Геометрические характеристики плоских сечений 2 страница

3. Гипотеза изотропности материала. Если механические свойства образца цилиндрической формы (например, при испытании на растяжение или сжатие), вырезанного из массива материала (например, из отливки или деревянной чурки), не зависят от его ориентации, материал называется изотропным (приставка изо означает постоянство, а тропия – свойство). То есть свойства материала одинаковы во всех направлениях. Если же механические свойства зависят от ориентации образца – материал является анизотропным (частица ани синоним частице не). Стали, чугуны, кирпич, неармированный бетон, стекло относятся к изотропным, а древесина, композитные материалы (например, автомобильная шина), армированный бетон к анизотропным материалам. Естественно математически проще описать и затем учитывать в расчетах свойства изотропного материала. В сопротивлении материалов в основном рассматриваются изотропные материалы.

4. Свойство идеальной упругости материала предполагает способность полностью восстанавливать первоначальную форму и размеры после устранения причин, вызвавших его деформацию. Это свойство справедливо лишь на определенной начальной стадии нагружения объекта (при напряжениях, не превышающих величины предела упругости материала). Кроме упругой деформации материалы (точнее изделия из них) способны получать и пластическую деформацию в той или иной степени. Упругая деформация обратима, а пластическая необратима (т.е. первая исчезает, а вторая остается после разгрузки). В процессе определения напряженно-деформированного состояния нагруженных объектов необходимо знать зависимость между напряжениями и деформациями для материала. Она устанавливается экспериментально первоначально в виде диаграммы (графика) и задача состоит в аналитическом описании этой зависимости с помощью некоторой функции. Если наряду с упругой деформацией появляется и пластическая, то зависимость не является взаимно однозначной (одному значению напряжения соответствует некоторое множество значений деформации) что делает невозможным подбор простой функции . Кроме того, конструкции, машины, механизмы и их элементы в процессе нагружения (т.е. эксплуатации) не должны получать пластическую (необратимую) деформацию. Отсюда важность и обоснованность принимаемой гипотезы.

5. Деформации материала конструкции в каждой его точке прямо пропорциональны напряжениям в этой точке. На эту особенность твердых тел впервые обратил внимание англичанин Роберт Гук в ходе проводимых экспериментов. На начальной стадии нагружения (до напряжения предела пропорциональности материала, который чуть меньше предела упругости) деформация растет почти пропорционально напряжению, то есть начальный участок диаграммы мало отличается от прямой линии. Слово почти опускается и зависимость между напряжением и деформацией принимается как линейная (пропорциональная) - что может быть проще линейной функции? Эта зависимость носит название закона Гука.

6. Гипотеза малости деформаций. Деформации сооружения предполагаются настолько малыми, что можно не учитывать их влияние на характер действия нагрузок. Деформацию бруса можно не учитывать, если . То есть силу считаем поперечной, а силу продольной и в деформированном состоянии бруса.

7. Принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции).

Результат воздействия на объект системы нагрузок равен сумме результатов воздействия каждой нагрузки в отдельности. Например, если нужно определить поперечное перемещение концевого сечения балки под действием указанных сил, то можно определить это перемещение от действия каждой из нагрузок в отдельности и все результаты сложить. Сущность принципа независимости действия сил в приведенном примере состоит в том что

.

Этот принцип является прямым следствием гипотезы двух предыдущих гипотез.

8. Принцип Сен-Венана. В 1855 году французский ученый Сен-Венан опубликовал свой знаменитый принцип: «Способ приложения и распределения сил по концам призмы безразличен для эффектов, вызванных на отдаленных частях по длине, так что всегда возможно с достаточной степенью приближения заменить силы, которые были приложены, статически эквивалентными силами, имеющими тот же полный момент и ту же равнодействующую».

В данном случае принцип Сен-Венани означает, что если нас интересуют прогибы и удлинение балки в целом, нам нет необходимости детально анализировать реальную ситуацию изображенную на схеме а) при расчетах достаточно исходить из упрощенной схемы б), которая носит совершенно условный характер, поскольку ни сосредоточенных сил, ни сосредоточенных моментов реально не существует.

 

ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ

Все реальные твердые тела состоят из атомов. Атомы связаны между собой межатомными силами. Наличие этих сил определяет способность твердого тела воспринимать действующие на него внешние силы, сопротивляться разрушению, изменению формы и размеров. В недеформированном (не нагруженном) теле расположение атомов соответствует состоянию теплового равновесия, и никакие силы не действуют. Под действием внешних сил расположение атомов в теле меняется, т.е. тело деформируется, в результате чего возникают внутренние силы, стремящиеся сохранить исходные расстояния между атомами. Но определять внутренние силы как силы взаимодействия между всевозможными парами микрочастиц не представляется возможным. Таким образом, под внутренними силами (внутренними усилиями) в сопротивлении материалов понимаются силы взаимодействия между отдельными элементами сооружения или между отдельными частями элемента, возникающие под действием внешних сил.

