Побудуємо мінімальну s- алгебру, якій належить поле подій F (наприклад, борелівска 
- 
алгебра - це мінімальна s- алгебра, що містить поле всіх півпроміжків ненульової довжини).
Тоді доводиться, що рахунково-адитивна функція P(A) однозначно поширюється на всі елементи мінімальної s- алгебри і при цьому жодна з аксіом не порушується.
Таким чином, подовжене P(A) називають s-адитивною мірою.
- алгебра містить події, які не спостерігаються, поряд із подіями, які спостерігаються.
Але в аксіоматичній теорії імовірності може відбутися будь-яка подія з s-алгебри.
Розширення поля подій, які спостерігаються на s - алгебру пов'язано з неможливістю одержати основні результати теорії ймовірності без поняття s - алгебри.
Визначення імовірнісного простору.
Імовірнісним простором називають трійку (W, s, P), де
W - простір елементарних подій, побудований для даного експерименту;
s - s-алгебра, задана на W- системі можливих подій, яка цікавить дослідника, у результаті проведених дослідів;
P - s-адитивна міра, тобто - - адитивна невід¢ємна функція, аргументами якої є аргументи з s - алгебри і яка задовольняє трьом аксіомам теорії ймовірності.
1. 
, 
. P (A) - називається ймовірністю випадкової події A.
2. Ймовірність достовірної події дорівнює 1: P (W)=1.
3. Ймовірність суми несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей
, 
.
Наслідок: Ймовірність неможливої події дорівнює нулю.
Нехай W складається з кінцевого числа елементарних подій W={ 
, 
,..., 
} тоді з визначення: 
.
Елементарні події несумісні, тоді, виходячи з третьої аксіоми теорії ймовірності має місце рівність 
.
Нехай деяка подія A ÌW складається з k елементарних подій, тоді { 
, 
,..., 
}, 
.
Приклади розв'язування задач на операції з випадковими подіями
1. Нехай А, В і С — три випадкові події. Знайти вирази для подій, які полягають в тому, що з подій А, В і С: 1) відбулася тільки А; 2) відбулися тільки А і В; 3) відбулися всі три події; 4) відбулася хоча б одна з подій; 5) відбулося не менше 2 подій; 6) відбулася одна і тільки одна подія; 7) відбулися дві і тільки дві події; 8) ні одна з подій не відбулася.
Розв'язування
1). 
— «відбулася подія А і не відбулася подія В, і не відбулася подія С»;
2). 
;
3). 
;
4). А + В + С — “відбулася подія А, або подія В, або подія С ”;
5). 
— “відбулися події А і В, або А і С, або В і С, або А і В і С ”;
6). 
;
7). 
;
8). 
.
2. Гральний кубик підкидають двічі. Випадкові події цього випробування: А — сума очок рівна 8, В — за другим разом випало 6 очок. Описати наслідки випробування та події
Розв'язування
Наслідками випробування є можливі пари 
.
Подія А ={(2, 6), (5, 3), (3, 5), (4, 4), (б, 2)}, подія В ={(і, 6), де і=1,2,..6},
А + В ={(5, 3),(3, 5),((4, 4),(6, 2),(і, 6),і=1,2,...,6)}, 
А - В =={(5, 3),(3, 5),(4, 4),(6, 2)}, 
Лекція 3.
Класичне, статистичне та геометричне означення ймовірності.
3.1. Основні поняття
3.1.1. Статистичне означення ймовірності. Розглянемо дослід на підкидання монети. Цей дослід має два наслідки, які взаємно виключають один одного, - випадання “герба” і випадання “цифри”. Позначимо ці наслідки відповідно буквами А і В. Проведемо серію випробувань, яка складається з n підкидань. Визначимо число випадань “герба” і число випадань “цифри”. Повторимо цю серію з випробувань кількаразів, підраховуючи щоразу число випадань “герба” і “цифри”. Нехай число випробувань, які спричинили випадання “герба”, дорівнює n (А). Відношення числа випадання “герба” n (А) до числа всіх випробувань n даної серії називається частотою події А в цій серії дослідів. Як показує практика, при великих n частоти n (А)/ n у різних серіях випробувань приблизно однакові і при досить великих n близькі до 1/2.
Аналогічна ситуація буде і в разі підкидання грального кубика. При досить великому числі випробувань у серії частота випадання, наприклад, шести очок у різних серіях випробувань приблизно однакова і близька до 1/6.
Природно, що як у прикладі з монетою, так і в прикладі з гральним кубиком вважається, що монета і гральний кубик геометрично правильні, виготовлені з однорідного матеріалу і умови випробувань у різних серіях однакові.
Таких прикладів чимало, але в багатьох випадках при багаторазовому повторенні того самого досліду за тих самих умов частота настання деякої події (тобто відношення числа дослідів, під час яких цей результат спостерігали, до загального числа зроблених випробувань) приблизно однакова і близька до деякого числа р. Це число називають статистичною ймовірністю події, що розглядається.
Отже, ймовірність тієї чи іншої події можна наближено оцінити за результатами серії дослідів, яка складається з досить великої кількості випробувань.
3.1.2. Класичне означення ймовірності. У так званій класичній моделі теорії ймовірностей вважають, що:
1. множина елементарних подій (наслідків) одного випробування W = {w1,w2,...w n }скінчена і утворює повну групу несумісних подій;
2. з кожним елементарним наслідком wі (і = 1,2,... n) можна зв’язати невід’ємне число рі, яке називається ймовірністю цього наслідку, причому р1 + р 2 +...+ рn =1;
3. ймовірність Р (А) настання події А, яка полягає в тому, що настала одна з елементарних подій wі, wj,...,ws дорівнює сумі ймовірностей настання цих подій
Р(А) = р і + р j +...+ р s.
Події wі, wj,..., ws називають такими, що сприяють події А.
4. Якщо події w1, w2,...,w n рівноймовірні, тобто р 1 = р 2 =... = рn = 1/ n, то ймовірність Р (А) обчислюють за формулою
(3.1)
