Приклади розв’язування задач

VІ. ФІЗИКА АТОМА.

ОСНОВИ КВАНТОВОЇ МЕХАНІКИ.

ЯДЕРНА ФІЗИКА

§1. Атом водню за теорією Бора

Основні формули

Момент імпульсу електрона на стаціонарних орбітах:

L = m v_n r_n = nħ (n = 1,2,3,...), (6.1)

де m – маса електрона, r_n – радіус орбіти, v_n – швидкість електрона на орбіті, n – головне квантове число, ħ – постійна Дірака: ħ = h /2p, де h – постійна Планка.

Енергія фотона, що випромінюється атомом водню при переході з одного стаціонарного стану в інший:

e = ħw = hn = , (6.2)

де w – кругова частота випромінювання, n – частота випроміню­вання, і – енергії атома в стаціонарних станах з головними квантовими числами n ₁ і n ₂, причому атом переходить зі стану n ₂ в стан n ₁. Ця ж енергія може бути визначена за формулою:

(6.3)

де E_i – енергія іонізації атома водню.

Енергія електрона, що знаходиться на n -й орбіті:

(6.4)

Серіальна залежність, що визначає довжину хвилі світла, яке випромінюється чи поглинається атомом водню при переході електрона з однієї орбіти на іншу:

, (6.5)

де R' – постійна Рідберга (R' = 1,10×10 м^–1).

Оскільки , то формула (6.5) може бути переписана для частот:

(6.6)

де = 3,29×10¹⁵ с^–1 теж називають постійною Рідберга.

Серіальна залежність для довжин хвиль ліній спектру воднеподібних іонів:

(6.7)

де Z – порядковий номер елемента в таблиці Менделєєва.

Приклади розв’язування задач

Задача 1. Для атома водню обчислити радіус першої борівської орбіти і швидкість електрона на ній.

Розв'язання

Радіус n –ї орбіти r _n і швидкість v_n електрона на ній пов'язані між собою рівнянням (6.1) першого постулату Бора. Ще одне рівняння, що пов'язує величини r _n і ν _n, одержимо, записавши ІІ закон Ньютона для електрона, що рухається під дією кулонівської сили притягання ядра по коловій орбіті. Враховуючи, що ядром атома водню є протон, заряд якого дорівнює по модулю заряду електрона e, запишемо:

, (1)

де m – маса електрона, – доцентрове прискорення. Розв'язавши разом рівняння (1) і (6.1), знайдемо:

 

Підставивши тут n = 1 і виконавши обчислення, одержимо:

r ₁ = 0,53×10^–10 м, ν ₁= 2,2×10⁶ м/с.

Задача 2. Визначити потенціал іонізації та перший потенціал збудження атома водню.

Розв'язання

Потенціалом іонізації U _i називають ту найменшу різницю потенціалів, яку повинен пройти електрон в прискорюю чому полі, щоб при зіткненні з даним незбудженим атомом іонізувати його. Робота по видаленню електрона з атома А _i дорівнює роботі сил електростатичного поля, що прискорює електрон, А ' = eU _i, тому

А _i = eU _i (1)

Враховуючи квантовий характер поглинання енергії атомом, можна сказати, що робота іонізації А _i рівна кванту енергії hn, погли­нутому атомом водню при переході електрона з першої орбіти на орбіту, що відповідає n = ¥. Застосувавши формулу (6.6) і під­ставивши в неї n = 1, n = ¥, одержимо:

(2)

З (1) і (2) знайдемо 13,6 B.

Перший потенціал збудження U ₁ – це та найменша різниця потен­ціалів, яку повинен пройти електрон в прискорюючому електричному полі, щоб при зіткненні з незбудженим атомом перевести його в перший збуджений стан. Для атома водню це відповідає переходу електрона з першої борівської орбіти на другу. Прирівнявши знову роботу сил прискорюючого електричного поля eU і квант енергії hn, який поглинутий атомом при його переході в перший збуджений стан, та підставивши n ₁ = 1, n ₂ = 2, одержимо:

,

звідки 13,6 B = 10,2 B.

Задача 3. Визначити енергію e фотона, що відповідає другій лінії в першій інфрачервоній серії (серії Пашена) атома водню.

