5.1Моделирование произвести на примере потребления электроэнергии жителями района за последние четыре года (таблица 3.1).
Таблица 3.1 – Потребления электроэнергии жителями района за последние четыре года
| № квартала, t | Потребление электроэнергии, уi (№ варианта) | ||||||||||
| 6,0 | 4,8 | 5,1 | 5,4 | 6,3 | 6,6 | 6,9 | 7,2 | 7,5 | 4,5 | 4,8 | |
| 4,4 | 3,5 | 3,7 | 4,6 | 4,8 | 5,1 | 5,3 | 5,5 | 3,3 | 3,5 | ||
| 5,0 | 4,3 | 4,5 | 5,3 | 5,5 | 5,8 | 6,3 | 3,8 | ||||
| 9,0 | 7,2 | 7,7 | 8,1 | 9,5 | 9,9 | 10,4 | 10,8 | 11,3 | 6,8 | 7,2 | |
| 7,2 | 5,8 | 6,1 | 6,5 | 7,6 | 7,9 | 8,3 | 8,6 | 5,4 | 5,8 | ||
| 4,8 | 3,8 | 4,1 | 4,3 | 5,3 | 5,5 | 5,8 | 3,6 | 3,8 | |||
| 6,0 | 4,8 | 5,1 | 5,4 | 6,3 | 6,6 | 6,9 | 7,2 | 7,5 | 4,5 | 4,8 | |
| 10,0 | 8,5 | 10,5 | 11,5 | 12,5 | 7,5 | ||||||
| 8,0 | 6,4 | 6,8 | 7,2 | 8,4 | 8,8 | 9,2 | 9,6 | 6,4 | |||
| 5,6 | 4,5 | 4,8 | 5,9 | 6,2 | 6,4 | 6,7 | 4,2 | 4,5 | |||
| 6,4 | 5,1 | 5,4 | 5,8 | 6,7 | 7,4 | 7,7 | 4,8 | 5,1 | |||
| 11,0 | 8,8 | 9,4 | 9,9 | 11,6 | 12,1 | 12,7 | 13,2 | 13,8 | 8,3 | 8,8 | |
| 9,0 | 7,2 | 7,7 | 8,1 | 9,5 | 9,9 | 10,4 | 10,8 | 11,3 | 6,8 | 7,2 | |
| 6,6 | 5,3 | 5,6 | 5,9 | 6,9 | 7,3 | 7,6 | 7,9 | 8,3 | 5,3 | ||
| 7,0 | 5,6 | 6,3 | 7,4 | 7,7 | 8,1 | 8,4 | 8,8 | 5,3 | 5,6 | ||
| 10,8 | 8,6 | 9,2 | 9,7 | 11,3 | 11,9 | 12,4 | 13,5 | 8,1 | 8,6 |
5.2 В качестве наглядного примера рассмотрим вариант №1. Объемы потребления электроэнергии в осенне-зимний период времени (I и IV кварталы) выше, чем весной и летом (II и III кварталы). По графику этого ряда (рисунок 3.1) можно установить наличие приблизительно равной амплитуды колебаний.
Рисунок 3.1 – Потребление электроэнергии жителями района
Это свидетельствует о возможном существовании в ряде аддитивной модели. Рассчитаем ее компоненты.
5.3Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:
a) просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объемы потребления электроэнергии (гр. 3 таблицы 3.2);
б) разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние (гр. 4 таблицы 3.2). Отметим, что полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты;
в) приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних — центрированные скользящие средние (гр. 5 таблицы 3.2).
Таблица 3.2 – Расчет оценок сезонной компоненты в аддитивной модели
| № квартала, t | Потребление электроэнергии, Уi | Итого за четыре квартала | Скользящая средняя за четыре квартала | Центрирован-ная скользящая средняя | Оценка сезонной компоненты |
| 6,0 4,4 5,0 9,0 7,2 4,8 6,0 10,0 8,0 5,6 6,4 11,0 9,0 6,6 7,0 10,8 | 24,4 25,6 26,0 27,0 28.0 28,8 29,6 30,0 31,0 32,0 33,0 33,6 33,4 | 6,10 6,40 6,50 6,75 7,00 7,20 7,40 7,50 7,75 8,00 8,25 8,40 8,35 | 6,250 6,450 6,625 6,875 7,100 7,300 7,450 7,625 7,875 8.125 8.325 8,375 | -1,250 2,550 0,575 -2,075 -1,100 2,700 0,550 -2,025 -1,475 2,875 0,675 -1,775 |
5.4 Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними (гр. 6 таблицы 3.2). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S (таблица 3.3). Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты St. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.