Рассмотрим твердое тело, на которое действует система внешних сил. Причем тело находится в положении равновесия. Мысленно рассечем тело плоскостью . След этой плоскости в сечении тела есть плоская фигура . В результате мы получаем две части одного тела.

Эти две части находятся между собой в силовом взаимодействии. Со стороны части II на часть I передаются усилия через плоскость сечения и эти усилия являются по отношению к I части внешними силами, а для всего тела они являются внутренними силами. Причем следует отметить, что указанные силы будут равны по величине и противоположны по направлению (на основании третьего закона Ньютона) силам воздействия I части на II часть тела.

 

В общем случае взаимодействие между частями тела может быть представлено некоторой распределенной по площади сечения силой . Неизбежно возникает вопрос как ее определить? Тут же должен встать вопрос – а что мы для этого реально имеем? На данном этапе, кроме того, что нагруженный объект находится в положении равновесия – ничего. Распределенную силу в сечении можно считать как реакцию отброшенной части II на оставшуюся часть I. Следовательно, для определения силы в сечении можно использовать условия равновесия части I. Всего можно записать шесть уравнений равновесия, а распределенная сила представляет бесконечную систему сил. То есть в такой постановке задача не разрешима.

Однако распределенная сила обладает определенной равнодействующей силой , которая приложена в некоторой точке плоскости сечения и имеет определенную величину и направление. Эту равнодействующую параллельным переносом можно привести к характерной точке сечения – к центру тяжести . При параллельном переносе силы, чтобы ее действие на объект оставалось эквивалентным необходимо ввести еще и момент равный произведению этой силы на перенесенное расстояние.

Таким образом, распределенная сила в рассматриваемом сечении может быть заменена статически эквивалентной системой из векторов и , приложенными в точке центра тяжести сечения . Сила называется главным вектором, а момент - главным моментом системы внутренних сил, действующих в рассматриваемом сечении . Если провести некоторое другое сечение, проходящее через точку , то будет другой и система внутренних сил вместе с главным вектором и главным моментом.

Векторы и могут быть разложены на составляющие в выбранной системе координат. В большинстве случаев внутренние силы определяются в поперечных сечениях бруса. Точка в этом случае будет лежать на оси бруса (совпадает с центром тяжести поперечного сечения). Далее с поперечным сечением связываем систему координат таким образом, чтобы одна из осей (ось ) была направлена перпендикулярно поперечному сечению, две другие оси ( и ) лежат в плоскости сечения. Начало системы координат лежит в точке . Проекцию главного вектора на ось обозначим, как и назовем продольной силой (сила, действующая вдоль оси бруса). Проекции вектора на ось и обозначаем через и , которые назовем поперечной силой соответственно в направлении оси и оси .

Аналогично раскладывается на составляющие главный момент . Его проекция на ось представляет момент относительно этой оси и называется крутящим моментом . Проекции главного момента по направлению осей и называются изгибающими моментами и соответственно относительно оси и оси .

Таким образом, в самом общем случае нагружения элемента сооружения в виде бруса произвольной системой сил взаимодействие любых двух его частей в выбранном сечении характеризуется шестью величинами – тремя составляющими главного вектора и тремя составляющими главного момента внутренних сил. Для поперечного сечения эти шесть величин называются внутренними силовыми факторами или внутренними усилиями.

 

МЕТОД СЕЧЕНИЯ

При определении внутренних силовых факторов используется прием, называемый методом сечения. Суть метода состоит в следующем. Поскольку по предположению рассматриваемое тело (брус) находится в равновесии, то в равновесии находится и любая его составная часть. На этом основании для каждой части тела, полученной при «рассечении» его плоскостью (например, плоскость ) должны выполняться условия (уравнения) равновесия твердого тела, известные из курса теоретической механики. При составлении уравнений равновесия необходимо учитывать не только внешние силы, но внутренние усилия, действующие на рассматриваемую часть тела, т.к. эти усилия по отношению к ней являются внешними силами. В общем случае пространственного нагружения для рассматриваемой части может быть составлено шесть уравнений равновесия, в которые войдут шесть внутренних силовых факторов. Таким образом, для определения всех внутренних силовых факторов, возникающих в рассматриваемом сечении достаточно уравнений равновесия рассматриваемой части. Причем следует помнить, что при определении внутренних сил можно рассматривать равновесие любой части тела, полученных рассечением тела, какой-либо плоскостью.