Розв'язання

Енергія фотона, що випромінюється атомом водню при переході електрона з однієї орбіти на другу (6.6):

де n ₁ = 1,2,3,... – номер орбіти, на яку переходить електрон, n ₂ – номер орбіти, з якої переходить електрон, n ₂ = n ₁ +1, n ₁ +2, n ₁ +3,... n ₁+ m,...; m – номер спектральної лінії в даній серії. Для серії Пашена n ₁ = 3; для другої лінії цієї серії m = 2, n ₂ = n ₁ + m = 3+2= 5. Підставивши числові значення, знайдемо енергію фотона:

e = 0,97 еВ.

Задача 4. Визначити частоту світла, що випромінюється дво­кратно іонізованим атомом літію при переході електрона на рівень з головним квантовим числом n = 2, якщо радіус орбіти електрона змінився в 9 разів.

Розв'язання

Порядковий номер літію Z = 3, тому двократно іонізований атом літію є воднеподібним, бо володіє єдиним елек­троном, який обертається довкола ядра. Частота випромінювання для воднеподібних атомів визначається формулою:

, (1)

де R¢ – постійна Рідберга, Z – порядковий номер елемента, n – но­мер орбіти.

Знайдемо відношення радіусів орбіт. При русі електрона по орбіті радіуса r _n кулонівська сила притягання електрона до ядра є доцентровою силою:

, (2)

де q = e – заряд електрона, m – маса електрона, e – діелектрична проникність, e ₀ – електрична постійна, v – швидкість руху електрона по орбіті.

За першим постулатом Бора,

, звідки .

Підставивши це значення в рівняння (2), знайдемо r _n:

З останнього рівняння видно, що радіус борівської орбіти пропорціональний квадрату головного квантового числа, отже,

Помноживши обидві частини рівняння (1) на , одержимо:

звідки

= 6,58×10¹⁵ c^–1.

§2. Рентгенівське випромінювання

Основні формули

Короткохвильова границя l _min суцільного рентгенівського спектру:

де е – заряд електрона, U – різниця потенціалів; h – постійна Планка.

Закон Мозлі:

, (6.9)

де l – довжина хвилі рентгенівського спектра, R – постійна Рід­берга (R =3,29×10¹⁵ с^–1), Z – атомний номер елемента, що випромінює цей спектр, s – постійна екранування.

Закон Мозлі для К_a –ліній (s = 1, n ₁ = 1, n ₂ = 2):

(6.10)

або

(6.10')

В загальному випадку закон Мозлі можна записати:

, (6.11)

де n – частота ліній рентгенівського спектру, C – постійна (для К _a–ліній C = 3/4).

Енергія рентгенівських квантів:

,

де n визначається за формулами (6.10), (6.11).

Методичні вказівки

При розв'язуванні задач на цю тему слід пам'ятати, що існує два типи рентгенівських променів. При енергіях електронів, що не перевищують певної критичної величини, яка залежить від матеріалу антикатода, виникають рентгенівські промені з суцільним спектром. Особливістю цього спектру є те, що він обмежений з боку малих довжин хвиль певною границею l _min, що називається границею суцільного спектру. Дослідження показали, що гранична довжина хвилі l _min залежить від кінетичної енергії W електронів, що ви­кликають гальмівне рентгенівське випромінювання. Зі збільшенням W довжина хвилі l _min зменшується. Очевидно, що максимальна енергія рентгенівського кванту, що виник за рахунок енергії електро­на, не може перевищувати цієї енергії. Звідси випливає рівність:

,

де j ₀ – різниця потенціалів, за рахунок якої електрону надана енергія W. Перейшовши від частоти до довжини хвилі, одержимо:

.

Ця формула лежить в основі одного з методів визначення по­стійної Планка h.

