Сингулярной считается точка, в которой пересекается пучок линий скольжения. Физически это означает локализацию условия разрушения или нарушение непрерывности напряжений.
|
| Рисунок 2.7 Расчетная схема с сингулярной точкой. |
Расчетная схема такого случая представлена на рисунке 2.7. Уравнения, характеризующие напряженное состояние в пассивной А0OA1 и активной А2ОВ зонах в общем случае имеют вид, вытекающий из условий (1.5):
- для пассивной зоны А0ОА1, при χ=+1
(2.5)
- для активной зоны A2OB, при χ =-1
(2.6)
где s1 и s2 - средние приведенные нормальные напряжения в зонах A0OA1 и A2OB; p и q - приведенные давления, действующие на поверхность засыпки и откос OB; d1 и d - углы отклонения приведенных давлений p и q; j1 - угол наибольших главных напряжений в зоне А0ОА1 относительно оси Х; 
и j2 - углы наибольших главных напряжений в зоне А2ОВ соответственно относительно откоса ОВ и оси Х (углы j1, и j2 изображены на рисунке 2.5); b - угол при вершине откоса.
Углы D1 и D в соответствии с уравнением (1.7) будут равны
.
Применительно к рассматриваемой задаче, когда призма волочения отсутствует, а поверхность грунта находится под действием всестороннего нормального давления связности Н, углы δ1 и Δ1 равны нулю, и при этом
,
уравнения (2.5) предельного состояния грунта в зоне A0OA1 примут вид
. (2.6а)
При условии d=r и D=p /2 уравнения (2.6) предельного состояния грунта в зоне А2ОВ будут выглядеть следующим образом
(2.7)
Для рассматриваемой схемы значение σ=σ2 в точке О, принадлежащей зоне А2ОВ, должно быть больше, чем значение σ=σ1 в точке О, принадлежащей зоне А0ОА1, т.е. σ2³σ1. Подставляя необходимые значения из уравнений (2.5) и (2.7), получим условие существования рассматриваемого расчетного случая с сингулярной точкой
(2.8)
Для характеристики в точке О зоны А 
ОА 
имеем
Для точки О, принадлежащей зоне А 
ОА 
, с учетом уравнений (1.11), (1.14) и (2.5), будем иметь
, (2.9)
а для точки О, расположенной в зоне 
с учетом s и 
для этой зоны по уравнениям (2.6) аналогичным образом получим:
(2.10)
При p=H, δ1=0 и Δ1=0 уравнение (2.9) будет выглядеть так
. (2.10, а)
Уравнение (2.10) при 
примет вид
. (2.11)
А так как 
, то
. (2.12)
Обозначив
, (2.13)
перейдем к углу сдвига ψ. Так как при d=r имеем ψ =p-b, то в полном виде получим
. (2.14)
Отметим, что схемы на рисунках 2.6, 2.7 и 2.10 изображены при углах d<r ввиду невозможности изображения их при углах d=r. При d=r зона 
стягивается к откосу ОВ, а пассивная зона 
- в точку О, что хорошо видно из рисунка 2.4.
Разрывные решения.
Если условие (2.8) не будет выполнено, то в зоне разрушения образуется линия разрыва, вблизи которой хотя и сохраняется равновесие, но нет полной непрерывности напряжений. Расчетная схема для такого случая изображена на рисунке 2.8.
Для зоны А0ОА по-прежнему остаются в силе уравнения (2.5). Относительно углов dр и Dр на линии разрыва ОА для этой же зоны имеем из уравнений (1.5) при χ=+1
+= 
(
- 
) и
= 
+ 
= 
+ 
(
- 
), (2.15)
где 
- угол наклона линии разрыва; 
- угол отклонения приведенного давления на линии разрыва, а угол Δр будет равен
= arcsin 
.
|
| Рисунок 2.8 Расчетная схема с линией разрыва. |
Но для одной и той же зоны должно быть 
= 
, откуда, с учетом их значений, получим
= 
( - 
). (2.16)
Аналогично для зоны АОВ имеем, с одной стороны, уравнения (2.7), а с другой стороны из (1.5) при χ= -1 получим
= 
(2.17)
Заменяя в полученном уравнении (2.17) значение его выражением (2.16), получим
. (2.18)
Так как в зоне АОВ 
, то из (2.7) и (2.18) получим
(2.19)
Переходя к углу сдвига 
, имеем
. (2.20)
Из уравнения (2.20) видно, что для определения угла сдвига , кроме граничных условий на засыпке массива, необходимо знать величину угла 
. Определим ее. Условия разрыва могут быть получены из уравнений (1.5), а именно
. (2.21)
Из условий разрыва, с учетом того, что 
а 
, имеем
. (2.22)
Перепишем уравнение (2.22) с учетом уравнения (2.13) таким образом
,
или
, (2.23)
а его решение после ряда преобразований получим в виде
и, как и раньше,
. (2.24)
Уточним условия существования разрывных решений.
Рассмотрим случай, когда линия разрыва OA будет совпадать с поверхностью засыпки, т. е. ap=0. Из уравнения (2.21) с учетом уравнений (2.5) и (2.6) при s+=s1 и s-=s2 получим в общем виде
. (2.25)
Так как ap=0 и, следовательно, dp=0, Dp=0 и при условии, что d=r, 
, справедливом для рассматриваемой задачи, предельное давление будет равно
. (2.26)
Следовательно, относительно границ области разрывных решений выполняется следующее неравенство, полученное с учетом неравенства (2.8)
. (2.27)
Действительно, при 
имеем из уравнения (2.16), что
.
Это значит, что с линией разрыва совпадают линия скольжения ОА1 второго семейства линий скольжения зоны А0ОА1 и линия скольжения ОА2 второго семейства линий скольжения зоны А2ОВ, и справедливо условие (2.8). Этот случай находится на границе двух типов решений - с сингулярной точкой и с линией разрыва и разделяет их.
Таким образом, условие (2.27) полностью охватывает область существования разрывных решений, в которой значение δр изменяется в пределах -ρ£ δр£ 0, что необходимо иметь ввиду при использовании уравнений (2.24).
