.
Если материал подчиняется линейному закону Гука (т. е. стержень нагружается до напряжения предела пропорциональности 
), то 
и
.
Если на участке стержня 
, то
.
Относительное смещение 
концов стержня 
и 
равно 
.
А учитывая что 
, получаем 
.
Это самая общая формула вычисления абсолютной продольной деформации стержня. Если по длине стержня 
и 
, то есть стержень постоянного сечения нагружен внешними силами только в концевых сечениях, то
.
- жесткость сечения стержня на растяжение или сжатие.
Две последние формулы представляют развернутую запись закона Гука для стержня.
ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ СТЕРЖЯ
Пусть материал стержня подчиняется линейному закону Гука. Во всяком случае, будем считать, что нагружение производится до той стадии, когда еще не нарушается линейная зависимость 
.
При нагружении стержня, в результате его упругой деформации происходит накопление потенциальной энергии. Это та энергия, которая при разгрузке высвобождается и может совершить работу (подобно растянутой или сжатой пружине).
Если не брать в учет рассеяние энергии в виде выделения тепла и электромагнитного излучения, то энергия деформации 
будет численно равна работе внешних 
сил согласно закону сохранения энергии. Вычислим работу внешней силы 
, которая приложена к стержню длиной 
и поперечного сечения 
.
Если к стержню приложить центральную силу, постепенно возрастающую от нуля до некоторого значения , то стержень получит деформацию (удлинение или укорочение) . Добавляя к силе бесконечно малое значение 
, деформация также получит приращение 
. Следовательно, сила 
, получает перемещение , и на этом перемещении она совершает работу
.
Пренебрегаем величиной 2-го порядка малости, по сравнению с величиной 1-го порядка малости. Тогда
Согласно закону Гука 
, и, вычисляя дифференциал, получаем
.
При изменении силы от нуля до некоторого значения она совершает работу
.
Или при учете закона Гука 
, т. е. если сила сама создает упругое перемещение точки приложения, то ее работа на этом перемещении вычисляется с коэффициентом 1/2.
Тогда согласно закону сохранения энергии 
.
Пусть стержень нагружен различными центральными силами по его длине. Таким образом, внутренняя сила 
может изменяться от сечения к сечению, т.е. 
. Вычислим деформацию энергию деформации такого стержня. Выделим в пределах стержня элемент бесконечно малой длины 
. Взамен «отброшенных» левой и правой частей введем 
в сечении с координатой 
силу 
, а в сечении с координатой 
силу 
(т. к. сечения бесконечно близкие, то и внутренняя сила в них отличается на бесконечно малую величину). В силу малости 
можно пренебречь влиянием внешней распределенной нагрузки 
на внутреннюю силу 
в пределах рассматриваемого элемента. Тогда если закрепить левое сечение элемента, а на правом сечении приложить внешнюю силу , то выходим на случай рассмотренный только что. То есть имеется стержень длины постоянного сечения 
и нагруженный на конце сосредоточенной силой . Вычислить накопленную потенциальную энергию при деформации элемента можно по формуле, полученной ранее:
.
Тогда потенциальная энергия, накопленная при деформации (нагружении) всего стержня вычисляется суммированием вкладов всех бесконечно малых элементов в пределах длины стержня, то есть интегрированием
.
Учет собственного веса стержня
Собственный вес вызывает растяжение или сжатие стержня, когда его ось расположена вертикально. Собственный вес вертикального бруса (например, вытяжной трубы ТЭЦ или вес каната подъемника в шахте) можно рассматривать как продольную внешнюю нагрузку, распределенную вдоль оси.
Интенсивность распределенной нагрузки по оси бруса в любом сечении определяется как 
, где 
- плотность (удельный вес) материала стержня. Тогда для определения величины продольной силы 
, действующей в поперечном сечении бруса , находим равнодействующую распределенной нагрузки:
.
Нормальные напряжения в поперечных сечениях бруса определяются так:
.
Для стержня постоянного поперечного сечения 
интенсивность распределенной нагрузки постоянна по длине бруса
.
Тогда 
.
И 
.
Наибольшая продольная сила и напряжение возникают в сечении при
.
Если на стержень действуют и другие внешние силы, то они учитываются обычным способом.
