Де m – число наслідків, які сприяють події А, а n – число всіх рівно можливих наслідків.

Формула (3.1) визначає так зване класичне означення ймовірності.

Приклад. Кинуто два гральних кубики. Яка ймовірність випадання дубля”?

Розв’язування. Кожен наслідок цього досліду можна уявити як упорядковану пару чисел (m; n), де m – число очок, які випали на першому кубику, n – число очок на другому. Усі наслідки рівно ймовірні, і число всіляких різних наслідків, тобто число таких різних упорядкованих пар, дорівнює 36. Подія А – випадання “дубля” – відбувається тоді і тільки тоді, коли настає один з наслідків (m; n), при якому m = n. Таких наслідків шість. Отже за формулою (3.1) ймовірність події А: P (A) = 6/36 = 0,1(6).

3.1.3. Геометричне означення ймовірності. Нехай множина елементарних подій W є вимірною неперервною сукупністю, mes W - її міра (довжина, площа, об’єм). Випадкова подія А є її вимірною підмножиною і має міру mes А. Дослід полягає у довільному виборі точки із множини W, причому всі точки мають одинакові шанси бути вибраними. Подія А – попадання вибраної точки в обдасть А ÌW. Геометричне означення ймовірності: ймовірність випадкової події А дорівнює відношенню міри А до міри W

Р (А) = mes A / mes W (3/2)

3.1.4. Властивості ймовірностей:

Аксіоми теорії ймовірностей:

1. Р (А)³0;

2. P (W)=1;

3. P (A + B)= P (A)+ P (B), якщо А і В несумісні, тобто А × В =Æ

Властивості ймовірностей:

1.

2.

3. Р (Æ) = 0;

4. якщо , то ;

5. якщо , то .

 

3.2. Приклади розв’язування задач на обчислення ймовірності

 

1.Учасники жеребкування виймають жетони з номерами від 1 до 100. Знайти ймовірність того, що номер першого жетона, який взято навмання, не має цифри 5.

Розв’язування

Знайдемо ймовірність протилежної події, а саме, що номер першого жетона, який взято навмання має цифру 5. Для цього застосуємо формулу (3.1), в якій загальна кількість наслідків дорівнює 100, а кількість сприятливих наслідків – 19 (по одному жетону в кожному десятку і це додатково дев’ять жетонів у шостому десятку). Таким чином

 

2. Вісім різних книжок, серед яких є двотомник, розставляється навмання на одній полиці. Знайти ймовірність того, що книги двотомника стоятимуть поруч?

Розв’язування

Загальна кількість наслідків в цьому випадку дорівнює 8! Якщо зафіксувати на перших двох позиціях двотомник, то інші книги між собою можуть бути переставлені 6! разів. Оскільки книги двотомника можна поміняти місцями, то маємо двічі по 6! разів. Якщо пересувати двотомник на нові позиції, то отримаємо загальну кількість сприятливих наслідків 7×2×6! Остаточно отримаємо

 

Лекція 4. ТЕОРЕМИ ДОДАВАННЯ І ДОБУТКУ ЙМОВІРНОСТЕЙ

Основні теореми