Випробування за схемою Бернуллі.

6.1.1. Послідовності незалежних випробувань. Нехай здійснюється п незалежних випробувань, у кожному з яких подія А може відбутися зі сталою ймовірністю р, або не відбутися з ймовірністю q = 1 – p. Результат кожного випробування не залежить від результатів всіх попередніх випробувань, тобто випробування незалежні в сукупності. В цьому випадку говорять, що випробування здійснюються за схемою Бернуллі: В (п, р), де п і р – параметри схеми Бернуллі. Треба знайти ймовірність того, що в п випробуваннях подія А відбудеться к разів.

Подію в, яка полягає в тому, що подія А настала при кожному з к перших випробувань і не відбулася при інших (п – к) випробуваннях, можна записати у вигляді добутку к подій А (п – к) подій

(6.1)

Оскільки всі п випробувань за умовою незалежні, то ймовірність настання події В дорівнює добутку ймовірностей настання подій А і А:

Р (В) = р^k ·(1 – p) ^{n - k} = p ^k · q ^{n - k} .

6.1.2. Формула Бернуллі. Подія А може відбуватися k разів при п випробуваннях, але при цьому може утворитися послідовності (6.1). Проте для будь – якої такої послідовності подій ймовірність настання події А k разів при п випробуваннях дорівнює p ^k ·q ^{n – k}. Число найрізноманітніших послідовностей появи події А k разів в п випробуваннях дорівнює числу сполучень з п елементів по k. Оскільки різні послідовності з k елементів А і п – k елементів А можна розглядати як різні наслідки серії з п незалежних випробувань, то всі ці наслідки (події) несумісні. Тому шукану ймовірність, яку звичайно позначають Р _п (k), обчислюють як суму ймовірностей настання різних наслідків серії з п випробувань:

P _n (k) = C · p^k · (1 – p) ^{n - k} = C · p^k · q^{n - k} .

Ця формула називається формулою Бернуллі.

6.1.3. Найвірогідніше число появи події А. Ймовірності Р_п (к) при фіксованому п спочатку зростають при збільшенні k від 0 до деякого числа k_o , а потім зменшуються, якщо k_o < k n. Число k_o, якому при заданому п відповідає найбільша ймовірність Р_п (k_o), називається найвірогіднішим числом появи події А. Якщо число р (п + 1) дробове, то k_o = [p(n+1)] – цілій частині цього числа. Якщо р(п + 1) ціле,то k_o має два значення р(п + 1) ціле, то k_o має значення р(п + 1) і (п + 1) – 1.

6.1.4.Локальна теорема Муавра – Лапласа. Користуватися формулою Бернуллі (6.2.) при великих значеннях п досить важко. В таких випадках застосовують локальну теорему Мувра – Лапласа, яка дає асимптотичну формулу вигляду

Р_п (k) · (x), де (х) = е , х = .

Існують таблиці значень функції (х) для додатних значень аргументу х (додаток 1). Для від’ємних значень аргументу використовують ті ж самі таблиці, оскільки функція (х) парна, тобто (-х) = (х).

6.1.5. Інтегральна теорема Муавра – Лапласа. Щоб знайти ймовірність Р_п (k₁,k₂) того, що кількість появи події А в п випробуваннях знаходиться в межах k₁ k k₂, використовують інтегральну теорему Муавра – Лапласа:

P_n (k ₁, k ₂) (6.4)

де

Оскільки визначений інтеграл (6.4) не виражається через елементарні функції, то використовують таблиці, в яких вміщені значення функції Лапласа

для доданих значень аргументу х (додаток 2). Для від’ємних значень аргументу використовують ті ж самі таблиці, враховуючи, що функція Ф (х) непарна, тобто

Щоб користуватися функцією Лапласа, перетворимо співвідношення (6.4)

Остаточно маємо

(6.5)

6.1.6.Розподіл Пуассона. Якщо у послідовності незалежних випробувань за схемою Бернуллі п досить велике, а р мале (р npq <9), то при обчисленні Р_п (k) доцільно користуватися граничною формулою Пуассона (закон “рідкісних” явищ):

де (6.6)

Для відомих значень k і використовують таблиці функції (6.6)

(додаток 3).