Энергетические состояния квантовой системы. Населенности квантовых уровней

А.Г. Акманов, Б.Г. Шакиров

 

ОСновы квантовых и оптоэлектронных приборов

 

 

Рекомендовано УМО по образованию в области телекоммуникации в качестве учебного пособия

 

Уфа 2003

УДК 621.378.1+621.383.4

ББК 32.86

А40

 

Рецензенты

 

кафедра «Телекоммуникационные системы» УГАТУ

Маликов Р.Ф., доктор физико-математических наук,

профессор БГПУ

 

Протокол №24 от 24.06.2003г. пленума Совета УМО по образованию в

области телекоммуникации.

 

Акманов А.Г., Шакиров Б.Г.

 

А40 Основы квантовых и оптоэлектронных приборов. Учебное пособие.

Уфа: РИО БашГУ, 2003. - 129 с.

ISBN

 

Данная работа является учебным пособием по дисциплинам «Оптоэлектронные и квантовые приборы и устройства», «Квантовая радиофизика» по специальностям «Физика и техника оптической связи» и «Радиофизика и электроника».

Рассмотрены физические основы, принцип действия и характеристики твердотельных, газовых и полупроводниковых лазеров, вопросы управления их параметрами. Изложены физические основы и характеристики элементов оптоэлектронных приборов.

 

УДК 621.378.1 + 621.383.4

ББК 32.86

 

ISBN

ãАкманов А.Г., Шакиров Б.Г., 2003 г.

 

ã БашГУ, 2003 г.

 

ВВЕДЕНИЕ

Под квантовой электроникой как областью науки и техники понимается наука, изучающая теорию и метод генерации и усиления электромагнитных волн путем индуцированного излучения в термодинамически неравновесных квантовых системах (атомы, молекулы, ионы), свойства получаемых таким образом генераторов и усилителей и их применения.

Основу квантовой электроники составляют физические положения, сформулированные еще в 1916 г. А. Эйнштейном, который теоретически предсказал существование индуцированного излучения и указал на его особое свойство - когерентность вынуждающему излучению.

Возможность создания квантовых приборов была обоснована в начале 50-х годов. В 1954 г. в Физическом Институте АН СССР (Прохоров А. М., Басов Н, Г.) и в Колумбийском Университете (Таунс Ч.) были разработаны молекулярные квантовые генераторы (или мазеры1) СВЧ диапазона. Следующий, естественный для развития квантовой электроники шаг был сделан в направлении создания квантовых приборов оп­тического диапазона. Теоретическое обоснование такой возможности (Таунс Ч., Шавлов А., 1958 г.), предложение открытого резонатора в качестве колебательной системы в оптическом диапазоне (Прохоров А.М, 1958 г.) стимулировали экспериментальные исследования. В 1960 г. был создан лазер¹ на рубине (Мейман Т., США), в 1961 г. - лазер на смеси гелия с неоном (Джаван А., США), а в 1962 г. - первые полупроводниковые лазеры (США, СССР).

Оптоэлектроника (ОЭ) – это область науки и техники, связанная с разработкой и применением электронно-оптических устройств и систем для передачи, приема, обработки, хранения и отображения информации.

В зависимости от характера оптического сигнала различают когерентную и некогерентную оптоэлектронику. Когерентная ОЭ базируется на использовании источников лазерного излучения. К некогерентной ОЭ относят дискретные и матричные некогерентные излучатели и построенные на их основе индикаторные устройства, а также фотоприёмные устройства, оптопары, оптронные интегральные микросхемы и др.

 

 

Лазерное излучение обладает следующими свойствами:

1. Временная и пространственная когерентность. Время когерентности может составить до 10^-3 с, что соответствует длине когерентности порядка 10⁵ м (l_ког=c _ког), т.е. на семь порядков выше, чем для обычных источников света.

2. Строгая монохроматичность ( <10^{-11 м).}

3. Большая плотность потока энергии.

4. Очень малое угловое расхождение в среде.

КПД лазеров колеблется в широких пределах – от 0,01% (для гелий-неонового лазера) до 75% (для полупроводникового лазера), хотя для большинства лазеров КПД составляет 0,1-1 %.

