Геометрические характеристики плоских сечений 1 страница

ЛЕКЦИЯ 1

 

При проектировании различных инженерных сооружений, машин, механизмов, приборов и т.п. приходится большое внимание уделять вопросам надежности работы будущих изделий. Инженер-проектировщик должен быть уверен в том, что его конструкция под действием реальных нагрузок в процессе эксплуатации не разрушится или не изменит свою первоначально заданную форму.

Научно-технический прогресс и связанное с ним большой объем промышленного и гражданского строительства, непрерывный рост производства в машиностроении, авиастроении, приборостроении и других отраслях требуют внимательного отношения к расчету изделий на прочность, обеспечивающую использование большого количества самых разнообразных материалов.

Требования надежности и наибольшей экономии противоречат друг другу. Повышение надежности обычно ведет к увеличению расхода материала. То есть, если мы хотим сделать конструкцию более прочной, мы вынуждены увеличивать поперечные размеры элементов этой конструкции, а это связано с увеличением расхода материалов. Если же снижаем расход материала, т.е. облегчаем конструкции, то это, как правило, отражается на прочности.

Наряду с тем, что конструкция должна быть прочной при минимальном весе, она должна быть еще и технологичной. То есть проектировщик должен всегда исходить из минимума трудовых и энергетических затрат при изготовлении изделий.

Помимо сказанного в каждой области техники существует еще много специфических требований к изделиям (это и форма, и агрессивные среды и требование безопасности и т.д.).

Эта важная задача может быть решена лишь на базе глубокого знания свойств материалов и умения выполнять точные расчеты, опираясь на достижения механики твердого деформируемого тела.

Механика твердого деформированного тела как наука имеет давнюю историю. Точной датой рождения механики твердого деформируемого тела как науки считается 1638 год. Основы науки были заложены знаменитым итальянским механиком Галилео Галилеем. Галилей был профессором математики в Падуе. В 1638 г. в голландском городе Лейдене вышла книга Галилея «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей знаний». Здесь Галилеем дана постановка проблемы о прочности тел и предпринята первая в истории человечества попытка решить этот вопрос на научной основе. Свои исследования Галилей посвятил изучению изгиба балок, где он правильно установил зависимость момента сопротивления сечения балки от высоты и ширины сечения.

Естественно, в догалилеево время возводились, поражающие человеческий ум, архитектурные творения, однако, их сооружение выполнялось на базе эмпирических знаний, методом проб и ошибок, на базе знаний, передававшихся от поколения к поколению, как результат опыта, накопленного в длительной практической деятельности.

Начало XVII – этот период разложения феодального строя, развитие торгового капитала, международных морских отношений. Это период зарождения горной и металлургической промышленности. Оживление внешних торговых связей повлекло необходимость увеличения грузоподъемности судов, что связано было с изменением конструкции судов. Встала задача реконструкции и создания новых внутренних водных путей сообщения, включая устройство каналов и шлюзов. Нельзя было решить вставшие проблемы путем простого копирования существовавших ранее конструкций судов и сооружений. Потребность в качественно новой технике породила необходимость путем расчета оценивать прочность элементов конструкций в зависимости от их размеров и величины действующих на них нагрузок.

Значительная часть работ Галилея была посвящена решению задач о зависимости между размерами балок и стержней и теми внешними нагрузками, которые могут выдержать эти элементы конструкций.

Таким образом, возникновение науки о прочности является закономерным, необходимым результатом исторического развития человеческого общества, его материального производства.

В том же XVII веке был сделан другой существенный шаг в развитии механики твердого деформируемого тела и в 1660 году английским ученым Робертом Гуком был открыт закон пропорциональности между нагрузкой и деформацией. Этот закон носит его имя.

Дальнейшее развитие науки о прочности шло параллельно развитию техники строительства и машиностроения. На определенных этапах технического прогресса существующие материалы и методы проверки прочности были не в состоянии удовлетворить потребностям практики, ставящей на очередь дня решение новых задач. Тогда начинаются поиски новых материалов, исследования их свойств, улучшение и создание новых методов расчета и проектирования.

