Тогда 
.
На каждой площадке вектор полного напряжения характеризуется тремя составляющими – одна нормальная и две касательные.
На площадках с нормалями 
действуют векторы полного напряжения 
Если принять размеры параллелепипеда бесконечномалыми 
, то на площадках параллельных рассмотренным будут действовать такие же напряжения противоположного направления.
СТРОЕНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Науке известно четыре агрегатных состояния тел - твердое, жидкое, газообразное, и плазменное. В сопротивлении материалов изучают твердое тело. Неоценимым свойством твердых тел является их способность сохранять неизменной (в определенных пределах) свою форму, либо изменить ее в незначительной степени, при воздействии на них внешних усилий. В свою очередь твердые тела подразделяются на аморфные и кристаллические.
Аморфные тела занимают промежуточное положение между кристаллическими твердыми телами и жидкостями. При длительном действии нагрузок на аморфные тела они текут подобно жидкостям, но при этом обладают большой вязкостью. Характерным и типичным примером аморфных тел может служить битум, смола и их производные.
Кристаллические тела характеризуются упорядоченностью расположения атомов. Обычно при первом знакомстве со строением кристаллических тел вводится модель идеального кристаллического тела. Строение идеальных кристаллических тел отличается строгой упорядоченностью расположения атомов. Атомы, занимая строго определенные положения в объеме тела, образуют кристаллическую решетку. Простейшую кристаллическую решетку можно представить в виде куба с атомами в вершинах. Из этих элементарных ячеек (кирпичиков) строится кристаллическая структура.
Необходимо отметить, что для каждого вещества характерна своя структура кристаллической решетки.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И РЕАЛЬНАЯ ПРОЧНОСТЬ
Своей относительно высокой прочностью твердые тела обязаны кристаллическому строению. Именно в кристалле атомы связаны между собой сильнее, чем в других состояниях (газообразном, жидком, и плазменном). Отчего же зависит прочность тел? Естественно, что поскольку тела состоят из атомов, прочность тела зависит от силы связей между атомами.
Возьмем два абстрактных атома вещества. Мы знаем, что эти два атома будут между собой взаимодействовать. Природа этого взаимодействия нас не интересует. Нам гораздо более важен факт, что сила взаимодействия между двумя отдельно взятыми атомами зависит от взаимного расположения их.
Итак, атом 1 действует на атом 
с силой 
. В свою очередь атом 
будет испытывать на себе действие атома с той же силой. Сила взаимодействия между этими атомами будет, прежде всего, зависеть от расстояния 
между ними. Зависимость силы от можно представить графически.
В точке 
находится атом , а в точке 
находится атом . На графике ясно видно, что при изменении расстояния меняется величина силы . Но не только величина. Если наши атомы предоставлены самим себе, то они занимают вполне определенное положение (расстояние между ними 
).
В нормальном состоянии силы взаимодействия между атомами равны нулю. Изменения расстояния 
мы тем сам провоцируем появление силы , препятствующей сближению атомов. Теоретически сила отталкивания 
.
Если же постараться увеличить расстояние, т.е. 
, то тут же возникает сила препятствующая этому (появляется сила притяжения). При определенном положении атомов 
сила достигает 
, после чего атомы сравнительно легко удаляются друг от друга. Тем самым нарушается связь между ними.
Реальное тело состоит из бесконечного множества атомов. Так, если тело разрушится по какой-то плоскости, это значит, что одновременно нарушаются связи атомов расположенных по обе стороны от плоскости.
Теоретические расчеты показывают, чтобы разрушить тело с идеальной кристаллической структурой, необходимо приложить напряжения, которые в 100 и даже в1000 раз превышают прочность реальных тел.
Теоретическая прочность стали на отрыв равна 
.
В опыте мы наблюдаем прочность 
.
Теоретическая прочность на сдвиг для стали 
.
В опыте мы наблюдаем 
.
Прочность усов толщиной в несколько микрон близка к теоретической прочности. Прочность плавленых кремнеземных волокон оказалось равной 
.
Для химически чистого железа 
.
Для графитных плит 
.
Сталь высших сортов 
.
Известен и экспонат одного из музеев – перчатка из паутины. Один безумный немецкий физик в попытке химически воспроизвести нить паука с тем, чтобы соткать из нее пуленепробиваемые жилеты для солдат, уничтожил эту перчатку.