Необычные свойства лазерного излучения находят в настоящее время широкое применение. Применение лазеров для обработки, резания и микросварки твердых материалов оказывается экономически более выгодным. Лазеры применяются для скоростного и точного обнаружения дефектов в изделиях, для тончайших операций (например, луч СО₂-лазера в качестве бескровного хирургического ножа), для исследования механизма химических реакций и влияния на их ход, для получения сверхчистых веществ. Одним из важных применений лазеров является получение и исследование высокотемпературной плазмы. Эта область их применения связана с развитием нового направления – лазерного управляемого термоядерного синтеза. Лазеры широко применяются в измерительной технике. Лазерные интерферометры используются для сверхточных дистанционных измерений линейных перемещений, коэффициентов преломления среды, давления, температуры.

Широкое распространение лазерные источники излучения получили в технике связи.

 

 

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЛАЗЕРОВ

 

Усиление световой волны в лазерах основано на явлении индуцированного излучения фотона возбужденной частицей вещества (атомом, молеку­лой). Чтобы основную роль играло индуцированное излучение, необходимо перевести рабочее вещество (усили­вающую среду) из равновесного состояния в неравновесное, при котором создана инверсия населенностей энергетических уровней.

В качестве колебательной системы в лазерах используется так называемой открытый резонатор, представляющий собой систему из двух высокоотражающих зеркал. При помещении между ними рабочего вещества создается условие для многократного прохождения усиливаемого излучения через активную среду, и таким образом реализуется положительная обратная связь.

Процесс возбуждения активной среды с целью создания в ней инверсии населенностей называется накачкой, а физическая система, обеспечивающая этот процесс - системой накачки.

Таким образом, в структурной схеме любого типа лазера можно выделить три основных элемента: активную среду, систему накачки и открытый резонатор.

В соответствии с этим в I главе излагаются основы теории квантового усиления и генерации при взаимодействии светового излучения с веществом, методы накачки и теория открытого резонатора.

Оптическое излучение

 

Оптическим излучением или светом называют электромагнитные волны, длины волн которых заключены в интервале от единиц нанометров до сотен микрометров. Помимо воспринимаемого человеческом глазом видимого излучения (l =0,38-0,76 мкм), различают ультрафиолетовое (l =0,01-0,38 мкм) и инфракрасное (l =0,78-100 мкм) излучения.

Напомним некоторые положения и формулы волновой и квантовой оптики. Волновая оптика базируется на уравнениях классической электродинамики, основу которой составляют уравнения Максвелла:

[ E ]=rot E =

[ H ]=rot H = (1.1) где Е, D, Н, B – векторы напряженности и индукции соответственно электрического и магнитного полей (система (1.1) написана для случая отсутствия токов и зарядов в среде). В однородной изотропной среде D и B связаны с полями E и H соотношениями (в системе СИ):

D= ε₀e E, B= μ₀m H, (1.2) где e – относительная диэлектрическая, m - относительная магнитная проницаемости среды, e₀ – электрическая, m₀ – магнитная постоянные. Система (1.1) сводится к волновому уравнению для (или ): (1.3) Уравнение (1.3) имеет решение , (1.4) которое описывает плоскую волну, распространяющуюся в направлении, определяемым волновым вектором с фазовой скоростью:

(1.5)

где с= - скорость света в вакууме. Для немагнитной среды m=1, n= и для скорости волны получим: (1.5а)

Объемная плотность энергии, переносимой электромагнитной волной, дается формулой: r=(1/2)ε₀e E²+ (1/2)μ₀m H²= ε₀e E². (1.6)

Спектральная объемная плотность энергии r_n определяетсясоотношением: (1.7)

Модуль вектора Умова-Пойнтинга (1.8)

определяет плотность потока световой энергии, .

Под интенсивностью света понимается усредненный по времени поток энергии (1.9)

Процессы поглощения и испускания света могут быть объяснены только в рамках квантовой оптики, которая рассматривает оптическое излучение в виде потока элементарных частиц – фотонов, не имеющих массы покоя и электрического заряда, обладающих энергией E _ф =hn, импульсом p= h k и движущихся со скоростью света.

Плотность потока фотонов F=I/(hn)=ru/(hn) (1.10)

где [ hn ]=Дж, [ F ]=1/(м² с).

