На практике часто встречаются одноканальные СМО с неограниченной очередью (например, телефон-автомат с одной будкой). Рассмотрим задачу.
Имеется одноканальная СМО с очередью, на которую не наложены никакие ограничения (ни по длине очереди, ни по времени ожидания). Поток заявок, поступающих в СМО, имеет интенсивность 
, а поток обслуживании — интенсивность 
.. Необходимо найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности СМО.
Система может находиться в одном из состояний S 0, S 1;, S 2,..., Sk 
по числу заявок, находящихся в СМО- S 0 — канал свободен; S 1 — канал занят (обслуживает заявку), очереди нет; S 2 — канал занят, одна заявка стоит ч очереди;... Sk — канал занят, (k —1) заявок стоят в очереди и т.д
Граф состояний СМО представлен на рис. 3.6.
Рис.3.6
Это процесс гибели и размножения, но с бесконечным числом состояний, в котором интенсивность потока заявок равна , а интенсивность потока обслуживании .
Прежде чем записать формулы предельных вероятностей, необходимо быть уверенным в их существовании, ведь в случае, когда время 
, очередь может неограниченно возрастать. Доказано, что если 
< 1, т.е. среднее число приходящих заявок меньше среднего числа обслуженных заявок (в единицу времени), то предельные вероятности существуют. Если 
, очередь растет до бесконечности.
Для определения предельных вероятностей состояний воспользуемся формулами для процесса гибели и размножения (здесь мы допускаем известную нестрогость, так как ранее эти формулы были получены для случая конечного числа состояний системы). Получим:
. (3.18)
Так как предельные вероятности существуют лишь при r < 1, то геометрический ряд со знаменателем r < 1, записанный в скобках в формуле (3.18) сходится к сумме, равной 
Поэтому
(3.19)
и с учетом соотношений (3.8)
(3.20)
найдем предельные вероятности других состояний
(3.21)
Предельные вероятности р 0. p 1, р 2, pk, - образуют убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем r < 1, следовательно, вероятность р 0 - наибольшая. Это означает, что если СМО справляется с потоком заявок (при r < 1), то наиболее вероятным будет отсутствие заявок в системе.
Среднее число заявок в системе Lcист определим по формуле математического ожидания, которая с учетом (3.21) примет вид
(3.22)
(суммирование от 1 до ¥, так как нулевой член 0 р 0 = 0).
Можно показать, что формула (3.22) преобразуется (при < 1) к виду
(3.23)
Найдем среднее число заявок в очереди Lоч Очевидно, что
(3.24)
где Lоб. — среднее число заявок, находящихся под обслуживанием.
Среднее число заявок под обслуживанием определим по формуле математического ожидания числа заявок под обслуживанием, принимающего значения 0 (если канал свободен) либо 1 (если канал занят):
, (3.25)
т.е. среднее число заявок под обслуживанием равно вероятности того, что канал занят:
(3.26)
(3.27)
Теперь по формуле (3.24) с учетом (3.23) и (3.27)
(3.27)
Доказано, что при любом характере потока заявок, при любом распределении времени обслуживания, при любой дисциплине обслуживания среднее время пребывания заявки в системе (очереди) равна среднему числу заявок в системе (в очереди), деленному на интенсивность потока заявок, т.е.
(3.28)
Формулы (3.28) называются формулами Литтла. Они вытекают из того, что в предельном, стационарном режиме среднее число заявок, прибывающих в систему, равно среднему числу заявок, покидающих ее: оба потока заявок имеют одну и ту же интенсивность .
На основании формул (3.28) с учетом (3.23) и (3.27) среднее время пребывания заявки в системе определится по формуле:
(3.29)
а среднее время пребывания заявки в очереди –
(3.30)
Задача 3.8. В порту имеется один причал для разгрузки судов. Интенсивность потока судов равна 0,4 (судов в сутки). Среднее время разгрузки одного судна составляет 2 суток. Предполагается, что очередь может быть неограниченной длины. Найти показатели эффективности работы причала, а также вероятность того, что ожидают разгрузки не более чем 2 судна.
Решение.
Имеем
Так как 
= 0,8 < 1, то очередь на разгрузку не может бесконечно возрастать и предельные вероятности существуют. Найдем их.
Вероятность того, что причал свободен, по (3.19) р 0 = 1- 0,8 = 0,2, а вероятность того, что он занят,. Рзан. = 1 - 0.2 = 0,8. По формуле (3.20) вероятности того, что у причала находятся 1, 2, 3 судна (т.е. ожидают разгрузки 0, 1, 2 судна), равны р 1 = 0,8(1 - 0,8) = 0,16; р 2. = 0,82.(1 - 0.8) = 0,128; р 3 = 0.83.(1 - 0,8) = 0,1024.
Вероятность того, что ожидают разгрузку не более чем 2 судна, равна
Р = 0,16 + 0,128 + 0,1024 = 0,3904.
По формуле (3.40) среднее число судов, ожидающих разгрузки,
Lоч. = 0,82/(1-0,8) = 3,2,
а среднее время ожидания разгрузки по формуле (3.27)
По формуле (3.23) среднее число судов, находящихся у причала,
или проще
а среднее время пребывания судна у причала
Очевидно, что эффективность разгрузки судов невысокая. Для ее повышения необходимо уменьшение среднего времени разгрузки судна toб либо увеличение числа причалов.
[МАЛ2]