Большой вклад в науку о прочности внесли такие крупные ученые как Мариотт, Лейбниц, Яков Бернулли, Кулон, Новье, Лагранже, Пуассон, Сен-Венан. Значительная роль в развитии науки о прочности принадлежит русским и советским ученым, таким как Л.Эйлер, Ф.С.Ясинский, Д.И.Жуковский, Х.С.Головин, П.Ф.Папкович, И.Г.Папкович, И.Г.Бубнов, В.Г.Галеркин, С.П.Тимошенко, Н.М.Беляев, Н.И.Мусхилишвили и т.д.

Механика твердого деформируемого тела включает в себя целый ряд наук. В их числе: сопротивление материалов, теория упругости, теория пластичности, теория ползучести, аэрогидроупругость, механика грунтов, и т.д.

Сопротивление материалов является наиболее простой из всех наук, которые разрабатывают методы расчета на прочность. Следует отметить, что сопротивление материалов является наукой экспериментальной. Основные законы и выводы сопротивления материалов получены на основе обобщения и обработки большого количества экспериментальных данных.

 

ПОНЯТИЕ РАСЧЕТНЫХ СХЕМ

 

Объекты изучения сопротивления материалов.

С чего начинается решение задачи на прочность? Решение означает получение числовых значений некоторых параметров, по которым делается то или иное заключение. Например, будет данный элемент конструкции прочным или нет? Числовые значения могут быть получены чаще всего в процессе решения тех или иных математических уравнений, неравенств, систем. Математические соотношения, определяющие решения конкретных типов задач нужно вначале сформулировать. Они должны быть по возможности простыми и, в то же время, правильно отражать связи между определяющими параметрами задачи. Интуитивно понятно, что, например, прочность отдельно взятого элемента конструкции (стойка, балка, и т. д.) зависит: от его геометрии (т. е. размеров и формы); от свойств материала; и, что немаловажно, от внешнего воздействия на этот элемент. Все эти и другие факторы необходимо описать на математическом языке в виде объектов (константы, переменные, векторы и т. д.) поддающихся количественному описанию и, если нужно, экспериментальному определению.

Основная трудность, особенно для начинающих осваивать предмет, состоит в переходе от вербального (словесного) описания задачи, объекта изучения, его свойств и поведения к математической модели. Математическая модель или иначе расчетная схема, образно говоря, представляет на языке криминалистики своего рода фоторобот объекта, в котором отражены все его основные черты и особенности. При составлении фоторобота по словесному описанию используется определенный стандартный набор основных элементов (очертание и тип лица, форма и расположение носа, тип и посадка глаз и т. д.).

При построении расчетных схем реальных элементов конструкций также используется определенный набор понятий и элементов, которые позволяют «перебросить мостик» из физического мира в область математических понятий, символики, операций, уравнений и т. д. Процесс построения расчетной схемы проводится в несколько этапов.

Прежде всего, твердые тела, представляющие собой элементы машин или строительных сооружений, по чисто геометрическому признаку могут быть подразделены на три группы. Отвлекаясь от второстепенных характеристик этих элементов, изобразим их упрощенно в виде так называемых одномерных, двумерных и трехмерных тел (Рис.1). В силу специфики геометрии объектов к каждому типу применяется свой подход при расчете. Этим объясняется и разный уровень сложности математической модели и применяемого математического аппарата.

Рис.1

 

По большому счету любая наука базируется на двух основополагающих элементах. Прежде всего, это классификация объектов и явлений по некоторым принципам схожести и различий. Подразделение всех твердых тел на три вида это типичный пример классификации.

Другим важнейшим методологическим приемом в изучении и познании является принятие тех или иных предположений, допущений (гипотез), касающихся строения, свойств и поведения объектов (например, твердых тел); что является главным и важным, а чем менее важным (второстепенным) можно в данных условиях пренебречь. При этом нужно постоянно, что называется чувствовать берега. Во-первых, попытка учесть все возможные нюансы и детали всего сущего – это путь в никуда. С другой стороны чрезмерное упрощение тоже опасно, поскольку построенная модель объекта, явления может не соответствовать реальной действительности. Поэтому принимаемые допущения, призванные упростить модель, должны быть обоснованы, т. е. получить прямое или косвенное подтверждение правильности. Обычно это реальная практика, специальные эксперименты или расчеты уже проверенными методами.