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ СТЕРЖНЯ
Основная задача сопротивления материалов - это дать ответ на вопрос о степени надежности деталей машин, различных конструкций и т.д. Под надежностью понимается способность элемента конструкции или всей конструкции функционировать в заданных условиях. В сопротивлении материалов основными параметрами, которые определяют функционирование различных изделий, являются напряжения и деформации. Нормальная работа изделий возможна в определенных границах изменение этих параметров. Когда обеспечивается достаточная прочность и жесткость этих объектов.
Элемент конструкции считается прочным, если под действием внешних воздействий он не разрушается. Прочность элемента, при условии что напряжения, возникающие под действием внешних сил, не превысят определенной величины, т.е. должно выполняться неравенство:
Это неравенство называется условием прочности.
Для обеспечения достаточной жесткости элемента нужно следить за тем, чтобы изменение его геометрических размеров и формы вследствие деформации не превышало заданных значений. При этом записывают неравенство, называемое условием жесткости стержня:
,
либо 
.
В первом случае ограничивается деформация стержня в целом, во втором локально.
Величины, стоящие в левых частях записанных неравенств определяются расчетным путем. Справа стоят величины допускаемых напряжений и деформаций.
Допускаемые напряжения 
устанавливают из экспериментов. Простейшие из опытов это растяжение и сжатие цилиндрических образцов из различных материалов. Так подвергая, растяжению образец из малоуглеродистой стали (сталь3) можно построить диаграмму (график зависимости) 
, характеризующую прочность и пластические свойства материала.
- предел пропорциональности (proportionality)
- предел упругости (elasticity)
- предел текучести (yield)
- временное сопротивление растяжению (ultimate)
предел прочности при растяжении
- упругая деформация (elastic)
- остаточная деформация (residual)
Аналогичные опыты проводят и с другими материалами и при других видах нагружения (сжатие, например)
Таким образом, устанавливаются опасные напряжения 
. Если, например, деталь в процессе эксплуатации не должна в деформированном состоянии выходить за режим пластической деформации, то 
Если же пластические деформации не представляют опасности, то нужно обеспечить целостность элемента. В этом случае 
.
Для хрупких материалов пределы прочности при растяжении и сжатии различны. И тогда
,
.
Опасные напряжения это еще не . Связь между ними 
,
где 
- коэффициент запаса прочности. Этот коэффициент выбирается с расчетом, чтобы был обеспечен достаточный запас прочности на тот случай, когда могут проявить себя различные неучтенные факторы, как временный всплеск нагрузок, влияние внешних условий эксплуатации. Этот коэффициент призван учитывать приближенный характер вычисляемых напряжений и разброс в определении . В связи с этим, в качестве принимаются уменьшение в раз. На практике величина колеблется в пределах от 1,7-1,8 до 8 – 10 и зависит от условий работы конструкции. Другими словами
.
- при наступлении текучести пластичного материала, как при растяжении, так и при сжатии;
- предел прочности при растяжении хрупких или пластичных материалов;
- предел прочности при сжатии упругих материалов.
Допускаемая деформация 
и 
- выбираются исходя из функционального назначения того или иного элемента.
Из удовлетворения условиям прочности и жесткости могут быть подобраны соответствующие для данного случая нагрузки, геометрические размеры или материал.
Например, известен материал, из которого изготовлен стержень 
и нагрузки. Требуется установить оптимальный размер площади сечения . Решается, например, только задача прочности:
; 
; 
.
Значение 
берется с эпюры , которая предварительно строится.
ЛЕКЦИЯ 7
РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ СТЕРЖНЕЙ. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ.
Брус с прямолинейной осью, подверженный действию внешних сил вдоль оси (и равнодействующая которых действует вдоль оси бруса и приложены в центре тяжести сечения) называется стержнем. Такой вид нагружения называется центральным растяжением или сжатием.
Рис.
В стержнях под действием продольных внешних сил в каждом из поперечных сечений возникает только один силовой фактор – внутренняя продольная сила. Как нам уже известно, эта внутренняя продольная сила определяется с помощью метода сечений. Эпюры продольных усилий мы умеем строить.
Продольные и поперечные деформации при растяжении (сжатии).
Рассмотрим прямой брус длиной 
, заделанный одним торцом и нагруженный на другом торце растягивающей силой F. Под действием силы F брус удлиняется на некоторую величину 
. Эта величина называется полным или абсолютным удлинением (абсолютная продольная деформация). Она имеет размерность длины. Отношение абсолютной деформации к первоначальной длине бруса называется относительной деформацией.