Для данной модели имеем:
0,6 - 1,958 - 1,275 + 2,708 = 0,075.
Определим корректирующий коэффициент:
к = 0,075 /4 = 0,01875.
Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом к:
| Si=Si - k | (3.2) |
где i =1, 2, …4.
Таблица 3.3 – Расчет значений сезонной компоненты в аддитивной модели
| Показатели | Год | № квартала, i | |||
| I | II | III | IV | ||
| – | – | -1,250 | 2,550 | ||
| 0,575 | -2,075 | -1,100 | 2,700 | ||
| 0,550 | -2,025 | -1,475 | 2,875 | ||
| 0,675 | -1,775 | – | – | ||
| Итого за i -й квартал (за все годы) | 1,800 | -5,875 | -3,825 | 8,125 | |
| Средняя оценка сезонной компоненты для i -го квартала, Si | 0,600 | -1,958 | -1,275 | 2,708 | |
| Скорректированная сезонная компонента, Si | 0,581 | -1,977 | -1,294 | 2,690 |
Проверим условие равенства нулю суммы значений сезонной компоненты:
0,581 - 1,977 - 1,294 + 2,690 = 0.
Таким образом, получены следующие значения сезонной компоненты:
I квартал: S1= 0,581;
II квартал: S2= -1,977;
III квартал: S3 = -1,294;
IV квартал: S4= 2,690.
Занесем полученные значения в таблицу 3.3 для соответствующих кварталов каждого года (стр. 3).
5.5 Элиминируем влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины Т + Е = Y- S (гр. 4 таблицы 3.4). Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.
Таблица 3.4 – Расчет выравненных значений T и ошибок Е в аддитивной модели
| t | уi | Si | Т+Е=уi-Si | Т | T+S | Е= =уi -(T+S) | Е2 |
| 2 | 7 | ||||||
| 6,0 | 0,581 | 5,419 | 5,902 | 6,483 | -0,483 | 0,2333 | |
| 4,4 | -1,977 | 6,337 | 6,088 | 4,111 | 0,289 | 0,0835 | |
| 5,0 | -1,294 | 6,294 | 6,275 | 4,981 | 0,019 | 0,0004 | |
| 9,0 | 2,690 | 6,310 | 6,461 | 9,151 | -0,151 | 0,0228 | |
| 7,2 | 0,581 | 6,619 | 6,648 | 7,229 | -0,029 | 0,0008 | |
| 4,8 | -1,977 | 6,777 | 6,834 | 4,857 | -0,057 | 0,0032 | |
| 6,0 | -1,294 | 7,294 | 7,020 | 5,727 | 0,273 | 0,0745 | |
| 10,0 | 2,690 | 7,310 | 7,207 | 9,896 | 0,104 | 0,0108 | |
| 8,0 | 0,581 | 7,419 | 7,393 | 7,974 | 0,026 | 0,0007 | |
| 5,6 | -1,977 | 7,577 | 7,580 | 5,603 | -0,030 | 0,0009 | |
| 6,4 | -1,294 | 7,694 | - 7,766 | 6,472 | -0,072 | 0,0052 | |
| 11,0 | 2,690 | 8,310 | 7,952 | 10,642 | 0,358 | 0,1282 | |
| 9,0 | 0,581 | 8,419 | 8,139 | 8,720 | 0,280 | 0,0784 | |
| 6,6 | -1,977 | 8,577 | 8,325 | 6,348 | 0,252 | 0,0635 | |
| 7,0 | -1,294 | 8,294 | 8,519 | 7,218 | -0,218 | 0,0475 | |
| 10,8 | 2,690 | 8,110 | 8,698 | 11,388 | -0,588 | 0,3457 |
5.6 Определим компоненту Т данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда (Т + Е) с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:
Константа 5,715416
Коэффициент регрессии 0,186421
Стандартная ошибка коэффициента регрессии 0,015188
R-квадрат 0,914971
Число наблюдений 16
Число степеней свободы 14
Таким образом, имеем следующий линейный тренд: T =5,715 +0,186 t.
Подставляя в это уравнение значения t – 1,..., 16, найдем уровни Т для каждого момента времени (гр. 5 таблицы 3.4). График уравнения тренда приведен на рисунке 3.2.
Рисунок 3.2 – Потребление электроэнергии жителями района
5.7Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням T значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов. Графически значения (T + S) представлены на рисунке 2.2.