Напомним смысл условий равновесия. Нагруженное твердое тело (брус или какая либо часть от сечения) будет находиться в равновесии, только при выполнении следующих условий. Суммы проекций всех сил на оси должны обращаться в ноль. Это можно записать с помощью трех уравнений:

1. ,

2. ,

3. .

При выполнении этих уравнений объект не перемещается поступательно (или перемещается с постоянной скоростью) в направлении осей и . Кроме перемещений нужно исключить еще и повороты объекта относительно (вокруг) осей координат. Это достигается выполнением еще трех уравнений равновесия:

4. ,

5. ,

6. .

 

ПОНЯТИЕ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ

Одним из важных и ответственных этапов решения задач сопротивления материалов является этап определения внутренних силовых факторов в поперечных сечениях по заданным внешним нагрузкам. Причем, как правило, внутренние силы необходимо знать не в одном каком то определенном сечении. Для того чтобы знать величины внутренних силовых факторов в любом из поперечных сечений бруса строят так называемые эпюры силовых факторов. Эпюра представляет график изменения того или иного силового фактора по длине бруса. Таким образом, имея эпюры, по ним можно узнать величину и знак силовых факторов в любом из интересующих нас поперечных сечений.

Рассмотрим пример построения эпюр для стержня.

 

т; т;

т/м;

м.

 

(символом обозначается внешняя продольная сила).

 

 

Мы имеем дело с брусом подверженным действию продольных сил (стержень). В любом поперечном сечении у стержня из шести возможных внутренних силовых факторов ненулевой будет только продольная сила . Таким образом, нам требуется построить эпюру продольной силы . Как правило, первым шагом при построении эпюр является определение реакций опор. Они определяются из условия равновесия всего стержня. Но в некоторых случаях реакции опор можно не определять, если по одну сторону от рассматриваемого сечения все внешние силы известны.

На втором шаге стержень разбивают на участки. Важно понять для чего и как это делается. В реальном мире процессы протекают плавно и непрерывно - можно лишь обсуждать скорости протекания этих процессов. Поэтому в математике изначально сформировалось понятие непрерывной функции (одна величина плавно и непрерывно изменяется с непрерывным изменением других величин). Однако при моделировании реальных физических процессов часто приходится прибегать к тем или иным упрощениям. Так при описании внешнего воздействия на элемент конструкции (стержень, балка, и т.д.) вместо реальной распределенной по площади поверхности нагрузки в целях упрощения вводятся идеализированные объекты. Используются сосредоточенная сила, распределенная вдоль некоторой линии сила (например, собственный вес бруса учитывается как сила, распределенная по продольной оси), сосредоточенный момент, которых в природе просто нет. Внутренние силовые факторы, «приписанные» к поперечным сечениям бруса, тоже определенным образом «реагируют» при переходе от сечения к сечению в «аномальных» зонах. А именно сосредоточенная внешняя сила и момент вызывают скачкообразное изменение соответствующих внутренних сил и моментов в этих сечениях. Кроме того, скачкообразное изменение внешней распределенной нагрузки приводит к скачкообразному изменению производной от функций внутренних сил в соответствующих сечениях, что выражается в «изломе» линии графика (т.е. эпюры).

Чтобы иметь дело с непрерывными функциями внутренних силовых факторов в смысле их определения и последующего построения графиков, брус необходимо подразделить на участки. Границами участков являются, во-первых, крайние сечения, и, во-вторых, сечения, где приложены сосредоточенные внешние факторы (сила, момент) или интенсивность распределенной нагрузки меняется скачком.

В нашем примере стержень имеет два участка. Рассмотрим первый участок. Возьмем на этом участке любое (произвольное) поперечное сечение. Зафиксируем его координатой . Удобнее на каждом участке вводить свою локальную систему координат с началом отсчета в крайнем сечении участка. Наша задача - записать выражение для продольной силы в этом сечении. Для этого можно рассмотреть равновесие верхней или нижней части. Мы рассмотрим равновесие верхней части от рассматриваемого сечения (там, где все внешние силы известны и их меньше). На первых порах желательно отдельно изобразить рассматриваемую часть отдельно со всеми внешними силами. Вместо «отброшенной» другой части нужно ввести реакцию, которая является, по сути, искомой силой в данном сечении. Сила считается положительной, если оно соответствует растяжению стержня. Знак получается автоматически, если её направить от сечения к рассматриваемой части. Теперь записываем уравнение равновесия для рассматриваемой (в данном случае верней) части стержня. Поскольку все силы действуют только в направлении продольной оси (т.е. в направлении оси , то нужно записать только одно уравнение равновесия:

 

.