(1)
Рис.
Относительная деформация величина безразмерная. Деформация положительная, если стержень удлиняется. Отрицательная, если стержень сжимается.
Интуитивно понятно, что чем больше величина приложенной силы, тем больше деформация стержня; и чем больше площадь напряженного сечения бруса, тем деформация меньше. Стержни из различных материалов деформируются по- разному. Из опыта установлена следующая зависимость для деформации стержня:
(2)
где N - внутренняя продольная сила; F - площадь поперечного сечения; E - коэффициент, зависящий от физических свойств материала. Так как
(3)
получаем 
(4)
или
(5)
Формула (5) представляет математическую запись закона Гука. Впервые этот закон был сформулирован в 1660г. Р.Туком. E - модуль упругости материала. Он представляет коэффициент пропорциональности между напряжением и деформацией. Это физическая постоянная материала, характеризующая его способность сопротивляться упругому деформированию, или короче, характеризующая жесткость материала.
Величина EF называется жесткостью сечения при растяжении и сжатии.
Абсолютное удлинение можно записать:
(6)
это развернутая запись закона Гука.
При действии на стержень продольной силы появляется не только продольная деформация (деформация вдоль линии действия силы), также наблюдается и поперечная деформация, т.е. деформация в направлении перпендикулярном линии действия силы. При растяжении стержня поперечный размер уменьшается, при сжатии увеличивается.
Рис.
- абсолютная поперечная деформация;
(7)
- относительная поперечная деформация.
Как явствует из опыта относительная поперечная деформация прямо пропорциональна продольной деформации, но с обратным знаком
(8)
коэффициент 
зависит от материала: он называется коэффициентом поперечной деформации или коэффициентом Пуассона
(9)
Коэффициент Пуассона и модуль упругости E характеризуют упругие свойства материала: 
Напряжения в сечениях стержня
В стержне нагруженном осевой продольной силой, в поперечных сечениях напряжение определяется по формуле 
.
Рис.
В сечениях расположенных под некоторым углом к оси стержня, напряжения будут отличные от 
.
Рис.
Как мы выяснили ранее в сечении с нормалью 
действует полное напряжение 
, которое можно представить в виде суммы нормального 
и касательного 
.
Рассмотрим элемент малой длины l. Он находится в равновесии под действием напряжений , и .
Если F площадь сечения mn, то площадь наклонного сечения pq
(10)
Запишем условие равновесия элемента mп pq.
(11)
Учитывая (10) и (11) получим
(12)
Разрешая эту систему получим:
(13)
Из (13) видно, что нормальные и касательные напряжения зависят не только от , но и от ориентации площадки. Из (13) также видно. Что убывает при увеличении угла 
от 0до 
; тогда как обращается в ноль при 
и 
. Своего максимального значения касательные напряжения достигают на площадках 
:
Перемещение поперечных сечений
Приложенные к стержню продольные силы вызывают в нем деформации. Кроме того, при деформировании поперечные сечения перемещаются друг относительно друга.
Рис.
Пусть OX направлен по оси стержня. Сечение ab до деформации имеет координату X, а сечение cd координату 
. После приложения нагрузки сечение ab перейдет в положение 
, получив перемещение 
, а сечение cd – в положение 
, получив перемещение 
, т.е. 
.
Длина вырезанного элемента до деформации: 
после деформации стала 
. Удлинение его равно 
Относительная деформация представляет: 
. Привлекая закон Гука:
получим 
. Интегрируя это соотношение получим:
,
E- 
и - .
Учет собственного веса стержня
Собственный вес вызывает растяжение или сжатие стержня, когда его ось расположена вертикально. Собственный вес вертикального бруса можно рассматривать как продольную внешнюю нагрузку, распределенную вдоль оси.
Рис.
Интенсивность распределенной нагрузки по оси бруса в любом сечении X определяется как 
, где - плотность материала. Тогда для определения величины продольной силы 
, действующей в поперечном сечении бруса X находим равнодействующую распределенной нагрузки:
Нормальные напряжения в поперечных сечениях бруса определяются так:
Для стержня постоянного поперечного сечения 
интенсивность распределенной нагрузки постоянная по длине бруса
Тогда 
И 
Наибольшая продольная сила и напряжение возникают в сечении при