Энергетические состояния квантовой системы. Населенности квантовых уровней

Важнейшим свойством квантовых систем (ансамбль атомов, молекул) является то, что их внутренняя энергия может принимать только дискретные значения E₁,E₂,..E_nу определяемые решениями соответствующих уравнений Шредингера. Совокупность возможных для данной квантовой системы энергетических уровней называется энергетическим спектром. На диаграмме энергетических уровней энергию выражают в Джоулях, обратных сантиметрах или электрон-вольтах. Состояние с наименьшей энергией, являющееся наиболее устойчивым, называют основным. Все другие состояния, которым соответствует большая энергия, называются возбужденными.

В общем случае можно представить, что несколько различных возбужденных состояний характеризуются одним и тем же значением внутренней энергии. В этом случае говорят, что состояния вырождены, а степень вырождения (или статистический вес уровня g_i.) равна числу состояний.

Рассмотрим макросистему, состоящую из N₀ тождественных слабовзаимодействующих микросистем (атомов), обладающих определенным спектром энергетических уровней. Такой макросистемой является ак­тивная среда лазера.

Число атомов в единице объема, находящихся на данном энергетическом уровне i, называется населенностью этого уровня N_i. Распределение населенностей по уровням в условиях термодинамического равновесия подчиняется статистике Больцмана:

(1.11)

где Т – абсолютная температура, k – постоянная Больцмана, g_i – кратность вырождения уровня, , где Е_i- энергия i –го квантового уровня. Из (1.11) следует, что , т.е. сумма населенностей всех энергетических уровней равна количеству частиц N₀ в рассматриваемом ансамбле.

В соответствии с (1.11) в основном состоянии с энергией Е₁ при термодинамическом равновесии находится наибольшее количество атомов, а населенности верхних уровней уменьшаются с ростом энергии уровня (рис.1.1). Отношение населенностей двух уровней в равновесном состоянии дается формулой: (1.12)

Для простых невырожденных уровней g₁= g₂=1 и формула (1.12) принимает вид: (1.12а)

Рис.1.1 Распределение населенностей энергетических уровней в условиях термодинамического равновесия.

 

Мгновенный, скачкообразный переход с уровня Е_i на уровень Е_j называется квантовым переходом. При Е_i > Е_j квантовая система отдает энергию, равную (E_i-E_j), а при Е_i < Е_j - поглощает ее. Квантовый переход с испусканием или поглощением фотона называется оптическим. Энергия испущенного (поглощенного) фотона определяется соотношением Бора:

hn_ij= Е_i - Е_j (1.13)

 

1.3 Элементарные процессы взаимодействия
оптического излучения с веществом

 

Рассмотрим более подробно квантовые переходы, которые могут происходить между двумя произвольно выбранными энергетическими уровнями, например 1 и 2 (рис.1.2), которым соответствует энергии E₁ и E₂­ и населенности N₁ и N₂.

N2

а) б) в)

N2

N2

E2

E2

E2

 

 

Рис. 1.2. Квантовые переходы в двухуровневой системе.

 

Возможны три типа оптических переходов: спонтанные, вынужденные с поглощением и вынужденные с излучением.

Введем для этих вероятностных процессов количественные характеристики, как это впервые было сделано А. Эйнштейном.

Спонтанные переходы

Если атом (или молекула) находится в состоянии 2 в момент времени t=0, то существует конечная вероятность того, что он перейдет в состояние 1, испустив при этом квант света (фотон) с энергией hn₂₁=(E₂-E₁) (рис.1.2а). Этот процесс, происходящий без взаимодействия с полем излучения, называется спонтанным переходом, а соответствующее излучение – спонтанным излучением. Вероятность спонтанных переходов пропорциональна времени, т.е. (dw₂₁)_сп=A₂₁dt, (1.14)

где А₂₁ – коэффициент Эйнштейна для спонтанного излучения и определяет вероятность перехода в единицу времени, [A₂₁]=1/c.

Предположим, что в момент времени t населенность уровня 2 составляет величину N₂. Скорость перехода этих атомов на нижний уровень вследствие спонтанного излучения пропорциональна вероятности перехода А₂₁ и населенности уровня, с которого происходит переход, т.е.

(dN₂/dt)_сп=-A₂₁N_2. (1.15)

Из квантовой механики следует, что спонтанные переходы происходят из данного состояния только в состояния, лежащие по энергии ниже, т.е. из состояния 1 в состояние 2 спонтанных переходов нет.