Сделанное отступление от основного материала представляется важным по следующим соображениям. Современный процесс изучения в средней школе (и если бы только в ней) к сожалению, сводится к методологическим приемам армейского старшины старой закваски Опупенко – «Ложка люминевая, потому что она ложка. Колесо круглое, потому что оно колесо. Каска зеленая, потому что она каска. И баста». Между тем нормально формирующийся и развивающийся интеллект современного человека должен быть особо настроен и чувствителен к некоторым базовым постулатам. Прежде всего, умение в огромном потоке информации улавливать наиболее важную составляющую, хотя бы на уровне интуитивных ощущений своей будущей профессиональной деятельности. Если по тем или иным причинам в поле зрение попали какие-то объекты или явления, нужно понять важность и необходимость их дальнейшего изучения. То есть внутренняя мотивация один из главных столпов образования.

Дальше об интересующем объекте или явлении нужно получить из источников достаточную информацию, а именно сформировать в своем сознании необходимый набор понятий, определений, критериев и по ходу принятых обозначений. Например, конструкции представляют только твердые тела – значит нужно понять, в чем состоит отличие их от жидкости, газа, плазмы. Житейски понятно, что разные материалы обладают разными прочностными и жесткосными свойствами, – каким образом можно учесть эти различия? Следовательно, нужны некие понятия, может быть, ввести и абстрактные объекты, которые позволят точно различать и идентифицировать разные конструкционные материалы. Вводятся в обиход внешняя сила, внутренняя сила, напряженнее, деформация, перемещение и другие важные понятия. Выявляются и описываются связи между ними. Таким образом, постепенно формируется своего рода особое пространство, в котором и протекает собственно процесс формулирования задачи на математическом языке и ее решение. Именно в подобных пространствах объекты и явления физического мира могут «подружиться» с элементами математики. И только математика в тесном содружестве с интеллектом способна деликатно, но настойчиво «уговорить» реальный физический мир поделиться своими секретами с человеком в рамках «заключенного договор» (т. е. принятой модели объекта или явления).

С набором чисел, функций, графиков и т. п. необходимо «вернуться» в реальный мир и правильно истолковать, чтобы принять верные практические решения типа данный стержневой элемент должен иметь площадь поперечного сечения не меньше, чем …, или в качестве балки перекрытия следует использовать двутавр номером не ниже, чем …. Вот примерный порядок действий, если нацеливаться на результат.

Первый шаг перехода из физического мира в пространство математической модели сделан – элементы конструкций распределены по трем типам. Достаточно распространенный элемент конструкций представляет собой материальное тело, два измерения которого замечательно меньше третьего. Такой элемент называется брусом (Рис.1а), - ось бруса, т.е. линия на которой находятся центры тяжести сечений. Если фигура меняет свои размеры по мере движения вдоль линии , то брус называется брусом переменного сечения. Фигура называется поперечным сечением бруса. В сопротивлении материалов в основном уделяется внимание изучению брусьев. Причем различаются следующие виды брусьев:

Стержень - это брус с прямолинейной осью, подверженный действию продольных сил.

Балка- брус, который нагружается таким образом, что его ось в процессе нагружения изгибается, не изменяя своей длины.

 

.

Вал- брус подверженный закручиванию.

Наряду со стержнями, балками, валами в курсе сопротивления материалов изучаются конструкции, элементами которой являются стержни, балки, валы.

КЛАССИФИКАЦИЯ ВНЕШНИХНАГРУЗОК

Внешние силовые воздействия на твердое тело есть результат его взаимодействия с другими телами (внешней средой), среди которых могут быть твердые тела, жидкие и газообразные среды. Силы, как основной фактор взаимодействия между телами, представляют собой меру механического воздействия тел друг на друга и взаимодействия частей одного тела между собой. Это взаимодействие происходит по границе тела (его поверхности) при непосредственном механическом взаимодействии (поверхностные нагрузки). Нагрузки будут распределены по объему (т. е. действующие на единицу объема), если взаимодействие носит гравитационный или электромагнитный характер, либо силы инерции.

Следующий важный этап при построении расчетной схемы состоит в классификации внешних усилий. Поверхностные силы взаимодействия представляются в виде сосредоточенной силы и распределенной нагрузки.

