(14)
Учтем физические соотношения:
;
. (15)
Решаем совместно уравнения (11) и (15):
Пусть
Как видно третий стержень находится в сжатом состоянии, а первый и второй в растянутом.
Учет всех факторов при расчете статически неопределимых конструкций.
В элементах статически неопределимых конструкций возникают усилия и напряжения от внешних сил, от возможных неточностей изготовления стержней (имеется в виду только отклонение по длине) и возможного диапазона изменения температуры. Можно поступать двояко. Во-первых, учесть все факторы сразу, но при составлении уравнений совместности деформаций сложно предугадать знак суммарной упругой деформации. И нужен определенный опыт и навык.
Проще воспользоваться принципом суперпозиции. Мы всегда исходим из того что, появляющаяся деформация в стержнях является только упругой. А она величина аддитивная. В каждом стержне общая деформация равна сумме деформаций от каждого фактора в отдельности (от внешних сил, монтажная и температурная). А поскольку упругая деформация пропорциональна действующей внутренней продольной силе, то внутренняя продольная 
также представляет сумму сил от каждого фактора в отдельности.
для каждого i-го стержня.
Каждая составляющая суммы определяется отдельно. То есть определяются усилия в стержнях только от внешних сил (
), полагая что все элементы изготовлены по проекту и температура не изменяется. Затем определяются монтажные усилия (
) в предположении отсутствия внешних сил и постоянства температуры. Точно так же определяются температурные усилия (
). В рассмотренных выше примерах мы так и поступили.
Рассмотрим пример определения необходимой площади сечений элементов конструкции. По частям эта задача уже была решена выше. Принимаем следующие исходные данные: материал сталь3 (
; 
; 
) 
; 
; 
; 
; для 
стержня 3 
.
Решение можно начать с записи условий прочности стержневых элементов конструкции: 
Неравенства модульные, так как изначально не ясен знак напряжения. Усилия в стержнях от действия всех факторов уже определены:
Распишем модульные неравенства как двойные и подставим в них усилия:
Каждое двойное неравенство дает два решения для площади 
положительное и отрицательное значение. Выпишем те, которые дают положительные значения площади
Разрешая неравенства, получаем
Решением системы является 
.
ЛЕКЦИЯ №10
Геометрические характеристики плоских сечений
Прочность и жесткость брусьев, как элементов конструкций, определяется тремя блоками факторов. Прежде всего, это внешнее воздействие, которое описывается внешними силами. Оно учитывается через внутренние силовые факторы в поперечных сечениях.
Второй важный факторный блок – это прочностные и жесткостные свойства самого материала. Прочностные и жесткостные характеристики материала устанавливаются только экспериментально и для многих известных конструкционных материалов эти характеристики можно найти в справочниках и ГОСТах.
И, наконец, третий важный блок факторов, существенно влияющий на прочность и жесткость брусьев – это их геометрия. Прежде всего, речь идет о геометрии поперечных сечений (под геометрией следует понимать размер и форму). В таких случаях говорят о геометрических характеристиках плоских (поперечных) сечений брусьев (стержней, стоек, валов, балок).
Простейшей геометрической характеристикой сечений является площадь . По большому счету только в случае центрального растяжения прямого бруса (стержня) важна именно площадь сечения (т. к. 
), а форма не отражается на прочности и жесткости.
Во всех других случаях нагружения прямого бруса (центральном сжатии, кручении, изгибе и сдвиге) важной является именно форма сечения, а не размер площади.
Площадь является простейшей геометрической характеристикой поперечного сечения. Математически площадь представляется как сумма бесконечного множества элементарных площадок 
.
(1)
Площадь не зависит от выбора системы координат и является величиной аддитивной, то есть площадь целого равна сумме или разности площадей составных частей (типа 
). Можно указать сколько угодно много плоских фигур одной и той же площади . Для того чтобы улавливать форму плоских фигур необходимо ввести понятие моментов подобно тому, как это делается в механике, когда вводится момент силы.
Статические моменты сечений.
Выделим элементарную площадь в окрестностипроизвольной точки 
сечения в выбранной системе координат. Поскольку предполагаются поперечные сечения, то в плоскости сечений берем оси координат 
и 
, так как ось 
направлена перпендикулярно.