Оценка одного из американского журнала нового материала на основе графитовых нитей тоньше человеческого волоса. В авиации замена алюминиевых деталей композитными облегчит на 15% конструкцию и позволит военному реактивному самолету увеличить на 10% дальность полета или усилить на 30% свое вооружение при одной и той же заправке горючим.
Чем объясняется расхождение между тем, что мы имеем и тем, что в принципе возможно?
Дело в том, что теоретическая прочность подсчитывалась из предположения идеальности строения тел. Между тем реальные тела имеют большое число дефектов кристаллической решетки. Это включения, вакансии, замещения и дислокации.
И еще один очень важный момент. Для большинства материалов мы наблюдаем пластическую деформацию, в то время как рассмотренный ранее механизм не дает для этого никаких оснований. Наличие и сам механизм пластической деформации могут быть объяснены только дефектами кристаллической решетки – дислокациями.
ДИАГРАММА 
И ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕРИАЛОВ
Растяжение. При лабораторных испытаниях на растяжение и сжатие материалов самописец вычерчивает диаграмму зависимости между приложенной к образцу силой 
и абсолютной деформацией 
образца. В данной диаграмме (графике 
) отражены не только свойства материала, но размеры испытуемого образца. Так для образцов с одинаковым сечением, но с разными длинами диаграммы будут иметь разный масштаб в направлении 
. Нужно перейти от внешних общих показателей 
и к показателям внутреннего состояния образца.
Вводим величину условного напряжения 
, где 
- площадь поперечного сечения испытуемого образца до нагружения. И величину относительной деформации 
.
На основании диаграммы 
получим диаграмму 
простым изменением масштаба в направлении осей. Так, как мы не учитываем изменение площади сечения в процессе нагружения образца, то полученная диаграмма дает правильное представление о зависимости между 
и 
лишь на участке деформирования, которое сопровождается малым изменением площади поперечного сечения образца.
В процессе нагружения образца из пластичного материала находится наиболее слабое сечение, где с определенного момента начинает, более интенсивно расти деформация. Это приводит к уменьшению размеров поперечного сечения в слабом месте и образованию шейки.
Следовательно, в момент разрыва напряжение в шейке равно:
и эта величина называется истинным сопротивлением разрыву.
К основным механическим характеристикам относятся:
- предел пропорциональности, т.е. напряжение до которого сохраняется пропорциональность между напряжением и деформацией. В интервале 
наблюдается пропорциональная зависимость между напряжением 
и относительной деформацией 
. И это выражается законом Гука 
. Коэффициент пропорциональности 
это упругая константа материала, которая называется модулем упругости или модулем Юнга. Он характеризует жескостные свойства материала (чем больше Е, тем меньше деформация при одном и том же напряжении).
- предел упругости, т.е. напряжение при котором еще не появляется пластическая деформация.
- предел текучести, т.е. напряжение при котором деформация растет без заметного увеличения напряжения.
- предел прочности при растяжении (условный) представляет собой отношение наибольшей силы, которую выдерживает образец, к первоначальной площади поперечного сечения.
При нагружении материала за предел упругости и последующей разгрузке деформация полностью не исчезнет. Следовательно, деформацию следует разбить на две части – деформацию упругую и деформацию пластическую.
Степень пластичности материала характеризуется величинами относительного остаточного удлинения образца 
и относительного остаточного сужения шейки.
Пример для стали3 
.
Кроме приведенных механических характеристик материалов большую роль играет модуль упругости 
и коэффициент Пуассона 
.
ЛЕКЦИЯ №6
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ СТЕРЖНЕЙ
Прямолинейные брусья, нагруженные силами, которые приводятся к продольной оси, называются стержнями.
В силу характера нагружения в поперечных сечениях стержней из шести возможных внутренних силовых факторов нулевой один – внутренняя продольная сила 
. Представление о характере деформирования стержней можно получить из опытов. В достаточном удалении от нагруженных концов стержня плоские сечения до деформации остаются плоскими и в результате нагружения. Депланация (искривление) сечений наблюдается в непосредственной близости от места приложения нагрузок. Но стоит отойти 
от точек приложения на расстояния сравнимые с поперечными размерами стерня как депланация практически исчезает. В этом заключается суть гипотезы Бернулли. Таким образом, можно считать, что в большей части достаточно длинных стержней напряженно-деформированное состояние однородным (равномерным) в пределах поперечных сечений.