Сосредоточенная сила – это сила, передающаяся на твердое тело через площадку, размеры которой очень малы по сравнению с размерами всего тела. При расчетах благодаря малости площадки, передающей давление, обычно считают сосредоточенную силу приложенной в точке. Таким образом, сосредоточенная сила характеризуется направлением действия, величиной и точкой приложения.

Обозначение F,

Размерность

В системе СИ

Распределенная нагрузка – сила, приложенная непрерывно на протяжении некоторой линии или области на поверхности конструкции. Слой снега одинаковой толщины на крыше представляет собой равномерно распределенную нагрузку; при неодинаковой толщине слоя мы получим неравномерно распределенную нагрузку. Собственный вес балки какого-либо перекрытия представляет собой нагрузку, распределенную по длине элемента.

Распределенная нагрузка характеризуется направлением действия и интенсивностью. Интенсивностью распределенной нагрузки по площади называется величина q

.

Размерность .

В системе СИ .

Интенсивностью распределенной нагрузки по линии называется величина

.

 

Размерность .

В ряде случаев реальное внешнее не может быть описано одними лишь сосредоточенными и распределенными силовыми нагрузками. Наряду с силовыми нагрузками при составлении расчетных схем вводятся и моментные нагрузки, в виде сосредоточенных моментов (пар сил) и моментов, распределенных по линии или по поверхности.

Сосредоточенный момент. .

Размерность.

 

- распределенный момент .

 

 

Объемные силы – это силы, отнесенные к единице объема. В сопротивлении материалов они непосредственно не используются, а переводятся в другой вид нагрузки. Например, если требуется в расчетах учесть собственный вес бруса (стержня, балки, вала и т. д.), то вводится понятие погонного веса, а это уже нагрузка на единицу длины продольной оси.

Внешние силы по некоторому условному признаку могут быть разделены на силы активные и реактивные. Например, нагруженная силами балка опирается на опоры в точках и , в результате чего появляются опорные реакции и - реактивные (вторичные). Реактивные силы по отношению к телу (балке) также являются внешними.

По характеру действия во времени силы подразделяются на статические, динамические и ударные, постоянные и временные силы.

Под статическими понимаются нагрузки, которые прикладываются постепенно, и, будучи приложенными, к конструкции, не меняются или меняются незначительно. В этом случае инерционные силы не учитываются.

Нагрузку, действующую на сооружение, относят к динамической, если она изменяет свою величину или положение в сравнительно короткий промежуток времени.

Ударные нагрузки возникают при быстром изменении скорости соприкасающихся тел.

Среди статических нагрузок различают постоянные и временные нагрузки.

Постоянные нагрузки действуют на протяжении всего времени эксплуатации конструкции (собственный вес).

Временные нагрузки действуют на конструкции в течение лишь некоторых промежутков времени. Например, груз, поднимаемый краном.

Таким образом, в сопротивлении материалов при составлении расчетных схем действительные внешние нагрузки заменяются идеализированными силами, которые с определенной точностью воспроизводят действительное нагружение конструкции.

 

 

ДЕФОРМАЦИИ И НАПРЯЖЕНИЯ

 

В СМ вводятся важнейшие понятия, характеризующие внутреннее состояние нагруженного твердого тела – это напряжение и деформация. В теоретической механике (статике) изучается равновесие абсолютно твердого тела; этого представления о материале достаточно для решения поставленной в статике задачи – определение условий, при которых возможно взаимное уравновешивание приложенных к телу сил. В СМ представление о нагруженном теле, как абсолютно твердом уже не годится, мы должны учесть, что абсолютно твердых тел в природе не существует.

Как отдельные элементы конструкции, так и вся конструкция в целом при действии внешних сил в большей или меньшей степени изменяют свои размеры и форму и в результате могут разрушиться. Изменения размеров и формы носит общее название – деформация. В простейшем случае понятие напряжений и деформаций можно ввести на примере растяжения (сжатия) прямолинейного стержня.

Если стержень начальной длины подвергнуть действию продольной растягивающей (или сжимающей) силы , то длина стержня увеличится (или уменьшится) на величину . Величина называется абсолютным удлинением (укорочением), или общо абсолютная продольная деформация.

Величина отношения

называется относительным удлинением (укорочением) или линейной относительной продольной деформацией. В случае - это удлинение, а в случае - укорочение. Величина имеет размерность длины. Относительная деформация - безразмерна.