Вынужденные переходы

 

Рассмотрим взаимодействие группы идентичных атомов с полем излучения, плотность энергии которого распределена равномерно по частотам вблизи частоты перехода. При воздействии на атом электромагнитного излучения резонансной частоты (n=ν₂₁=(E₂-E₁)/h) существует конечная вероятность того, что атом перейдет из состояния 1 на верхний уровень 2, поглощая при этом квант электромагнитного поля (фотон) с энергией hn (рис.1.2б).

Разность энергий (E₂-E₁) необходимая для того, чтобы атом совершал такой переход, берется из энергии падающей волны. В этом заключается процесс поглощения, который можно описать с помощью скоростного уравнения (dN₁/dt)_п=W₁₂N₁=r_nB₁₂N₁, (1.16)

где N₁ – населенность уровня 1, W₁₂=r_vB₁₂ – вероятность поглощения в единицу времени, r_v – спектральная объемная плотность энергии падающего излучения, В₁₂ – коэффициент Эйнштейна для поглощения.

Используется также другое выражение для вероятности W₁₂ в виде:

W₁₂=s₁₂F, (1.17)

где F – плотность потока падающих фотонов, s₁₂ – величина, называемая сечением поглощения, [s₁₂]= м².

Предположим теперь, что атом первоначально находится на верхнем уровне 2 и на вещество падает волна с частотой n=n₂₁. Тогда существует конечная вероятность того, что эта волна инициирует переход атома с уровня 2 на уровень 1. При этом разность энергий (E₂-E₁) выделится в виде электромагнитной волны, которая добавится к энергии падающей волны. Это и есть явление вынужденного (индуцированного) излучения.

Процесс вынужденного излучения можно описать с помощью скоростного уравнения: (dN₂/dt)_вын=W₂₁N₂=r_nB₂₁N₂, (1.18)

где N₂ – населенность уровня 2, W₂₁=r_vB₂₁ – вероятность вынужденного перехода в единицу времени, B₂₁- коэффициент Эйнштейнадлявынужденного перехода. И в этом случае для вероятности перехода справедливо соотношение: W₂₁=s₂₁F, (1.19)

где s₂₁ – сечение вынужденного излучения для перехода 2→1.

Между процессами спонтанного и вынужденного излучения имеется принципиальное отличие. Вероятности индуцированных переходов пропорциональны спектральной объемной плотности электромагнитного поля, а спонтанных от внешнего поля не зависят. В случае спонтанного излучения атом испускает электромагнитную волну, фаза которой не имеет определенной связи с фазой волны, излученной другим атомом. Более того, испущенная волна может иметь любое направление распространения.

В случае же вынужденного излучения, поскольку процесс инициируется падающей волной, излучение любого атома добавляется к этой волне в той же фазе. Падающая волна определяет также поляризацию и направление распространения испущенной волны. Таким образом, с ростом числа вынужденных переходов интенсивность волны возрастает, в то время как ее частота, фаза, поляризация и направление распространения остаются неизменными. Другими словами, в процессе вынужденных переходов из состояния E₂ в состояние E₁ происходит когерентное усиление электромагнитного излучения на частоте n₂₁=(E₂-E₁)/h. Разумеется, при этом происходят и обратные переходы E₁®E₂ с поглощением электромагнитного излучения.

 

Спонтанное излучение

Интегрируя выражение (1.15) по времени с начальным условием N₂(t=0)=N₂₀ получим: N₂(t)=N₂₀exp(-A₂₁t). (1.20)

Мощность спонтанного излучения находится перемножением энергии фотона hν₂₁ на количество спонтанных переходов в единицу времени:

P_сп=hν₂₁ A₂₁ N₂ (t)V=P_сп⁰exp(-A ₂₁t) (1.21)

где P_сп⁰=hn₂₁ A₂₁ N₂₀ V, V – объем активной среды.

Введем понятие о среднем времени жизни атомов в возбужденном состоянии относительно спонтанных переходов. В рассматриваемой двухуровневой системе атомы, которые покидают возбужденное состояние 2 за время от t до t+Dt, очевидно, находились в этом состоянии на протяжении времени t. Число таких атомов равно N₂A₂₁Dt. Тогда их средняя продолжительность жизни в возбужденном состоянии определяется соотношением:

(1.22)

Представим формулу (1.22) в виде:

(1.21 а)

Величину t_сп можно найти экспериментально, поскольку она фигурирует как параметр в законе затухания спонтанной люминесценции, определяемой формулой (1.21 а).