При обчисленні частоти характеристичних рентгенівських променів за законом Мозлі слід мати на увазі, що спектральні серії позначаються тими ж буквами, що і електронні оболонки, пере­хід електронів на кожний з яких викликає відповідне випромінювання. Приміром, К -серії обумовлені переходом електронів на К -оболонку. При цьому серіям (електронним оболонкам) К, L, М, N відповідають квантові числа n ₁ в формулі (1.8), які дорівнюють 1,2,3,4. Число n ₂ визначається формулою
n ₂ = n ₁+ N, де N – номер лінії в даній серії. Лінії серії записуються за порядком зменшення довжини хвилі індексами a, b, g,... Приміром, друга лінія К -серії позначається K_b; в цьому випадку n ₁ = 1, n ₂ = 1+2 = 3.

Якщо для розв'язання задачі потрібно знати величину екрануван­ня s, то керуються наступним міркуванням: s = 1 для лінії К _a і s > 1 для решти ліній К -серії. Однак у наближених розрахунках величину s вважають однаковою для всіх ліній однієї і тієї ж серії: s» 1 для серії К і s» 0,75 для серії L.

Приклади розв’язування задач

Задача 5. Визначити мінімальну довжину хвилі в суцільному спектрі рентгенівських променів, якщо рентгенівська трубка пра­цює під напругою U = 30 кВ.

Розв'язання

Суцільний рентгенівський спектр виникає внаслідок гальмування електронів, розігнаних у трубці електричним по­лем, при їх зіткненнях з антикатодом. Існування короткохвильової границі суцільного спектру обумовлене квантовою природою випромінювання. Справді, електрон, що підлітає до антикатода, володіє кінетичною енергією W_k, яка дорівнює роботі по прискоренню елек­трона, здійсненій електричним полем, тобто

W_k = eU, (1)

де e – заряд електрона. При зіткненні з антикатодом енергія електрона частково або повністю перетворюється у квант рентгенівсь­кого випромінювання . Найбільша частота кванта буде спостеріга­тись у тому випадку, коли вся енергія W_k перетвориться у квант .

Тоді згідно з (1):

. (2)

З (1) і (2) виходить:

= 0,41×10^–10 м.

Задача 6. Антикатод рентгенівської трубки покритий молібде­ном
(Z = 42). Знайти приблизно мінімальну різницю потенціалів, яку потрібно прикласти до трубки, щоб у спектрі рентгенівського випромінювання з'явилися лінії К -серії молібдену.

Розв'язання

На відміну від задачі 1, де розглядається гальмів­не рентгенівське випромінювання з суцільним спектром, тут мова іде про характеристичні рентгенівські промені, спектр яких лінійчатий. Як відомо, характеристичне рентгенівське випромінювання обумовле­не електронними переходами в глибокі електронні оболонки атома.

Серія К виникає при переходах електронів на найглибшу оболонку К (n = 1) з менш глибоких електронних оболонок L (n = 2), M (n = 3) і т.д. Але щоб будь-який з цих переходів став можливим, необхідна поява вакантного місця в К -оболонці. Для цього один з двох елек­тронів К -оболонки повинен бути вирваний з атома (або переведений на зовнішню, незаповнену електронами оболонку), оскільки внутріш­ні шари L, M, і т.д. заповнені електронами.

Мінімальну енергію, необхідну для видалення електрона К -оболонки з атома, можна приблизно обчислити за законом Мозлі. Справ­ді, квант енергії характеристичних рентгенівських променів дорівнює e = hn. В свою чергу . Застосовуючи закон Мозлі, одержимо:

(1)

Підставивши в (1) n ₁ = 1, n ₂ = ¥ і взявши приблизно постійну екранування s = 1 для всіх ліній К –серії, знайдемо енергію випромінювання атома e', яка відповідає переходу зовнішнього електрона на К –оболонку:

(2)

Очевидно, таку ж енергію повинен поглинути атом при зворотному процесі – вириванні електрона з К –оболонки, що необхідно для появи ліній К –серії.

Цю енергію e' атом молібдену одержує в результаті зіткнення з антикатодом електрона, що володіє кінетичною енергією eU. Різниця потенціалів U буде мінімальною, коли вся енергія електрона поглинеться атомом

eU _min = e '. (3)

З (3) і (2) одержимо:

23 кВ.

Задача 7. Визначити довжину хвилі та енергію фотона К_a –лінії рентгенівського спектру, що випромінюється вольфрамом при бомбардуванні його швидкими електронами.

