Свойства средней арифметической. Средняя арифметическая обладает некоторыми свойствами, имеющими практическое значение:

 

Средняя арифметическая обладает некоторыми свойствами, имеющими практическое значение:

n Сумма отклонений отдельных вариант от средней равна 0.

n При умножении или делении всех частот ряда распределения на одно и то же число средняя не меняется.

n Средняя от постоянной величины равна ей самой.

n Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений вариант на частоты.

n Изменение каждого варианта на одну и ту же величину изменяет среднюю на ту же самую величину.

n Изменение каждого варианта в одно и то же число раз изменяет среднюю в это же число раз.

n Средняя суммы равна сумме средних.

n Сумма квадратов отклонений вариант от средней величины меньше, чем от любой другой величины.

Изложенные свойства средней арифметической позволяют во многих случаях упростить ее расчеты: можно из всех значений признака вычесть произвольную постоянную величину, разность сократить на общий множитель, а затем исчисленную среднюю умножить на общий множитель и прибавить произвольную постоянную величину.

Формула средней арифметической взвешенной получит следующий вид:

--

X = m₁ * i + A,

(x - A) f

å ----------- * ------

I k

где m₁ = -----------------------------------;

f

å ----

K (6.4.1)

m₁ - момент I порядка.

(x - A) f

å ----------- * ------

-- å x_i * f_i i k

X = ------------- = -------------------------------- * i + A = m₁ * i + A,

å f_i f

å ----

K (6.4.2)

где A – середина центрального (при нечетном количестве) интервала или интервала с наибольшей частотой;

i – общее кратное для x;

k – общее кратное для f.

 

 

Пример:

Зарплата, руб. x	Число работников, чел. f	f / k	x - A / i	(x - A) / i * f/k
			- 2	- 2
			- 1	- 2
Итого	90	9	0	- 1

k = 10, A = 1200, i = 300.

1 -- 1

m₁ = - ----- Х = - ---- * 300 + 1200 = - 33,3 + 1200 = 1166,6 руб.

9 9

 

В статистической практике нередко возникает необходимость определения средней для всей совокупности исходя из средних величин для отдельных частей этой совокупности. В этом случае среднюю величину определяем так:

–

-- å x_i * f_i

X_общая = ------------.

å f_i (6.4.3)

Мода, медиана

 

Для характеристики структуры совокупности применяются особые показатели, которые можно назвать структурными средними. К таким показателям относятся мода и медиана.

Мода (Мо) – величина признака, которая встречается в ряду распределения

наиболее часто.

В вариационном ряду мода определяется по наибольшей частоте.

Пример:

Заработная плата, руб. xi				800
Число работников, чел. fi

Мо = 800 руб.

 

В интервальном вариационном ряду мода определяется по формуле:

 

(f_мо - f_мо-1 )

Мо = х₀ + i * --------------------------------------,

(f_мо - f_мо-1 ) + (f_мо - f_мо+1 ) (6.5.1)

где х₀ – нижняя граница модального интервала;

i – величина модального интервала;

f_мо – частота модального интервала;

f_мо-1 – частота интервала, предшествующего модальному;

f_{мо+1 –} частота следующего после модального интервала.

 

В интервальном вариационном ряду модой приближенно считают центральный вариант так называемого модального интервала, то есть интервала, который имеет наибольшую частоту (частость). В пределах интервала надо найти то значение признака, которое является модой.

Эта формула основана на предположении, что расстояния от нижней границы модального интервала до моды и от моды до верхней границы модального интервала прямо пропорциональны разностям между численностями (частотами) модального интервала и прилегающих к нему.

Мода – это именно то значение признака, которое в действительности встречается чаще всего. В случае неравных интервалов предварительно необходимо исчислить плотность распределения, выделить модальный интервал, а затем рассчитать по формуле.

Медиана (Ме) – это величина признака, которая делит численность

упорядоченного вариационного ряда на две части.

Одна часть имеет значения варьирующего признака

меньшие, чем медиана, а другая - большие.

Пример:

Порядковый № студента
Возраст, лет				21

 

Сложнее определить Ме в интервальном ряду. Сначала необходимо выделить медианный интервал. Медианный интервал находится по накопленным частотам. Первая накопленная частота, которая будет больше половины объема ряда, даст нам медианный интервал.

å f / 2 - S

Me = x₀ + i * --------------------------,

F me (6.5.2)

где x₀ – нижняя граница медианного интервала;

i – величина медианного интервала;

å f / 2 – половина объема ряда;

S – накопленная частота, предшествующая медианному интервалу;

f me – частота медианного интервала.

 

Медиану следует применять в качестве средней величины в тех случаях, когда нет достаточной уверенности в однородности изучаемой совокупности.

Медиана – величина всегда конкретная и имеет минимальную сумму отклонений от фактических значений (используется в строительстве общественных зданий, так как является точкой, дающей наименьшее расстояние, например, детских садов от места проживания родителей).

Пример:

Группы предприятий по себестоимости продукции, руб. xi	Число предприятий, единиц fi	Накопленная частота
1,6 - 2,0
2,0 - 2,4
2,4 - 2,8
2,8 - 3,2
3,2 - 3,6
3,6 - 4,0
Итого

 

-- 1,8 * 2 + 2,2 * 3 + 2,6 * 5 + 3,0 * 7 + 3,4 * 10 + 3,8 * 3

Х = --------------------------------------------------------------------------- = 2,98 руб.

2 + 3 + 5 + 7 + 10 + 3

10 - 7

Мо = 3,2 + 0,4 * -------------------------------------- = 3,32 руб.

(10 - 7) + (10 - 3)

30 / 2 - 10

Ме = 2,8 + 0,4 * ------------------------- = 3,086 руб.

7

Межорантность средних

 

Рассмотренные выше средние величины находятся между собой в определенных взаимоотношениях.

Все средние являются частными случаями степенной средней.

______

-- z / å x ^z

Х = Ö ----------

n

при z = - 1 Þ средняя гармоническая;

z = 0 Þ средняя геометрическая;

z = 1 Þ средняя арифметическая;

z = 2 Þ средняя квадратическая.

При использовании одних и тех же исходных данных чем больше z, тем больше средняя величина:

––––

Х гарм. < Х геометр. < Х арифм. < Х квадр.