Пренебрегая социальной неоднородностью и половыми различиями, обозначим через 
количество индивидов, имеющих в момент времени t возраст в интервале от 
до 
. Тогда приращение величины rρ(t, tτ)DtΔτ за время ΔD t будет равно
(3.3.56)
где μm(t, τt) – средний темп смертности населения в возрасте tτ в момент времени t. Разлагая функцию 
в ряд 
и ограничиваясь первыми двумя членами, получим
. (3.3.57)
Поскольку старение индивида, имеющего в момент времени t возраст τt, за время Δ D t происходит именно на эту величину, то
Δτ. (3.3.58)
При 
из (3.3.57) получаем основное уравнение демографической динамики (возрастной динамики населения)
. (3.3.59)
Общая численность населения на рассматриваемой территории в момент времени t будет, очевидно, равна
. (3.3.60)
Если данная территория открыта с точки зрения миграции населения, то уравнение (3.3.59) необходимо дополнить соответствующим слагаемым. В результате будем иметь
, (3.3.61)
где n – средний балансовый удельный темп миграции (при νn > 0 миграционный поток из системы превышает миграционный поток в систему и наоборот).
Пусть внешние и внутренние факторы, влияющие на демографическую ситуацию, давно стабилизировались так, что установилось равновесие
(3.3.62)
Тогда из (3.3.59) получаем
. (3.3.63)
Таким образом, в случае, если темп смертности не зависит от возраста и отсутствуют какие бы то ни было возмущения, демографическая кривая является экспоненциальной. Общая численность населения при этом согласно (3.3.60) оказывается равной
. (3.3.64)
Величина N, как и следовало ожидать, в данном случае не зависит от t.
Пусть теперь смертность является возрастающей функцией возраста вида
, (3.3.65)
где параметры μm0 и T предполагаются постоянными.
Очевидно, величина T играет роль порога, ограничивающего сверху среднюю продолжительность жизни.
Подставляя (3.3.65) в (3.3.59), находим
. (3.3.66)
В этом случае отношение ρr(tτ)/rρ0 стремится к нулю по мере приближения возраста tτ к его критическому значению T. Такое поведение распределения rρ(t, tτ) (демографической кривой) объясняется катастрофическим ростом смертности (m ® ¥∞) по мере приближения к предельному возрасту T.
Общая численность населения в данном случае равна
. (3.3.67)
При этом, как и раньше, величина N от времени не зависит.
Пусть теперь
. (3.3.68)
При тех же исходных условиях получаем
. (3.3.69)
В случае положительных (что вполне естественно) значений постоянной m мы имеем более крутое, чем экспоненциальное, падение кривой распределения населения по возрасту. Однако она также имеет затянутый до ¥∞ «хвост».
Рассмотрим теперь случай нестационарного распределения. Возникновение нестационарных режимов может быть вызвано самыми различными причинами. Среди них можно, например, выделить такие, как колебания рождаемости (смертности), людские потери во время войн и вооруженных конфликтов, миграция населения, потери населения на производстве и транспорте, потери от эпидемий, смертельно опасных заболеваний и голода.
Из сказанного вытекает, что уравнения (3.3.59), (3.3.61) не являются замкнутыми. Чтобы их замкнуть, надо к ним добавить уравнение, определяющее величину rρ0. В простейшем случае однородной в социальном, профессиональном и половом отношении популяции будем иметь
(3.3.70)
где aα(t, τt) – удельный темп рождаемости в возрастной группе tτ в момент времени t.
Предположим теперь, что отклонения демографической кривой от ее стационарного положения невелики и носят характер возмущений, которые можно представить в виде
, (3.3.71)
где ρrс(t, τt) = ρr(τt) – стационарное решение уравнения (3.3.59) или (3.3.61); u(t, τt) – относительно небольшое нестационарное возмущение. Подставляя (3.3.71) в первое уравнение системы (3.3.70) при n ν= 0 и учитывая, что 
, будем иметь
. (3.3.72)
Так как
,
то
или
.
Откуда окончательно
. (3.3.73)
Уравнение (3.3.73) является справедливым только в том случае, если возмущение ρr(t, τt) является функцией запаздывающего аргумента (t – tτ), т.е.
u (t, τt) = u (t – tτ). (3.3.74)
Таким образом мы получили весьма интересный и практически широко известный результат, свидетельствующий о возможности возникновения и распространения демографической волны. Согласно (3.3.73) возмущение, возникшее в некоторой возрастной группе с течением времени распространяется, повторяясь, вверх по лестнице возрастов.
