахувавши, що – комптонівська довжина хвилі l _С, одержимо:

Оскільки l = 2,43×10^–12 м, то = 172 пм.

У другому випадку кінетична енергія Т = |e|U = 510 кеВ = 0,51МеВ, тобто дорівнює енергії спокою електрона. Отже необхід­но застосовувати релятивістську формулу (5). Врахувавши, що Т = 0,51 МеВ = m₀c ², за формулою (2) знайдемо:

,

або

= 1,4 пм.

Задача 9. Обчислити довжину хвилі де Бройля електрона, що рухається зі швидкістю v = 0,75 c (c – швидкість світла у ваку­умі).

Розв'язання

Довжина хвилі де Бройля для частинки визначається формулою:

, (1)

де h – постійна Планка, р – імпульс частинки. При русі частинок зі швидкостями, близькими до швидкості світла у вакуумі, маса ча­стинки залежить від швидкості. Тому у виразі для імпульсу

р = mv, (2)

де m – маса рухомої частинки. Залежність маси від швидкості подаєть­ся співвідношенням:

, (3)

де m ₀ – маса спокою частинки, v – швидкість руху електрона, що за умовою задачі рівна 0,75 с. Підставивши в (1) значення р і m з (2) і (3), одержимо:

(4)

За умовою задачі швидкість руху електрона рівна 0,75 с. Підставивши це значення в формулу (4), одержимо:

де – комптонівська довжина хвилі l _С, рівна 2,43 нм. Виконавши обчислення, одержимо: l = 2,24 нм.

 

Задача 10. На вузьку щілину шириною a = 1 мкм спрямовано па­ралельний пучок електронів, які мають швидкість м v = 3,65 Мм/с. Враховуючи хвильові властивості електронів, визначити відстань x між двома максимумами інтенсивності першого порядку в дифракцій­ній картині, одержаній на екрані, що знаходиться на відстані L = 10 см від щілини.

Розв'язання

Згідно з гіпотезою де Бройля, довжина хвилі l, що відповідає частинці масою m, яка рухається зі швидкістю v, виражається формулою

x L tg j

e

(1)

Оскільки дифракція є наслідком хвильової природи частинок, то при розв'язуванні задачі використовуємо (згідно з умовою задачі) умови максимуму на одній щілині.

, (2)

де k = 0,1,2,3,... – порядковий номер максимумів, a – ширина щілини.

Для максимумів першого порядку (k = 1) кут j, звісно, ма­лий, тому sin j = j, і, отже, формула (2) набуде вигляду

, (3)

а шукана величина x, як випливає з малюнка, дорівнює:

x = 2 L tgj = 2 L j, (4)

Підставивши значення j з (3) в (4), одержимо:

.

З останнього рівняння одержимо чи­сельне значення x, використавши формулу (1) для довжини хвилі де Бройля:

= 6×10^–5 мкм.

Задача 11. На грань кристалу нікелю падає паралельний пучок електронів. Кристал повертають так, що кут ковзання q змінюєть­ся. Коли цей кут стає рівним 64°, спостерігається максимальне відбивання електронів, що відповідає дифракційному максимуму пер­шого порядку. Вважаючи відстань d між атомними площинами крис­талу рівною 200 пм, визначити довжину хвилі де Бройля l електро­нів і їх швидкість v.

Розв'язання

До розрахунку дифракції електронів від кристаліч­ної гратки застосовується рівняння Вульфа–Бреггів:

2d sin q = kl,

де d – відстань між атомними площинами кристалу, q – кут ков­зання, k – порядковий номер дифракційного максимуму, l – довжина хвилі де Бройля.

Очевидно, що

l = (2d sin q)/ k.

Підставивши в цю формулу значення величин, одержимо:

l = 360 пм.

З формули де Бройля () знайдемо швидкість елек­трона:

величина якої v = 2×10⁶ м/с.

Задача 12. Кінетична енергія Т електрона в атомі водню за порядком величини становить 10 еВ. Використовуючи співвідношення невизначеностей, оцінити мінімальні лінійні розміри атома.

Розв'язання

Невизначеність координати й імпульсу електрона пов'язані співвідношенням:

Dx Dp ³ ħ, (1)

де Dx – невизначеність координати електрона; Dp – невизначеність його імпульсу.

Зі співвідношення випливає, що чим точніше визначається поло­ження частинки в просторі, тим більш невизначеним стає імпульс, а, отже, й енергія частинки. Нехай атом має лінійні розміри l, тоді електрон атома буде знаходитись десь в межах цієї області з неви­значеністю Dx = l /2. Співвідношення невизначеностей (1) можна за­писати в цьому випадку у вигляді (l /2)× Dp ³ ħ, звідки

(2)

Невизначеність імпульсу Dp не повинна перевищувати значення самого імпульсу p, тобто Dp £ p.

Імпульс пов'язаний з кінетичною енергією Т співвідношенням . Замінимо Dр значенням (така заміна не збіль­шить l). Переходячи від нерівності (2) до рівності, одержимо:

.

Підставивши числові значення і обчисливши, одержимо:

l = 124 пм.

 

ФІЗИКА АТОМНОГО ЯДРА

§4. Будова атомного ядра. Радіоактивність.

Основні формули

Ядро позначається тим же символом, що і нейтральний атом: , де Х – символ хімічного елемента, Z – атомний номер (число протонів у ядрі), А – масове число (число нуклонів у ядрі). Число ней­тронів N у ядрі дорівнює різниці А–Z.

 

Закон радіоактивного розпаду:

, (6.12)

де N – число атомів, які не розпались у момент часу t, N₀ – чи­сло атомів, які не розпались у момент часу, взятий за початковий (при t = 0), е – основа натурального логарифму, l – постійна розпаду. Період напіврозпаду:

. (6.13)

Число атомів, що розпались за час t:

. (6.14)

Середній час життя t радіоактивного ядра:

. (6.15)

Активність А ізотопу в радіоактивному джерелі:

. (6.16)

Активність ізотопу в початковий момент часу:

. (6.17)

 

Методичні вказівки

При розв'язуванні задач на закон радіоактивного розпаду ізольованої речовини слід розрізняти два випадки:

1) з умови задачі очевидно, що час розпаду сумірний з пе­ріодом напіврозпаду ізотопу. В цьому випадку слід користуватись співвідношенням закону в формі (6.12) (інтегральній);

2) з умови задачі випливає, що час розпаду Dt набагато мен­ший ніж період напіврозпаду T даного радіоізотопу (Dt << T), тоді кількість ядер N, що не розпалися, можна вважати практично по­стійною протягом всього часу Dt і рівною їх початковій кіль­кості N₀. Кількість ядер DN, що розпалися, можна визначати за формулою

. (6.18)

В деяких задачах вимагається знайти число атомів N, що містять­ся в даній масі m певного радіоізотопу Х. Для цього користуються співвідношенням

, (6.19)

де N _А – постійна Авогадро, n – число молів, які містяться в дано­му препараті, m – молярна маса ізотопу.

Нагадаємо, що між молярною масою m ізотопу і його віднос­ною атомною масою М_r існує співвідношення:

m = 10^–3 М _r кг/моль.

Слід мати на увазі, що для будь-якого ізотопу величина М _r є числом близьким до його масового числа А, тобто

m = 10^–3 A кг/моль.