Лекции.Орг


Поиск:




Волновая теория открытого резонатора




 

Считая, что дифракционных потерь нет (это соответствует бесконечно большим размерам зеркал), рассмотрим суперпозицию плоских волн, распространяющихся между зеркалами З1 и З2 плоскопараллельного открытого резонатора (резонатор Фабри-Перо) с базой L. (рис. 1.18).

  Рис.1.18.Формирование стоячей волны в резонаторе.  

а) Сначала учтем только плоские волны, распространяющиеся строго вдоль оси резонатора z. За один цикл обхода волны от левого зеркала до правого и обратно изменение фазы волны составит величину:

Условие резонанса требует, чтобы волна вернулась в исходную точку в той же фазе, т.е. , где = 1,2,3… Приравняв правые части этих формул, получим: . (1.83)

Это условие можно записать через частоту: , (1.84)

где - резонансная частота, соответствующая колебанию с номером .

Эти собственные частоты резонатора называются продольными модами резонатора. Они отличаются одна от другой лишь распределением поля вдоль оси z, т.е. в продольном направлении.
Величина ∆ν=νq+1q, (1.85) определяет расстояние по частоте между двумя соседними колебаниями.

    Рис.1.19. Спектр продольных мод открытого резонатора.

 
 

Таким образом, спектр собственных колебаний открытого резонатора состоит из равноотстоящих друг от друга линий и является эквидистантным (рис.1.19).

 

      Рис.1.20.Формирование поперечных мод резонатора.

 
 

б) Можно себе представить, что помимо продольных колебаний существуют также колебания, образованные плоскими волнами, распространяющимися под некоторым углом q к оси резонатора (рис.1.20).

 

Собственные частоты этих колебаний определяются условием:

, (1.86)

где q может принимать любые непрерывные значения. В результате сложения этих волн образуются так называемые поперечные колебания или поперечные моды резонатора. Для более подробного изучения поперечных мод резонатора рассмотрим объемный резонатор с идеально проводящими боковыми стенками (рис.1.21).

Спектр частот собственных колебаний такого резонатора определяется условием:

, (1.87)

где m, l =0,1,2,3... целые числа.

  Рис.1.21. Схема объемного закрытого резонатора.  

Приближенно, при малых углах распространения q и m,l<<q, можно считать, что моды открытого резонатора описываются модами прямоугольного резонатора.

Тогда резонансные частоты плоскопараллельного открытого резонатора можно найти из выражения (1.87) путем разложения его в степенной ряд:

. (1.88)

Из этого выражения можем найти разность частот между двумя модами, отличающимися только значениями числа m на единицу, в виде: . Учитывая, что , отсюда получим: . (1.89)

Аналогично получим, что для разности частот Dnl:

. (1.90)

Эти моды будут отличаться только распределением поля в плоскости, ортогональной оси z, т.е. в поперечном направлении.

Спектр собственных колебаний (резонансных частот) плоскопараллельного резонатора с учетом формул (1.89) и (1.90) имеет вид, показанный на рисунке 1.22.

Величины Dnm и Dnl определяют разность частот между двумя последовательными поперечными модами.

    Рис.1.22. Спектр собственных колебаний плоскопараллельного открытого резонатора.  

Дифракционная теория

 

Строгое рассмотрение электромагнитного поля в открытом резонаторе основывается на системе уравнений Максвелла с заданными граничными условиями на зеркалах. Лазерные резонаторы имеют ту особенность, что их характерные размеры (длина резонатора, радиусы кривизны и апертуры зеркал) намного превышают длину волны излучения. Исходя из этого, можно считать, что электромагнитное поле в резонаторе является поперечным, однородно поляризованным. Для вычисления его стационарного распределения на поверхности одного из зеркал в виде интеграла от поля заданного на поверхности другого зеркала, можно воспользоваться скалярной формой принципа Гюйгенса-Френеля. Такие расчеты были впервые проведены Фоксом и Ли.

Рис. 1.23. К расчету плоскопараллельного резонатора с помощью дифракционного интеграла Кирхгофа.

 

Поле UР в любой р-ой зоне Френеля второго зеркала, обусловленное освещенным первым зеркалом, описывается поверхностным интегралом (дифракционный интеграл Кирхгофа):

(1.91)

где - вектор распространения волны в среде; - расстояние от точки на первом зеркале до точки наблюдения: θ - угол между и перпендикуляром к поверхности первого зеркала; U0-поле в плоскости первого зеркала. Моды резонатора соответствуют стационарным решениям интеграла (1.91).

Структуру поля для разных мод рассчитывают методом последовательных приближений с использованием ЭВМ. Следует отметить, что метод последовательных приближений здесь в некоторой степени адекватен самому физическому процессу в резонаторе при нарастании количества отражений. На рисунке 1.25 представлен результат расчета Фокса и Ли для амплитуды поля в точке x=a/2 на поверхности одного из зеркал в зависимости от числа отражений. Видно, что с увеличением количества отражений амплитуда поля принимает постоянное значение. После N прохождений, когда установился стационарный режим, можно написать соотношение: υ(x,y), где γ - комплексная постоянная, υ(x,y)- функция установившегося распределения. Подставляя ее в (1.91), получим: . Поскольку υN+1N, индексы в дальнейшем будем опускать и для нахождения структуры поля на поверхности зеркал, получаем интегральное уравнение: (1.92)

Собственные функции υmn(x,y), являющиеся решением интегрального уравнения (1.92) при соответствующих значениях γmn (собственные значения), характеризуют структуру поля на поверхности зеркал резонатора и обозначаются как колебания типа TEMmn. (рис.1.25). Каждая поперечная мода включает в себя ряд продольных мод, которым соответствуют разные q.

  Рис.1.24. Изменение амплитуды поля в зависимости от числа прохождений.

 

Для прямоугольных зеркал индекс m означает число изменений направления поля вдоль оси x, а индекс n – вдоль оси y. В случае круговых зеркал n означает число изменений направления поля по окружности (для фиксированного радиуса), а m - вдоль радиуса.

Логарифм собственных значений γmn является комплексной величиной

lnγmnmn+i(αmn+kL), (1.93)

где βmn определяет затухание за один проход, связанное с дифракционными потерями для каждой моды резонатора; αmn определяет фазовый сдвиг за один проход, который прибавляется к геометрическому фазовому сдвигу.

Параметр βmn характеризует добротность резонатора: . (1.94)

Из условия резонанса можно определить собственные частоты мод, которые выражаются через αmn: . (1.95)

Таким образом, решение интегрального уравнения (1.92) для соответствующей конфигурации оптического резонатора дает информацию о структуре поля, резонансных частотах и дифракционных потерях резонатора. Заметим, что это уравнение имеет общий характер. Оно не связано с конкретной конфигурацией резонатора и формой зеркал и поэтому пригодно не только для плоских зеркал (резонатор Фабри-Перо), но и для зеркал иной формы (в частности, сферических).

На рис.1.26 показано распределение интенсивности для поперечных мод TEMmn открытого резонатора.

Рис.1.25.Конфигурация электрического поля различных мод для квадратных зеркал.  
 
 

 

Рис.1.26. Структуры электрических полей поперечных типов колебаний оптического резонатора.

 

 

 





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2016-12-06; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1527 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Наука — это организованные знания, мудрость — это организованная жизнь. © Иммануил Кант
==> читать все изречения...

816 - | 711 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.012 с.