Величина 
есть не что иное, как момент элементарной площади относительно оси у. Если просуммировать эти элементарные моменты по всей площади
, (2)
то получаем так называемый статический момент площади А относительно оси у. То есть статическим моментом площади (сечения) относительно некоторой оси называется сумма произведений площадей бесконечно малых площадей на их расстояния до этой оси.
Аналогично можно ввести понятие статического момента площади (сечения) относительно оси z:
. (3)
Из определения статических моментов (2) – (3) следует, что размерность статических моментов есть длина в кубе, т.е. см3, м3 и т.д. Статические моменты, завися как от размера и формы фигуры, так и от системы координат.
Статические моменты сечений обладают следующими свойствами:
1) Аддитивность:
(4), 
То есть статический момент относительно конкретной оси некоторого сечения равен сумме или разности статических моментов составных частей относительно той же оси. Это следует из свойства аддитивности определенного интеграла по области интегрирования.
2) Если вектор равный площади сечения как бы приложить в точке центра тяжести сечения 
, то статические моменты могут быть определены как
(5)
Формулы (5) имеют важное практическое применение. С их помощью может быть определено положение центра тяжести любого сечения
, 
. (6)
В качестве примера определим положение центра тяжести полукруга. Так как центр тяжести лежит на оси симметрии, то требуется определить только 
. Выберем систему координат, так как показано на рисунке. Требуется вычислить
.
Для этого удобнее перейти к полярной системе координат. Выражаем
. И тогда
По формуле (6) получаем 
В силу симметрии у четвертины круга центр тяжести отстоит от бедер на таком же расстоянии 
.
Для сложных составных сечений на основе (4), и (5) можно получить алгоритм вычисления координат центра тяжести:
(7), 
Многоточие означает, что сечение можно подразделить на любое число составных частей.
Пример 1 (определение положения точки центра тяжести)
в = 10 мм; h = 40 мм;
В = 20 мм; H = 60 мм.
По формулам (7) получаем:
Пример 2 ( В =12см; Н=20см; а=4см.)
В данном случае воспользуемся алгоритмом (7’):
Таким образом, понятие статического момента является удобным средством для определения центра тяжести любых сечений. Кроме того, статический момент выполняет роль геометрической характеристики сечения при сдвиге.
Моменты инерции сечений
Моменты инерции подразделяются на осевые, полярные и центробежные.
Осевым моментом инерции сечения относительно некоторой оси называется сумма произведений площадей бесконечно малых площадок 
на квадраты расстояний до этой оси:
(8)
Полярным моментом инерции сечения относительно некоторой точки (полюса) называется сумма произведений площадей бесконечно малых площадок на квадраты их расстояний до этой точки.
(9)
Центробежным моментом инерции относительно некоторых двух взаимно перпендикулярных осей называется величина:
(10)
Суммирование в формулах (8)-(10) производится по площади сечения А. Размерность моментов инерции есть длина в четвертой степени, т.е. см4, м4 и т.д.
Как видно из определения (8)-(10) моменты инерции зависят от размера и формы плоской фигуры, а также от выбора системы координат. Согласно данному определению величины осевых и полярных моментов инерции всегда положительны!!! Это следует из исходного определения (8) и (9).
Если полюс берется в начале координат системы z o y (что в дальнейшем всегда предполагается), то
и
.
Таким образом 
. (11)
Из формулы (10) определяющей центробежный момент инерции следует, что центробежные моменты инерции могут быть положительными, отрицательными или равными нулю. Центробежный момент сечения относительно осей, из которых хотя бы одна является осью симметрии, равен нулю.
После первоначального знакомства с новыми объектами следует подробнее изучить их свойства. Только так можно понять, как их можно использовать в дальнейшем.
Прежде всего, как и статические моменты, моменты инерции обладают свойством аддитивности – моменты инерции всей фигуры равны сумме или разности моментов инерции составных частей.
(12) 
Примеры вычисления моментов инерции для простых сечений
1.Прямоугольное сечение:
Аналогично:
.
Центробежный момент инерции: 
.
2.Треугольное сечение:
;
3.Круглое сечение:
.
Переходим к полярной системе координат:
;
;
Тогда
Относительно любой оси, проходящей через центр круга, осевой момент инерции будет одинаков 
Полярный момент инерции круга
.
ЛЕКЦИЯ №11
