Средняя арифметическая обладает некоторыми свойствами, имеющими практическое значение:
n Сумма отклонений отдельных вариант от средней равна 0.
n При умножении или делении всех частот ряда распределения на одно и то же число средняя не меняется.
n Средняя от постоянной величины равна ей самой.
n Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений вариант на частоты.
n Изменение каждого варианта на одну и ту же величину изменяет среднюю на ту же самую величину.
n Изменение каждого варианта в одно и то же число раз изменяет среднюю в это же число раз.
n Средняя суммы равна сумме средних.
n Сумма квадратов отклонений вариант от средней величины меньше, чем от любой другой величины.
Изложенные свойства средней арифметической позволяют во многих случаях упростить ее расчеты: можно из всех значений признака вычесть произвольную постоянную величину, разность сократить на общий множитель, а затем исчисленную среднюю умножить на общий множитель и прибавить произвольную постоянную величину.
Формула средней арифметической взвешенной получит следующий вид:
--
X = m1 * i + A,
(x - A) f
å ----------- * ------
I k
где m1 = -----------------------------------;
f
å ----
K (6.4.1)
m1 - момент I порядка.
(x - A) f
å ----------- * ------
-- å xi * fi i k
X = ------------- = -------------------------------- * i + A = m1 * i + A,
å fi f
å ----
K (6.4.2)
где A – середина центрального (при нечетном количестве) интервала или интервала с наибольшей частотой;
i – общее кратное для x;
k – общее кратное для f.
Пример:
| Зарплата, руб. x | Число работников, чел. f | f / k | x - A / i | (x - A) / i * f/k |
| - 2 | - 2 | |||
| - 1 | - 2 | |||
| Итого | 90 | 9 | 0 | - 1 |
k = 10, A = 1200, i = 300.
1 -- 1
m1 = - ----- Х = - ---- * 300 + 1200 = - 33,3 + 1200 = 1166,6 руб.
9 9
В статистической практике нередко возникает необходимость определения средней для всей совокупности исходя из средних величин для отдельных частей этой совокупности. В этом случае среднюю величину определяем так:
–
-- å xi * fi
Xобщая = ------------.
å fi (6.4.3)
Мода, медиана
Для характеристики структуры совокупности применяются особые показатели, которые можно назвать структурными средними. К таким показателям относятся мода и медиана.
Мода (Мо) – величина признака, которая встречается в ряду распределения
наиболее часто.
В вариационном ряду мода определяется по наибольшей частоте.
Пример:
| Заработная плата, руб. xi | 800 | ||||||
| Число работников, чел. fi |
Мо = 800 руб.
В интервальном вариационном ряду мода определяется по формуле:
(fмо - fмо-1 )
Мо = х0 + i * --------------------------------------,
(fмо - fмо-1 ) + (fмо - fмо+1 ) (6.5.1)
где х0 – нижняя граница модального интервала;
i – величина модального интервала;
fмо – частота модального интервала;
fмо-1 – частота интервала, предшествующего модальному;
fмо+1 – частота следующего после модального интервала.
В интервальном вариационном ряду модой приближенно считают центральный вариант так называемого модального интервала, то есть интервала, который имеет наибольшую частоту (частость). В пределах интервала надо найти то значение признака, которое является модой.
Эта формула основана на предположении, что расстояния от нижней границы модального интервала до моды и от моды до верхней границы модального интервала прямо пропорциональны разностям между численностями (частотами) модального интервала и прилегающих к нему.
Мода – это именно то значение признака, которое в действительности встречается чаще всего. В случае неравных интервалов предварительно необходимо исчислить плотность распределения, выделить модальный интервал, а затем рассчитать по формуле.
Медиана (Ме) – это величина признака, которая делит численность
упорядоченного вариационного ряда на две части.
Одна часть имеет значения варьирующего признака
меньшие, чем медиана, а другая - большие.
Пример:
| Порядковый № студента | |||||||
| Возраст, лет | 21 |
Сложнее определить Ме в интервальном ряду. Сначала необходимо выделить медианный интервал. Медианный интервал находится по накопленным частотам. Первая накопленная частота, которая будет больше половины объема ряда, даст нам медианный интервал.
å f / 2 - S
Me = x0 + i * --------------------------,
F me (6.5.2)
где x0 – нижняя граница медианного интервала;
i – величина медианного интервала;
å f / 2 – половина объема ряда;
S – накопленная частота, предшествующая медианному интервалу;
f me – частота медианного интервала.
Медиану следует применять в качестве средней величины в тех случаях, когда нет достаточной уверенности в однородности изучаемой совокупности.
Медиана – величина всегда конкретная и имеет минимальную сумму отклонений от фактических значений (используется в строительстве общественных зданий, так как является точкой, дающей наименьшее расстояние, например, детских садов от места проживания родителей).
Пример:
| Группы предприятий по себестоимости продукции, руб. xi | Число предприятий, единиц fi | Накопленная частота |
| 1,6 - 2,0 | ||
| 2,0 - 2,4 | ||
| 2,4 - 2,8 | ||
| 2,8 - 3,2 | ||
| 3,2 - 3,6 | ||
| 3,6 - 4,0 | ||
| Итого |
-- 1,8 * 2 + 2,2 * 3 + 2,6 * 5 + 3,0 * 7 + 3,4 * 10 + 3,8 * 3
Х = --------------------------------------------------------------------------- = 2,98 руб.
2 + 3 + 5 + 7 + 10 + 3
10 - 7
Мо = 3,2 + 0,4 * -------------------------------------- = 3,32 руб.
(10 - 7) + (10 - 3)
30 / 2 - 10
Ме = 2,8 + 0,4 * ------------------------- = 3,086 руб.
7
Межорантность средних
Рассмотренные выше средние величины находятся между собой в определенных взаимоотношениях.
Все средние являются частными случаями степенной средней.
______
-- z / å x z
Х = Ö ----------
n
при z = - 1 Þ средняя гармоническая;
z = 0 Þ средняя геометрическая;
z = 1 Þ средняя арифметическая;
z = 2 Þ средняя квадратическая.
При использовании одних и тех же исходных данных чем больше z, тем больше средняя величина:
––––
Х гарм. < Х геометр. < Х арифм. < Х квадр.