Это значит, что расстояние между точками соседних сечений поперечных сечений изменяются одинаково. Поэтому и продольная деформация по всему сечению будет одинакова. Т.к. напряжение зависит от деформации, то и оно по сечению не изменяется.
Т.к. 
формула для определения нормальных напряжений в поперечных сечениях стержней.
ПРОДОЛЬНАЯ И ПОПЕРЕЧНАЯ ДЕФОРМАЦИИ
- абсолютная продольная деформация
- абсолютная поперечная деформация
- относительная продольная деформация
- относительная поперечная деформация
Связь между продольной и поперечной деформациями:
- коэффициент Пуассона
НАПРЯЖЕНИЯ В НАКЛОННЫХ СЕЧЕНИЯХ СТЕРЖНЯ
Напряжения в поперечных сечениях стержня с помощью гипотезы плоских сечений удалось установить достаточно просто. Это формула нормального напряжения 
, а касательное напряжение 
. Теперь возникает вопрос. А что происходит во всевозможных наклонных сечениях, проходящих через одну точку с поперечным сечением? То есть, какие напряжения действуют в наклонных сечениях стержня?
Для этого рассмотрим стержень постоянного сечения, нагруженный внешними силами в концевых сечениях. В таком случае напряженное состояние в стержне будет однородным. А именно, в сечениях одинаковой ориентации, но проходящих через разные точки на продольной оси, распределение напряжений (характер действия) будет одинаковым. Сказанное позволяет, например, считать, что сечения 
и 
проходят через одну точку.
Поперечное и наклонное сечения выделяют из стержня элемент 
. Действие «отброшенных» частей в поперечном сечении заменяется напряжением , а в наклонном сечении нормальным напряжением 
и касательным 
. Причем и , так же как и предполагаются равномерно распределенными по сечению.
Далее пусть площадь поперечного сечения равна 
. Тогда площадь наклонного сечения 
. Запишем условия равновесия выделенного элемента 
. Так как имеем плоскую систему сходящихся в одной точке сил, то:
После подстановки и сокращения на получаем систему двух уравнений относительно и :
или 
Решением является
(1)
(2)
Полученные формулы (1) и (2) следует понимать так: если известны напряжения (собственно только ) в поперечном сечении стержня, то напряжения (это и ) в любом наклонном сечении, проходящего через ту же точку на продольной оси, можно вычислить. Вот почему из множества сечений бруса можно рассматривать (в плане определения напряжений) только одно – а именно поперечное сечение.
Теперь следует проанализировать изменение напряжений и при переходе от сечения к сечению (т. е. с изменением угла 
). Из 
(т. к. 
при 
), то есть нормальные напряжения достигают максимума в поперечных сечениях. Так как 
, при 
. Касательное напряжение в поперечных сечениях отсутствует.
При 
В продольных сечениях стержня при его растяжении или сжатии напряжения не возникают.
Определим 
и сечение где оно действует. Решаем задачу экстремума для функции (2):
. Главные значения 
На площадках под углом 
к оси стержня действуют максимальные касательные напряжения.
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ
В результате деформации стержня под действием приложенных к нему внешних сил происходит смещение поперечных сечений друг относительно друга.
В стержне до нагружения возьмем два бесконечно близкие поперечные сечения и . Их исходные координаты 
и 
. Согласно гипотезе плоских сечений поперечные сечения в процессе нагружения стержня остаются плоскими и параллельными друг другу. Они лишь перемешаются относительно исходного положения в направлении продольной оси (оси 
). Такое перемещение принято обозначать символом 
(таким образом () - продольное перемещение сечения с координатой ). Перемещение бесконечно близкого сечения равно 
. Если (
) перемещение сечения является следствием деформации фрагмента стержня длиною , то перемещение сечения результат деформации фрагмента длиною .
Определим деформацию элемента стерня . Его исходная длина до приложения внешних сил 
. После приложения внешних сил 
. Или 
.
Тогда абсолютная деформация этого элемента 
.
Относительная деформация элемента 
. То есть относительная продольная деформация стержня в сечении с координатой равна скорости изменения (производной) функции продольного перемещения сечения. Откуда 
, и тогда
.
Для новичка последняя формула может показаться страшной, но в ней заключен простой смысл: продольное перемещение произвольного поперечного сечения стержня определяется деформацией участка стержня справа от сечения. Константа 
учитывает возможное перемещения стержня как жесткого тела и определяется из условия, что 
. Если в сечении 
стержень закреплен, то 
.
Поскольку 
(вспомним диаграмму 
), то