5.8В соответствии с методикой построения аддитивной модели расчет ошибки производится по формуле:
| E=Y-(T + S). | (3.3) |
Это абсолютная ошибка. Численные значения абсолютных ошибок приведены в гр. 7 таблицы 3.4.
По аналогии с моделью регрессии для оценки качества построения модели или для выбора наилучшей модели можно применять сумму квадратов полученных абсолютных ошибок. Для данной аддитивной модели сумма квадратов абсолютных ошибок равна 1,10. По отношению к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего уровня, равной 71,59, эта величина составляет чуть более 1,5%: (1-1,10/71,59)·100 = 1,536.
Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 98,5% общей вариации уровней временного ряда потребления электроэнергии за последние 16 кварталов.
5.9 Прогнозирование по аддитивной модели.
Предположим, требуется дать прогноз потребления электроэнергии жителями района в течение первого полугодия ближайшего следующего года.
Прогнозное значение Ft уровня временного ряда в аддитивной модели в соответствии с соотношением (3.1) есть сумма трендовой и сезонной компонент.
Объем электроэнергии, потребленной в течение первого полугодия ближайшего следующего, т. е. пятого, года, рассчитывается как сумма объемов потребления электроэнергии в I и во II кварталах пятого года, соответственно F17 и F18. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда: T =5,715 + 0,186·t.
Получим:
Т17 = 5,715+ 0,186-17 = 8,877;
Т18 = 5,715+ 0,186-18 = 9,063.
Значения сезонной компоненты равны: S1 = 0,581 (I квартал); S2 = -1,977 (II квартал). Таким образом,
Т17 = Т17 + S1 = 8,877 + 0,581 = 9,458;
Т18 = Т18 + S2 = 9,063 - 1,977 = 7,086.
Прогноз объема потребления электроэнергии на первое полугодие ближайшего следующего (пятого) года составит:
(9,458 + 7,086) = 16,544 млн кВт • ч.
Содержание отчета и его форма
Отчет должен содержать:
6.1 Выровненный исходный ряд методом скользящей средней.
6.2 Расчет значений сезонной компоненты.
6.3 Выравненные данные (Т+Е) модели.
6.4 Расчет значений Т.
6.5 График потребления электроэнергии жителями района (фактические, выровненные и полученные по аддитивной модели значения уровней ряда).
6.6 Расчет ошибок.
6.7 Прогноз объема потребления электроэнергии на первое полугодие ближайшего следующего года.
6.8 Выводы.
Контрольные вопросы и защита работы
7.1 Сформулируйте общий вид аддитивной модели временного ряда.
7.2 Как производится расчет абсолютных ошибок?
7.3 Перечислить основные этапы построения аддитивной модели.
7.4 С какими целями проводятся выявление и устранение сезонного эффекта?
7.5 Как осуществляется прогноз по данной модели?
Защита работы проводится в устной форме, состоит в предоставлении студентом правильно выполненного отчета по работе, коротком докладе и в ответах на вопросы, представленные выше.
Практическое занятие 28.
М ультипликативные модели
Цель и содержание
Цель работы – приобрести навыки построения и прогнозирования по мультипликативной модели временного ряда.
В результате выполнения работы студенты должны:
1. Выровнять исходный ряд методом скользящей средней.
2. Определить значения сезонной компоненты.
3. Устранить сезонную компоненту из исходных уровней ряда и получить выровненные данные (Т • Е) в мультипликативной модели.
4. Аналитически выровнять уровни (Т • Е) и рассчитать значения Т с использованием полученного уравнения тренда.
5. Определить полученные по модели значения (Т • S).
6. Определить абсолютные и относительные ошибки.
7. Осуществить прогноз ожидаемой прибыли компании за первое полугодие ближайшего следующего года.
Теоретическое обоснование
Общий вид мультипликативной модели выглядит так:
| Y=T • S • E. | (4.1) |
Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой (T), сезонной (S) и случайной (Е) компонент.
Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.
Построение мультипликативной моделей аналогично аддитивной сводится к расчету значений Т, S и Е для каждого уровня ряда.
Процесс построения модели включает в себя следующие шаги:
1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.
2. Расчет значений сезонной компоненты S.
3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выравненных данных (Т • Е).
4. Аналитическое выравнивание уровней (Т • Е) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда.
5. Расчет полученных по модели значений (Т • S).
6. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок.
Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок Е для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.
Подробнее методика построения мультипликативной модели рассмотрена в п. 5 данной работы.
Аппаратура и материалы
Микрокалькулятор, программное обеспечение MS Excel.