Таким образом, абсолютная деформация характеризует изменение размера (в данном случае продольного) объекта в целом, выраженной в единицах длины и зависит от линейных размеров. Относительная же деформация представляет степень деформированности объекта, как бы локально (т.е. каждого элемента длины). Например, если растягивать одинаковой силой стержни длины и , то абсолютные деформации будут отличаться в два раза, а относительные деформации одинаковы.

При действии продольной силы появляется относительная деформация , которая называется продольной и обозначается . Экспериментально показано, что наряду с продольной деформацией происходит изменение поперечных размеров образца. Соответствующая деформация называется поперечной.

- абсолютное сужение (или расширение).

- относительная поперечная деформация.

Выполняются следующие условия если то и если то .

Для каждого материала между продольной и поперечной деформацией существует зависимость

, определяется экспериментально, называется коэффициентом Пуассона или коэффициентом поперечной деформации.

.

При деформации растяжения (сжатия) прямолинейного стержня расстояния между частицами этого тела меняются. Это приводит к появлению внутренних напряжений.

В данном простом случае напряжения, которые действуют в любом из поперечных сечений, определяются по формуле . Величина называется нормальным напряжением в поперечном сечении стержня площади и представляет собой интенсивность силового воздействия, передаваемого от одной части стержня к другой через единицу площади в нормальном направлении к сечению. Размерность напряжения .

 

ЛЕКЦИЯ №2

 

ОСНОВНЫЕ ГИПОТЕЗЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИВЛОВ

 

При изучении реальных объектов СМ опирается на ряд предпосылок (гипотез), упрощающих расчеты. Как показывают экспериментальные исследования, а также расчеты, проведенные более строгими методами теории упругости, принимаемые гипотезы могут быть использованы при решении большинства задач сопротивления материалов. В тех же случаях, когда та или иная гипотеза приводит к неверным результатам, специально оговаривается приемлемость или неприемлемость соответствующих предположений. В сопротивлении материалов принимаются следующие гипотезы.

1. Гипотеза сплошности состоит в том, что реальное деформируемое твердое тело сплошь (без пустот) заполняет своими материальными точками ту часть пространства, которая находится в пределах границы данного тела. С методологической точки зрения эта гипотеза имеет важнейшее значение в механике. Это начальный и значительный шаг к применению элементов математики. Дело в том, что любое изучение всевозможных объектов, явлений, процессов реального мира, так или иначе, сводится к установлению взаимосвязей между определяющими (существенными) понятиями (выраженными в виде различных параметров или переменных) и более или менее точному описанию этих взаимосвязей. В математике постепенно сложилось и разрабатывалось понятие функции как ответ на чаяния практики. Но к функциям предъявляется ряд специфических требований, и одно из важнейших – это непрерывность. В двух словах независимая переменная должна непрерывно (без скачков) переходить от одного значению к другому в области определения и в ответ зависимая переменная плавно (без скачков) изменяет свои значения в области изменения функции. Именно по этой причине необходимо перейти от реальной атомарной структуры сред (в нашем случае твердого тела) к абстрактной идеальной непрерывной среде (континууму), приспособленной к математическому описанию.

2. Гипотеза однородности. Во-первых, не принимаются в учет инородные включения, которые всегда присутствуют в объеме материала (например, частицы шлака в металле). Это естественно отражается на свойствах материала в окрестности включений. Вторая содержательная часть гипотезы однородности состоит том, что реальное тело с его сложной микроструктурой, которую определяют расположение атомов в кристаллических решетках, взаимное расположение микрокристаллических образований, объединяющихся в зерна, и т.д. заменяются средой, не имеющей структуры. Свойства этой среды как бы равномерно распределены в пределах любого малого объема. Конечно, механические свойства материала на уровне взаимодействия двух соседних атомов, молекул, кристаллов, зерен или в пределах инородного включения различны, но как это учесть? С другой стороны, механические свойства материалов изучаются экспериментально на образцах, размеры которых превышают размеры микроструктуры и в объеме содержатся инородные включения в определенной концентрации. Таким образом, прочностные и жесткостные (т.е. деформационные) характеристики материала по факту приобретают усредненный статистический смысл. Этим и обусловлена необходимость и логичность принятия данной гипотезы.