Следует, однако, заметить, что при получении решения (3.3.74) мы еще не учли положительной обратной связи рождаемости, которая задается вторым уравнением системы (3.3.70) и которая обеспечивает появление вторичных, третичных и т.д. демографических волн. Для упрощения анализа предположим, что воспроизводящими являются только индивиды, имеющие возраст τt0, т.е.
aα(t, τt) = αa0δd(τt – τt0), (3.3.75)
где δd(t – τt0) – δd-функция (dδ(x ¹≠ 0) = 0, δd(x = 0) = ∞¥); αa0 – const. С учетом этого предположения второе уравнение системы (3.3.70) будет выглядеть так:
. (3.3.76)
Отбрасывая стационарную составляющую, получаем
. (3.3.77)
Поскольку
u (t, tτ0) = u (t – τt0),
то возмущение начальных условий будет происходить периодически в момент прохождения демографической волны через активную в смысле воспроизводства группу населения. Таким образом, в рамках данного приближения демографическая волна будет периодически (с периодом tτ0) повторяться. В реальной жизни в силу того, что воспроизводящей группой населения является не одна возрастная группа, а целое множество возрастных групп, демографическая волна, получающаяся в последующем как результат сложения многих волн с разными периодами τt0 и разными амплитудами, начинает постепенно размываться. В этом смысле «раны», нанесенные возрастной стратификации населения войной или какими-либо другими бедствиями, постепенно затягиваются. При отсутствии значительных возмущений распределения rρ(t, τt) опять начинает приближаться к равновесному (стационарному) rρс(τt).
Знание средних периодов прохождения, глубины (амплитуды) и длительности демографических волн является чрезвычайно важным с точки зрения решения социальных, экономических и технологических проблем как в масштабах отдельно взятого региона, так и всей страны в целом. Каковы тенденции изменения доли трудоспособного населения, каковы тенденции изменения численности подрастающего поколения и численности пенсионеров – все это весьма существенные вопросы управления обществом. На рис. 3.3.9 в качестве примера приведены эмпирические данные (кривые 1 и 2) о распределении населения США по возрастам в 1870 г. и 1984 г.
На представленных графиках хорошо заметны повторяющиеся демографические волны (в частности, «беби-бум» 1950–1965 гг., что соответствует t ~ 20–35 лет на кривой 1984 г.). Сравнение данных за 1870 г. и 1984 г. указывает на значительное вмешательство общества в развитие демографической ситуации (приближение эмпирического распределения в среднем к почти линейному закону обусловлено, в первую очередь, ростом материального благополучия граждан и успехами медицины).
 |
Рис. 3.3.9. Распределение населения США по возрастам в 1870 г. и в 1984 г.:
1 – распределение для 1984 г., 2 – для 1870 г.;
3 – теоретическое распределение 
при T ≈» 100, μm0 ≈» 0,01;
4 – теоретическое распределение 
при μm» 0,03
В общем случае, с учетом неоднородности возрастных групп по различным конфессиональным, социальным, экономическим, профессиональным, национальным, физико-географическим (территориальным и т.д.) признакам, модель демографической динамики становится существенно более сложной:
(3.3.78)
где А – матрица переходов из одних социальных групп в другие в связи с изменением возраста; М – матрица (диагональная) удельных темпов смертности; С – матрица интенсивностей переходов из одних социальных групп в другие внутри одной возрастной категории; D – матрица интенсивностей (темпов) миграции; Q – матрица удельных темпов рождаемости; 
– вектор распределения населения по возрастным половым, национальным, профессиональным и иным группам.
Зная матрицы A, M, C, D и Q, их зависимость от времени, с помощью (3.3.78) можно осуществлять моделирование структурной динамики народонаселения. Знание социально-возрастной стратификации позволяет, в частности, решать задачи анализа тенденций изменения качества населения. С помощью такого типа моделей возникает возможность прогнозирования таких социально опасных явлений, как наркомания, алкоголизм, дебилизация и т.п.
Рождаемость и смертность зависят от целого ряда факторов, в том числе и от возраста t (рис. 3.3.10–3.3.11).
 |
Рис. 3.3.10. Зависимость темпов смертности от возраста (США, 1957г., [8])
 |
Рис. 3.3.11. Зависимость среднего темпа рождаемости
от валового национального продукта в расчете на душу населения
(~ 1970-е гг.)
Как свидетельствуют многочисленные эмпирические исследования, средняя ожидаемая продолжительность жизни в значительной степени определяется уровнем питания населения (рис. 3.3.12).
 |
Рис. 3.3.12. Зависимость средней ожидаемой продолжительности жизни
от уровня питания
Как видно из предыдущего рассмотрения, средняя ожидаемая продолжительность жизни определяется не только существующими в данный момент темпами рождаемости и смертности, но и видом демографической кривой, сложившейся к этому моменту времени. Темпы же рождаемости и смертности, помимо отмеченных ранее, зависят и от множества других существенных факторов. Среди них, прежде всего, следует отметить экологические, психологические, технологические (например, наличие существенной разницы в темпах рождаемости и смертности в промышленных и сельскохозяйственных районах), социальные и другие факторы. Значительное влияние на демографическую ситуацию оказывают такие явления, как наркомания, алкоголизм, СПИД и т.п.
