Рассмотрим классическую задачу Эрланга. Имеется n каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью . Поток обслуживании имеет интенсивнбсть . Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.
Система S (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе): S 0, S 1, S 2,..., Sk,... Sn, где Sk — состояние системы, когда в ней находится k заявок, т.е. занято k каналов.
Граф состояний СМО соответствует процессу гибели и размножения и показан на рис. 3.5.
Рис.3.5
Поток заявок последовательно переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое с одной и той же интенсивностью l. Интенсивность же потока обслуживании, переводящих систему из любого правого состояния в соседнее левое состояние, постоянно меняется в зависимости от состояния. Действительно, если СМО находится в состоянии S 2 (два канала заняты), то она может перейти в состояние S 1 (один канал занят), когда закончит обслуживание либо первый, либо второй канал, т.е. суммарная интенсивность их потоков обслуживании будет 2 m. Аналогично суммарный поток обслуживании, переводящий СМО из состояния S 3 (три канала заняты) в S 2, будет иметь интенсивность 3 m, т.е. может освободиться любой из трех каналов и т.д.
В формуле (4.8) для схемы гибели и размножения получим для предельной вероятности состояния
(3.9)
где члены разложения будут представлять собой коэффициенты при р 0 в выражениях для предельных вероятностей p 1, p 2,.... pk,,.... pn. Величина
(3.10)
называется приведенной интенсивностью потока заявок или интенсивностью нагрузки канала. Она выражает среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки. Теперь
(3.11)
или, учитывая (3.9), (3.10):
(3.12)
Формулы (3.11) и (3.12) для предельных вероятностей получили названия формул Эрланга в честь основателя теории массового обслуживания. Эрланг А. К. (конец XIX в. — начало XX в.) — датский инженер, математик).
Вероятность отказа СМО есть предельная вероятность того, что все n каналов системы будут заняты, т.е.
(3.13)
Относительная пропускная способность — вероятность того, что заявка будет обслужена:
. (3.14)
Абсолютная пропускная способность:
. (3.15)
Среднее число занятых каналов k есть математическое ожидание числа занятых каналов:
, (3.16)
где pk — предельные вероятности состояний, определяемых по формулам (3.11), (3.12).
Однако среднее число занятых каналов можно найти проще, если учесть, что абсолютная пропускная способность системы A есть не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок (в единицу времени). Так как каждый занятый канал обслуживает в среднем m заявок (в единицу времени), то среднее число занятых каналов
(3.16)
(3.17)
СМО с ожиданием (очередью)
В качестве показателей эффективности СМО с ожиданием, кроме уже известных показателей — абсолютной А и относительной Q пропускной способности, вероятности отказа Ротк среднего числа занятых каналов k (для многоканальной системы) будем рассматривать также следующие: Lсист — среднее число заявок в системе; Тсист — среднее время пребывания заявки в системе; Lоч — среднее число заявок в очереди (длина очереди); Точ — среднее время пребывания заявки в очереди; Рзан — вероятность того, что канал занят (степень загрузки канала).