Откуда выражаем функцию внутренней продольной силы в пределах первого участка

 

, где .

Как видно это линейная функция от координаты сечения и для построения прямой на графике находим значения этой функции в крайних сечениях участка:

 

т; т.

 

Далее возьмем произвольное сечение на втором участке. Поскольку реакция не определена (для этого нужно записать уравнение равновесия всего стержня), то рассматривается опять верхняя от сечения часть. Зафиксируем его координатой от начала второго участка. Каждый раз непосредственно записывать уравнения равновесия рассматриваемой части нет необходимости. В правую часть получаемой функции нужно включить все действующие на рассматриваемую часть силы с соответствующими знаками. Если сила старается, как бы оторвать друг от друга две части стержня в данном сечении, то эта сила берется со знаком плюс (т.е. она вызывает растяжение рассматриваемого участка).

т для .

Это постоянная функция и на графике представляется параллельной оси прямой. Теперь строим графики полученных функций на участках, в результате чего получаем эпюру продольного усилия для всего стержня.

Как видно на стыке участков имеется скачек внутренней силы на величину внешней сосредоточенной силы . То есть можно говорить о значении внутренней силы при приближении к сечению с одной и с другой стороны, но в самом сечении, где приложена внешняя сосредоточенная сила, внутренняя сила не определена. Кроме того, вследствие скачкообразного изменения интенсивности внешней нагрузки на эпюре наблюдается излом линии графика в этом сечении, поскольку изменяется тип функции при переходе с одного участка на другой.

 

 

ЛЕКЦИЯ 3

ИЗГИБ БАЛОК. ДИФФЕРЕНЦИАНАЛЬНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ПРИ ИЗГИБЕ БАЛОК

 

I. Понятие о деформации изгиба.

 

При центральном растяжении или сжатии, а также при кручении прямых брусьев, их оси, первоначально прямые, остаются прямыми и при деформации. В отличие от этих типов деформации изгиб представляет собой такую деформацию, при которой происходит искривление осей прямых брусьев или изменение кривизны осей кривых брусьев. При изгибе брусьев часть волокон параллельных оси бруса укорачивается, а другая часть волокон удлиняется. Поверхность, разделяющая эти части называется нейтральным слоем и характеризуется тем, что, не изменяя длины, изгибается.

Изгиб связан с возникновением в поперечных сечениях бруса изгибающих моментов. Изгибающий момент является одним из внутренних силовых факторов.

 

Пусть внешние силы лежат в плоскости, которая содержит продольную ось бруса. Кроме того, силы действуют в направлении перпендикулярном оси бруса. Причем плоскость П проходит через Х и Z. Тогда внешние силы в каждом поперечном сечении вызовут изгибающий момент относительно оси Y , лежащей в поперечном сечении и проходящей через центр тяжести.

 

Момент относительно оси Y работает в плоскости XOZ, которая является перпендикулярной поперечному сечению. Кроме изгибающего момента в поперечном сечении присутствует и поперечная сила .

 

Типы опирания балок

Балки являются часто встречающимися элементами сооружений и машин. Они принимают давление от одних элементов конструкции и передают их тем частям, которые поддерживают балки. Кроме активных внешних сил необходимо знать и реактивные силы (реакции опор). Но прежде чем вычислить реакции опор необходимо представлять устройство опор для балок. Существуют три типа опор:

а) шарнирно-неподвижная опора;

б) шарнирно-подвижная опора;

в) защемление.

Шарнирно-неподвижная опора схематично изображена на рисунке в точке А. Она позволяет опорному сечению балки свободно поворачиваться вокруг шарнира. Однако этот тип опоры не допускает поступательного перемещения опорного сечения балки. Сопротивление поступательному перемещению выражается реакцией, которая передается от опоры через шарнир на балку. Реакция лежит в плоскости действия внешних сил. В случае шарнирно-неподвижной опоры известны только точка приложения реакции, но не известны ни величина реакции, ни её направление. Обычно реакция R раскладывается на составляющие и . Таким образом шарнирно-неподвижная реакция дает две неизвестные по величине реакции.

Шарнирно-подвижная опора помимо поворота вокруг шарнира допускает также свободное поступательное перемещение в одном из направлений. Такая опора препятствует лишь перемещению в направлении перпендикулярном направлению незапрещенного перемещения. Шарнирно - подвижная опора дает лишь одну неизвестную реакцию .