Розв'язання

При бомбардуванні вольфраму швидкими електронами виникає рентгенівське випромінювання, що має лінійчатий спектр. Швид­кі електрони, проникаючи всередину електронних оболонок атома, ви­бивають електрони. Найближча до ядра електронна оболонка (К –оболонка) містить два електрони. Якщо один з цих електронів виявляється вибитим за межі атома, то на звільнене місце переходить електрон з більш високих оболонок (L, M, N). При переході електрона з L –оболонки на К –оболонку випромінюється найбільш інтенсивна К_a –лінія рентгенівського спектру. Довжина хвилі цієї лінії визна­чається за законом Мозлі:

звідки

Підставивши сюди значення Z для вольфраму (Z = 74) і R '= 1,1×10^–7 м^–1, знайдемо:

l_Кa = 2,28 ×10^–11м.

Знаючи довжину хвилі, визначимо енергію фотона за формулою:

54,4 кеВ.

Відзначимо, що енергію фотона a –лінії К –серії рентгенівського випромінювання можна визначити також безпосередньо за формулою:

.

ОСНОВИ КВАНТОВОЇ МЕХАНІКИ

§ 3.Хвильові властивості частинок

Основні формули

Фомула де Бройля, що зв'язує довжину хвилі з імпульсом р рухомої частинки, для двох випадків:

а) у класичному наближенні (v << c, р = m₀v, m₀ – маса спокою частинки)

, (6.12)

де h – постійна Планка; р = m ₀ v – імпульс частинки.

б) в релятивістському випадку, коли швидкість частинки v порівняна зі швидкістю світла с у вакуумі

,

тоді:

. (6.13)

Довжина хвилі де Бройля l і кінетична енергія частинки Т пов’язані наступним чином:

а) в класичному наближенні

; (6.14)

б) в релятивістському випадку

, (6.15)

де Е ₀ – енергія спокою частинки(Е = m ₀ c ²).

Співвідношення невизначеностей Гейзенберга:

a) Dx Dp_х ³ ħ (для координати й імпульсу), (6.16)

де Dх – невизначеність координати; Dр_x – невизначеність проекції імпульсу частинки на вісь x; ;

б) DE Dt ³ ħ (для енергії і часу), (6.17)

DE – невизначеність енергії; Dt – час життя квантової системи в даному енергетичному стані.

Методичні вказівки

Часто для розв'язування задачі потрібно виразити імпульс р частинки через її кінетичну енергію Т і навпаки. При цьому, а також при обчисленні швидкості частинки, потрібно розрізняти ви­падки класичних і релятивістських частинок. Складаючи рівняння для релятивістської частинки, потрібно врахувати залежність маси частинки від швидкості, а, значить, і від часу, тобто релятивіст­ський імпульс:

.

Кінетична енергія Т релятивістської частинки обчислюється як різниця між повною енергією цієї частинки W = mc ² та її енергією спокою W ₀ = m ₀ c ²:

.

Відзначимо, що в усіх випадках руху електрона в атомі, де його кінетична енергія вимірюється лише декількома електронволь­тами, релятивістськими ефектами можна знехтувати.

З допомогою співвідношення невизначеностей розв'язують не тільки задачі, в яких потрібно визначити найменше значення однієї з двох невизначеностей (Dх, Dp_х), (DE,Dt) при заданому значенні іншої (в цьому випадку у формулі пишуть знак рівності), але й задачі на приблизний розрахунок найменшого значення самих величин: лінійних розмірів області l, в яких знаходиться частинка, або ім­пульсу p частинки (або зв'язаної з імпульсом кінетичної енергії частинки Т). В задачах другого типу керуються наступними мірку­ваннями: 1) якщо відомі лінійні розміри області l, в якій знахо­диться частинка, то вважають Dx = l; якщо відомий модуль імпульсу p, але не відомий його напрям, то вважають Dp» p;
2) шукана ве­личина не може бути меншою від найменшої невизначеності в її вимірю­ванні, тобто за найменше значення шуканої величини приблизно бе­руть мінімальну невизначеність цієї величини:

l _min= (Dx)_min, p _min= (Dp)_min.